casio Bài 24: Kỹ thuật casio xác định vị trí tương đối giữa đường và mặt

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng d và d’ có hai vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} $ và $\overrightarrow {{u_{d'}}} $và có hai điểm M, M’ thuộc hai đường thẳng trên.
$d\parallel d'$ nếu $\overrightarrow {{u_d}} = k.\overrightarrow {{u_{d'}}} $và có không có điểm chung
$d \equiv d'$ nếu $\overrightarrow {{u_d}} = k.\overrightarrow {{u_{d'}}} $ và có một điểm chung
d cắt d’ nếu $\overrightarrow {{u_d}} $ không song song $\overrightarrow {{u_{d'}}} $ và $\overrightarrow {MM'} \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = 0$
d chéo d’ nếu $\overrightarrow {{u_d}} $ không song song $\overrightarrow {{u_{d'}}} $ và $\overrightarrow {MM'} \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] \ne 0$
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} $ và vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $
$d\parallel \left( P \right)$ nếu $\overrightarrow {{u_d}} $ $ \bot $ $\overrightarrow {{n_P}} $ và không có điểm chung
$d \equiv \left( P \right)$ nếu $\overrightarrow {{u_d}} $ $ \bot $ $\overrightarrow {{n_P}} $ và có điểm chung
$d \bot \left( P \right)$nếu $\overrightarrow {{u_d}} = k.\overrightarrow {{n_P}} $
3. Lệnh Caso
  • Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8
  • Nhập thông số vecto MODE 8 1 1
  • Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB
  • Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB
  • Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP
  • Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP
  • Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7
  • Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}$và đường thẳng ${d_2}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$ . Vị trí tương đối của ${d_1},\,{d_2}$ là :
A.Cắt nhau
B.Song song
C.Chéo nhau
D. Vuông góc
Ta thấy $\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \left( {2;1; - 3} \right)$ không tỉ lệ$\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \left( {2;2; - 1} \right)$ $ \Rightarrow $ $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$không song song hoặc trùng nhau
Lấy ${M_1}\left( { - 1;1; - 1} \right)$ thuộc ${d_1}$, lấy ${M_2}\left( { - 3; - 2; - 2} \right)$ thuộc ${d_2}$ ta được $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2; - 3; - 1} \right)$
Xét tích hỗn tạp $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]$ bằng máy tính Casio theo các bước :
Nhập thông số các vecto $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} $vào các vecto A, vecto B, vecto C
vị trí tương đối giữa đường và mặt (1).PNG

Tính $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]$
vị trí tương đối giữa đường và mặt (2).PNG

Ta thấy $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = 0$$ \Rightarrow $ hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ đồng phẳng nên chúng cắt nhau
Đáp số chính xác là A

Câu 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng
$d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2{\rm{r}}\\
y = - 2 - 3t\\
z = 5 + 4t
\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 7 + 3m\\
y = - 2 + 2m\\
z = 1 - 2m
\end{array} \right.$
A.Chéo nhau
B.Cắt nhau
C.Song song
D.Trùng nhau
Ta có hai vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} \left( {2; - 3;4} \right)$ và $\overrightarrow {{u_{d'}}} \left( {3;2; - 2} \right)$ không tỉ lệ với nhau $ \Rightarrow $ Không song song hoặc trùng nhau $ \Rightarrow $ Đáp án C và D là sai
Chọn hai điểm $M\left( {1; - 2;5} \right)$ thuộc d và $M'\left( {7; - 2;1} \right)$ thuộc d’ .
Xét tích hỗn tạp $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]$ bằng máy tính Casio theo các bước :
Nhập thông số các vecto $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} $vào các vecto A, vecto B, vecto C
vị trí tương đối giữa đường và mặt (3).PNG

Tính $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]$
vị trí tương đối giữa đường và mặt (4).PNG

Ta thấy $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = - 64 \ne 0$$ \Rightarrow $ hai đường thẳng (d), (D’) không đồng phẳng nên chúng chéo nhau
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 3-[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 2]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x - 3y + 2z + 6 = 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.d cắt và không vuông góc với (P)
B. $d \bot \left( P \right)$
C. dsong song với(P)
D.d nằm trong (P)
Ta có ${u_d}\left( {1; - 3; - 1} \right)$ và ${n_P}\left( {3; - 3;2} \right)$ . Nhập hai vecto này vào máy tính Casio
vị trí tương đối giữa đường và mặt (5).PNG

Xét tích vô hướng $\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 10$$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} $ không vuông góc với $\overrightarrow {{n_P}} $$ \Rightarrow d,\left( P \right)$ không thể song song hoặc trùng nhau $ \Rightarrow $ Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B
vị trí tương đối giữa đường và mặt (6).PNG

Lại thấy $\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow {{n_P}} $ không song song với nhau $ \Rightarrow $d không thể vuông góc với (P) $ \Rightarrow $ Đáp số B sai
Vậy đáp án chính xác làA

Câu 4-[Câu 63 Sách bài tập hình học nâng cao trang 132]
Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d:\frac{{x - 9}}{8} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z = 3}}{3}$ và đường thẳng $\left( \alpha \right):x + 2y - 4{\rm{z}} + 1 = 0$
A.d cắt và không vuông góc với (P)
B. $d \bot \left( P \right)$
C. d song song với(P)
D. d nằm trong (P)
Ta có $d \bot \left( P \right)$ và ${n_P}\left( {1;2; - 4} \right)$ . Nhập hai vecto này vào máy tính Casio
vị trí tương đối giữa đường và mặt (7).PNG

Xét tích vô hướng $\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0$$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} $vuông góc với ${{n_P}}$$ \Rightarrow d,\left( P \right)$ chỉ có thể song song hoặc trùng nhau $ \Rightarrow $ Đáp số đúng chỉ có thể là C hoặc D
vị trí tương đối giữa đường và mặt (8).PNG

Lấy một điểm M bất kì thuộc d ví dụ như M(9;1;3) ta thấy M cũng thuộc $\left( \alpha \right)$ $ \Rightarrow $d và $\left( \alpha \right)$ có điểm chung $ \Rightarrow $d thuộc $\left( \alpha \right)$
Vậy đáp án chính xác làD

Câu 5-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ]
Tìm m để mặt phẳng (P): 2x-my+3z-6+m=0 song song với mặt phẳng (Q): (m+3)x- 2y+ (5m+1)-10=0
A.m=1
B. $m \ne 1$
C. $m = - \frac{9}{{10}}$
D.Không tồn tại m
Ta có hai vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} \left( {2; - m,3} \right)$và $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {m + 3; - 2;5m + 1} \right)$
Để $\left( P \right)\parallel \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} = k.\overrightarrow {{n_Q}} $$ \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ - m}}{{ - 2}} = \frac{3}{{5m + 1}} = k$ (1)
Với m=1 ta có k=2 thỏa (1)
Thử lại ta thấy hai mặt phẳng có dạng $\left\{ \begin{array}{l}
\left( P \right):2x - y + 3z - 5 = 0\\
\left( Q \right):2x - 2y + 6z - 10 = 0
\end{array} \right.$
Nhận thấy $\left( P \right) \equiv \left( Q \right)$ $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Với $m = - \frac{9}{{10}}$ ta có $k = \frac{{20}}{{21}}$ không thỏa mãn (1) $ \Rightarrow m = - \frac{9}{{10}}$ không nhận $ \Rightarrow $C và B đều sai
$ \Rightarrow $ Đáp án D là chính xác

Câu 6-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 1\\
z = - 2 - 3t
\end{array} \right.$ và mặt phẳng (P): 2x+y+z-2=0 . Giao điểm M của d và P có tọa độ :
A. M(3;1;-5)
B. M(2;1;-7)
C. M(4;3;5)
D. M(1;1; 0)
Điểm M thuộc d nên có tọa độ M(1+2t;1; -2-2t). Điểm M cũng thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)
$ \Leftrightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) + 1 + \left( { - 2 - 3t} \right) - 2 = 0$
Công việc trên là ta sẽ nhẩm ở trong đầu , để giải bài toán ta dùng máy tính Casio luôn :
vị trí tương đối giữa đường và mặt (9).PNG

Ta tìm được luôn t=1 vậy x=1+2t=3
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác làA

Câu 7-[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua A vuông góc và cắt d
A. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{1}$
B. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$
C. $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$
D. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{1}$
Đường thẳng $\Delta $ cắt d tại điểm B. Vì B thuộc d nên có tọa độ B(1+t, t, -1+2t)
Ta có : $\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$
Với $\overrightarrow {AB} \left( {1 + t - 1;t - 0; - 1 + 2t - 2} \right)$và $\overrightarrow {{u_d}} \left( {1;1;2} \right)$ ta có : $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$
$ \Leftrightarrow 1.\left( {1 + t - 1} \right) + 1\left( {t - 0} \right) + 2\left( { - 1 + 2t - 2} \right) = 0$
Đó là việc nhẩm ở trong đầu hoặc viết ra nháp, nhưng nếu dùng máy tính Casio ta sẽ bấm luôn :
vị trí tương đối giữa đường và mặt (10).PNG

Ta được luôn $t = 1 \Rightarrow B\left( {2;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {AB} \left( {1;1; - 1} \right)$
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác làB

Câu 8-[Câu 74 Sách bài tập hình học nâng cao 12]
Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9,4,-9) và mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x - y + z + 1 = 0$ . Tìm tọa độ của M trên $\left( \alpha \right)$ sao cho $\left| {MA - MB} \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $M\left( {1;1; - \frac{5}{2}} \right)$
B. $M\left( {2;\frac{1}{2}; - 2} \right)$
C. $M\left( {1;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$
D. $M\left( {\frac{5}{4};\frac{5}{4};3} \right)$
Nếu A, B, M không thẳng hàng sẽ thì ba điểm trên sẽ lập thành một tam giác. Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có $\left| {MA - MB} \right| < AB$
Nếu ba điểm trên thẳng hàng thì ta có $\left| {MA - MB} \right| = AB$ nếu A, B nằm khác phía với $\left( \alpha \right)$ (điều này đúng) . Theo yêu cầu của đề bài thì rõ ràng A, B, M thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB và $\left( \alpha \right)$
Ta có : $AB:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 - 12t\\
y = 1 + 3t\\
z = - 9t
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M\left( {3 - 12t;1 + 3t; - 9t} \right)$
Tìm bằng máy tính Casio :
vị trí tương đối giữa đường và mặt (11).PNG

Ta được $t = \frac{1}{6} \Rightarrow M\left( {1;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$
Đáp án chính xác là C

Câu 9-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hai mặt phẳng (P): nx+7y-6z+4 , (Q): 3x+my-2z-7 song song với nhau. Khi đó giá trị m,n thỏa mãn là :
A. $m = \frac{7}{3},n = 1$
B. $m = 9,n = \frac{7}{3}$
C. $m = \frac{3}{7},n = 9$
D. $m = \frac{7}{3},n = 9$
Để 2 mặt phẳng song song với nhau thì 2 vecto chỉ phương của chúng song sóng hoặc trùng nhau $ \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} \left( {n;7; - 6} \right)$ tỉ lệ với $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {3;m; - 2} \right)$$ \Leftrightarrow \frac{n}{3} = \frac{7}{m} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = k$
Ta thu được tỉ lệ k=3từ đó suy ra $n = 9;m = \frac{7}{3}$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D.

Câu 10-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ xxyz cho $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = - 2 - 2t
\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t'\\
y = 1 - t'\\
z = 1
\end{array} \right.$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là :
A.Chéo nhau
B.Cắt nhau
C.Song song
D.Trùng nhau
Vì Xét hai vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} \left( {1; - 1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {{u_{d'}}} \left( {1; - 1;0} \right)$ không tỉ lệ với nhau $ \Rightarrow $Hai đường thẳng d và d’ không thể song song hoặc trùng nhau $ \Rightarrow $ Đáp án C và D loại
Lấy hai điểm thuộc hai đường thẳng là M(1;2;-2) và M’(2;1;1) . Nhập ba vecto vào casio
vị trí tương đối giữa đường và mặt (14).PNG

Xét tích hỗn tạp $\overrightarrow {MM'} \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = 0$
vị trí tương đối giữa đường và mặt (15).PNG

$ \Rightarrow d,d'$ đồng phẳng (nằm trên cùng một mặt phẳng) $ \Rightarrow d$ cắt d’
$ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là B

Câu 11-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình : $\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}$
Xét mặt phẳng (P): 10x+2y+mz+11 với m là tham số thực . Tìm tất cả các giá trị của để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng $\Delta $
A.m=-2
B.m=2
C.m=-52
D.m=52
Ta có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {5;1;1} \right)$ và vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} \left( {10;2;m} \right)$
Để mặt phẳng $\left( P \right) \bot \Delta $ thì $\overrightarrow {{n_P}} $ tỉ lệ với $\overrightarrow {{u_\Delta }} $ (song song hoặc trùng nhau)
$ \Rightarrow \frac{{10}}{5} = \frac{2}{1} = \frac{m}{1}$$ \Rightarrow m = 2$
Vậy đáp số chính xác là B

Câu 12-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1]
Cho mặt phẳng (P): x-3y+z và đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 2 - t\\
z = - 1 + t
\end{array} \right.$ . (P) và $\Delta $ cắt nhau tại điểm có tọa độ
A. (1;2;-1)
B.(0;-1;3)
C.(-1; 3; -2)
D. (3;1;0)
Gọi giao điểm là M , vì M thuộc $\Delta $ nên M(1+2t; 2-t, -1+t)
Tọa độ M thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) nên ta có thể sử dụng máy tính Casio tìm luôn ra t
vị trí tương đối giữa đường và mặt (16).PNG

$ \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {3;1;0} \right)$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D

Câu 13-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;0) , B(0;2;0) , C(0;0;3) và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - t\\
y = 2 + t\\
z = 3 + t
\end{array} \right.$ . Cao độ giao điểm của d và mặt phẳng (ABC) là :
A.3
B.6
C.9
D. -6
Mặt phẳng (ABC) đi qua 3 điểm thuộc 3 trục tọa độ vậy sẽ có phương trình là : $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$$ \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 1 = 0$.
Gọi giao điểm là M(-t; 2+t, 3+t). Sử dụng máy tính Casio tìm t
vị trí tương đối giữa đường và mặt (17).PNG

Vậy z=3+t=9
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
 
Sửa lần cuối:

33 Kỹ thuật casio giải toán ôn thi đại học