I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác
1. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác
- Cho tam giác ABC có diện tích tam giác ABC tính theo công thức $S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
- Ứng dụng tính chiều cao AH của tam giác ABC : $AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$
- Thể tích hình chóp ABCD được tính theo công thức ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$
- Ứng dụng tính chiều cao AH của hình chóp ABCD : $AH = \frac{{3.{V_{ABCD}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}}$
- Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
- Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
- Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
- Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
- Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
- Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
- Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
- Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE
II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Câu 41 đề minh họa vào ĐHQG HN ]
Cho 4 điểm A(1;0;1) , B(2;2;2) , C(5;2;1) , D(4;3;-2) . Tính thể tích tứ diện ABCD
A.6
B.12
C.4
D. 2
Nhập thông số ba vecto $\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {AD} $ vào máy tính Casio
Áp dụng công thức tính thể tích ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 4$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1]
Cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) . Điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là :
A.(3;-7;0)
B. $\left[ \begin{array}{l}
\left( {0; - 7;0} \right)\\
\left( {0;8;0} \right)
\end{array} \right.$
C.(0;8;0)
D. $\left[ \begin{array}{l}
\left( {0;7;0} \right)\\
\left( {0; - 8;0} \right)
\end{array} \right.$
Ta có : $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 5 \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \pm 30$
Tính $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]$ bằng Casio ta được $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 4; - 2} \right)$
Điểm D nằm trên Oy nên có tọa độ D(0;y;0) $ \Rightarrow \overrightarrow {AD} \left( { - 2;y - 1;1} \right)AC$
Nếu $\overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = 30$
Ta thu được $y = - 7 \Rightarrow D\left( {0; - 7;0} \right)$
Nếu $\overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = - 30$
Ta thu được $y = 8 \Rightarrow D\left( {0;8;0} \right)$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Câu 3-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(3;-1;1), C(1;1;1). Tính diện tích S của tam giác ABC
A. $S = \sqrt 3 $
B. $S = \sqrt 2 $
C. $S = \frac{1}{2}$
D. $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}S = 1$
Nhập 2 vecto $\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} $ vào máy tính Casio
Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 1.732... = \sqrt 3 $
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Câu 4-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1]
Cho hai điểm A(1;2;0), B(4;1;1). Độ dài đường cao OH của tam giác OAB là :
A. $\frac{1}{{\sqrt {19} }}$
B. $\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} $
C. $\sqrt {\frac{{19}}{{86}}} $
D. $\sqrt {\frac{{54}}{{11}}} $
Tính diện tích tam giác ABC theo công thức ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right|$
Vì giá trị diện tích này lẻ nên ta lưu vào biến A cho dễ nhìn
Gọi h là chiều cao hạ từ O đến đáy AB ta có công thức ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}h.AB$$ \Leftrightarrow h = \frac{{2S}}{{AB}}$
Tính độ dài cạnh $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$
Giá trị này lẻ ta lại lưu vào biến B
$ \Rightarrow h = \frac{{2A}}{B} = 2.2156... = $
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Câu 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4,8). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là :
A.11
B. $\frac{{45}}{7}$
C. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$
D. $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}$
Ta tính được thể tích cả tứ diện ABCD theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \frac{{154}}{3}$
Gọi h là khoảng cách từ D $ \Rightarrow V = \frac{1}{3}h.{S_{ABC}}$ $ \Rightarrow h = \frac{{3V}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{154}}{{{S_{ABC}}}}$:
Tính ${S_{ABC}}$ theo công thức ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 14$
Khi đó $h = \frac{{154}}{{14}} = 11$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Câu 6-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;5;0), B(3;3;6) và $d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ . Điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất có tọa độ là :
A.M(-1;1;0)
B.M(3;-1;4)
C. M(-3;2;-2)
D. M(1;0;2)
Diện tích tam giác ABM được tính theo công thức $S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right]} \right| \Leftrightarrow 2S = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right]} \right|$
Với M(-1;1;0) ta có 2S= 29.3938…
Với M(3;-4;4) ta có 2S= 29.3938…
Với M(-3;2;-2) ta có 2S= 32.8633…
Với M(1;0;2) ta có 2S= 28.1424…
So sánh 4 đáp số $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C
Câu 7-[Câu 1 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho A(2, -1;6), B(-3;-1’-4), C(5;-1;0), D(1;2;1) . Thể tích tứ diện ABCDbằng :
A. 30
B. 40
C. 50
D.60
Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 30$
Vậy đáp số chính xác là A
Câu 8-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1]
Cho bốn điểm A(a; -1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1) và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30 Giá trị của a là :
A.1
B.2
C. 2 hoặc 32
D.32
Vì điểm A chứa tham số nên ta ưu tiên vecto $\overrightarrow {BA} $ tính sau cùng. Công thức tính thể tích ABCD ta sắp xếp như sau : $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$
Tính $\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 12; - 24;24} \right)$
Ta có $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = 30 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \pm 180$
Với $\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = 180 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] - 180 = 0$$ \Rightarrow a = 2$
Với $\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = - 180 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] + 180 = 0$$ \Rightarrow a = 32$
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C
Câu 9-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1]
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho ${V_{OABC}} = 36$
A. $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{12}} = 1$
B. $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$
C. $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{12}} = 1$
D. Đáp án khác
Trong các đáp án chỉ có mặt phẳng ở đáp án A đi qua điểm M(1;2;4) cho nên ta chỉ đi kiểm tra tính đúng sai của đáp án A
Theo tính chất của phương trình đoạn chắn thì mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{12}} = 1$ cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A(3;0;0), B(6;6;0), C(0’0;12) . Hơn nữa 4 điểm O, A, B, C lập thành một tứ diện vuông đỉnh O
Theo tính chất của tứ diện vuông thì ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}\left| {OA} \right|\left| {OB} \right|\left| {OC} \right| = \frac{1}{6}.3.6.12 = 36$ (đúng)
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là A
Câu 10-[Thi thử THPT Nho Quan – Ninh Bình lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0;1;0); B(2;2;2), C(-2,3;1) và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$. Tìm điểm M thuộc d sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 3
A. $\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( { - \frac{{15}}{2};\frac{9}{4}; - \frac{{11}}{2}} \right)$ B. $\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( { - \frac{{15}}{2};\frac{9}{4};\frac{{11}}{2}} \right)$
C. $\left( {\frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( {\frac{{15}}{2};\frac{9}{4};\frac{{11}}{2}} \right)$
D. $\left( {\frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( {\frac{{15}}{2};\frac{9}{4};\frac{{11}}{2}} \right)$
Điểm M thuộc d nên có tọa độ M(1+2t, -2-t, 3+2t)
Thể tích tứ diện MABC được tính theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
Tính $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right)$
Ta có $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 3 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \pm 18$
Với $\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = 18 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] - 18 = 0$
Ta được $t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)$
Với $\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = - 18 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] + 18 = 0$
Rõ ràng chỉ có đáp số A chứa điểm M trên $ \Rightarrow $A là đáp số chính xác
Câu 11-[Câu 4 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho A(0; 0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;2;1) . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là :
A. $\sqrt {11} $
B. $\frac{1}{{\sqrt {11} }}$
C.1
D. 11
Tính thể tích tứ diện ABCD theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 0.5$
Gọi h là chiều cao cần tìm . Khi đó ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}h.{S_{ABC}} \Leftrightarrow h = \frac{{3S}}{{{S_{ABC}}}}$
Tính diện tích tam giác ABC theo công thức ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
Vậy $h = \frac{{3V}}{{{S_{ABC}}}} = 0.3015... = \frac{1}{{\sqrt {11} }}$. $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B.
Sửa lần cuối: