casio Bài 27: Kỹ thuật casio tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác

  • Cho tam giác ABC có diện tích tam giác ABC tính theo công thức $S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
  • Ứng dụng tính chiều cao AH của tam giác ABC : $AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$
2. Ứng dụng tích có hướng tính thể tích hình chóp
  • Thể tích hình chóp ABCD được tính theo công thức ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$
  • Ứng dụng tính chiều cao AH của hình chóp ABCD : $AH = \frac{{3.{V_{ABCD}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}}$
3. Lệnh Caso
  • Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
  • Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
  • Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
  • Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
  • Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
  • Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
  • Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
  • Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Câu 41 đề minh họa vào ĐHQG HN ]

Cho 4 điểm A(1;0;1) , B(2;2;2) , C(5;2;1) , D(4;3;-2) . Tính thể tích tứ diện ABCD
A.6
B.12
C.4
D. 2
Nhập thông số ba vecto $\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {AD} $ vào máy tính Casio
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (1).PNG

Áp dụng công thức tính thể tích ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 4$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (2).PNG

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

Câu 2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1]
Cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) . Điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là :
A.(3;-7;0)
B. $\left[ \begin{array}{l}
\left( {0; - 7;0} \right)\\
\left( {0;8;0} \right)
\end{array} \right.$
C.(0;8;0)
D. $\left[ \begin{array}{l}
\left( {0;7;0} \right)\\
\left( {0; - 8;0} \right)
\end{array} \right.$
Ta có : $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 5 \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \pm 30$
Tính $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]$ bằng Casio ta được $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 4; - 2} \right)$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (3).PNG

Điểm D nằm trên Oy nên có tọa độ D(0;y;0) $ \Rightarrow \overrightarrow {AD} \left( { - 2;y - 1;1} \right)AC$
Nếu $\overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = 30$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (4).PNG

Ta thu được $y = - 7 \Rightarrow D\left( {0; - 7;0} \right)$
Nếu $\overrightarrow {AD} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = - 30$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (5).PNG

Ta thu được $y = 8 \Rightarrow D\left( {0;8;0} \right)$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

Câu 3-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(3;-1;1), C(1;1;1). Tính diện tích S của tam giác ABC
A. $S = \sqrt 3 $
B. $S = \sqrt 2 $
C. $S = \frac{1}{2}$
D. $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}S = 1$
Nhập 2 vecto $\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} $ vào máy tính Casio
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (6).PNG

Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 1.732... = \sqrt 3 $
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (7).PNG

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 4-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1]
Cho hai điểm A(1;2;0), B(4;1;1). Độ dài đường cao OH của tam giác OAB là :
A. $\frac{1}{{\sqrt {19} }}$
B. $\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} $
C. $\sqrt {\frac{{19}}{{86}}} $
D. $\sqrt {\frac{{54}}{{11}}} $
Tính diện tích tam giác ABC theo công thức ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right|$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (8).PNG

Vì giá trị diện tích này lẻ nên ta lưu vào biến A cho dễ nhìn
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (9).PNG

Gọi h là chiều cao hạ từ O đến đáy AB ta có công thức ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}h.AB$$ \Leftrightarrow h = \frac{{2S}}{{AB}}$
Tính độ dài cạnh $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (10).PNG

Giá trị này lẻ ta lại lưu vào biến B
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (11).PNG

$ \Rightarrow h = \frac{{2A}}{B} = 2.2156... = $
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (12).PNG

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D

Câu 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4,8). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là :
A.11
B. $\frac{{45}}{7}$
C. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$
D. $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}$
Ta tính được thể tích cả tứ diện ABCD theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \frac{{154}}{3}$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (13).PNG

Gọi h là khoảng cách từ D $ \Rightarrow V = \frac{1}{3}h.{S_{ABC}}$ $ \Rightarrow h = \frac{{3V}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{154}}{{{S_{ABC}}}}$:
Tính ${S_{ABC}}$ theo công thức ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 14$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (14).PNG

Khi đó $h = \frac{{154}}{{14}} = 11$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 6-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;5;0), B(3;3;6) và $d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ . Điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất có tọa độ là :
A.M(-1;1;0)
B.M(3;-1;4)
C. M(-3;2;-2)
D. M(1;0;2)
Diện tích tam giác ABM được tính theo công thức $S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right]} \right| \Leftrightarrow 2S = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right]} \right|$
Với M(-1;1;0) ta có 2S= 29.3938…
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (15).PNG

Với M(3;-4;4) ta có 2S= 29.3938…
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (16).PNG

Với M(-3;2;-2) ta có 2S= 32.8633…
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (17).PNG

Với M(1;0;2) ta có 2S= 28.1424…
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (18).PNG

So sánh 4 đáp số $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C

Câu 7-[Câu 1 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho A(2, -1;6), B(-3;-1’-4), C(5;-1;0), D(1;2;1) . Thể tích tứ diện ABCDbằng :
A. 30
B. 40
C. 50
D.60
Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 30$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (19).PNG

Vậy đáp số chính xác là A

Câu 8-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1]
Cho bốn điểm A(a; -1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1) và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30 Giá trị của a là :
A.1
B.2
C. 2 hoặc 32
D.32
Vì điểm A chứa tham số nên ta ưu tiên vecto $\overrightarrow {BA} $ tính sau cùng. Công thức tính thể tích ABCD ta sắp xếp như sau : $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$
Tính $\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 12; - 24;24} \right)$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (20).PNG

Ta có $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = 30 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \pm 180$
Với $\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = 180 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] - 180 = 0$$ \Rightarrow a = 2$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (21).PNG

Với $\overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = - 180 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] + 180 = 0$$ \Rightarrow a = 32$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (22).PNG

$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C

Câu 9-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1]
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho ${V_{OABC}} = 36$
A. $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{12}} = 1$
B. $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$
C. $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{12}} = 1$
D. Đáp án khác
Trong các đáp án chỉ có mặt phẳng ở đáp án A đi qua điểm M(1;2;4) cho nên ta chỉ đi kiểm tra tính đúng sai của đáp án A
Theo tính chất của phương trình đoạn chắn thì mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{12}} = 1$ cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A(3;0;0), B(6;6;0), C(0’0;12) . Hơn nữa 4 điểm O, A, B, C lập thành một tứ diện vuông đỉnh O
Theo tính chất của tứ diện vuông thì ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}\left| {OA} \right|\left| {OB} \right|\left| {OC} \right| = \frac{1}{6}.3.6.12 = 36$ (đúng)
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là A

Câu 10-[Thi thử THPT Nho Quan – Ninh Bình lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0;1;0); B(2;2;2), C(-2,3;1) và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$. Tìm điểm M thuộc d sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 3
A. $\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( { - \frac{{15}}{2};\frac{9}{4}; - \frac{{11}}{2}} \right)$ B. $\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( { - \frac{{15}}{2};\frac{9}{4};\frac{{11}}{2}} \right)$
C. $\left( {\frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( {\frac{{15}}{2};\frac{9}{4};\frac{{11}}{2}} \right)$
D. $\left( {\frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right);\left( {\frac{{15}}{2};\frac{9}{4};\frac{{11}}{2}} \right)$
Điểm M thuộc d nên có tọa độ M(1+2t, -2-t, 3+2t)
Thể tích tứ diện MABC được tính theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
Tính $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right)$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (23).PNG

Ta có $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 3 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \pm 18$
Với $\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = 18 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] - 18 = 0$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (24).PNG

Ta được $t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)$
Với $\overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = - 18 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] + 18 = 0$
Rõ ràng chỉ có đáp số A chứa điểm M trên $ \Rightarrow $A là đáp số chính xác

Câu 11-[Câu 4 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]
Cho A(0; 0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;2;1) . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là :
A. $\sqrt {11} $
B. $\frac{1}{{\sqrt {11} }}$
C.1
D. 11
Tính thể tích tứ diện ABCD theo công thức $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = 0.5$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (25).PNG

Gọi h là chiều cao cần tìm . Khi đó ${V_{ABCD}} = \frac{1}{3}h.{S_{ABC}} \Leftrightarrow h = \frac{{3S}}{{{S_{ABC}}}}$
Tính diện tích tam giác ABC theo công thức ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
 tính nhanh thể tích chóp và diện tích tam giác (26).PNG

Vậy $h = \frac{{3V}}{{{S_{ABC}}}} = 0.3015... = \frac{1}{{\sqrt {11} }}$. $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B.
 
Sửa lần cuối:

33 Kỹ thuật casio giải toán ôn thi đại học