casio Bài 20: Kỹ thuật casio tính diện tích hình phẳng

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\)
A. \(\frac{{37}}{{12}}\)
B. \(\frac{9}{4}\)
C. \(\frac{{81}}{{12}}\)
D. \(13\)
Ta có hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\)
Giải phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)
Ta có 3 cận \(x = 0;x = 1;x = - 2\) mà công thức chỉ có 2 cận vậy ta chia thành 2 khoảng cận \( - 2 \le x \le 0\) và \(0 \le x \le 1\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3} - x\) , \(y = 3 - x\) và hai đường thẳng \(x = - 2;x = 0\) là \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {\left( {{x^3} - x} \right) - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|dx} \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3} - x\) , \(y = 3 - x\) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\) là \({S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{x^3} - x} \right) - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|dx} \)
Vậy tổng diện tích \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {\left( {{x^3} - x} \right) - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{x^3} - x} \right) - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|dx} \)
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

Vậy \(S = \frac{{37}}{{12}}\) ta chọn đáp án chính xác là A
Bình luận: Thật tuyệt vời phải không, và tư đây theo 3 bước kết hợp Casio ta sẽ làm mọi bài liên quan đến tính diện tích hình phẳng.

Câu 2-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội]
Cho miền \(\left( D \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \ln \left( {x + 1} \right),\,y = \ln 2.\sqrt x ,\,x = 2\) . Diện tích miền phẳng \(\left( D \right)\) bằng :
A. \(\ln \sqrt[3]{{16}}.\left( {\sqrt 2 + 1} \right) - 3\ln 3 + 1\)
B. \( - \frac{4}{3}\ln 2.\left( {\sqrt 2 + 1} \right) + 3\ln 3 - 1\)
C. \(\ln \frac{{16}}{{27}} + \frac{4}{3}\sqrt 2 \ln 2 + 1\)
D. \(\ln \frac{{\sqrt[3]{{16}}}}{{27}} + \frac{4}{3}\ln {2^{\sqrt 2 }} + 1\)
Ta có hai hàm số \(y = \ln \left( {x + 1} \right)\) và \(y = \ln 2.\sqrt x \)
Cận đầu tiên là \(x = 2\) ta đi tìm cận tiếp theo bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm \(\ln \left( {x + 1} \right) = \ln 2.\sqrt x \Leftrightarrow \ln \left( {x + 1} \right) - \ln 2.\sqrt x = 0\)
Để giải nhanh phương trình này ta sẽ sử dụng Casio với chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE

Ta được nghiệm \(x = 1\)
Vậy ta tìm được hai cận \(x = 1;x = 2\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số \(y = \ln \left( {x + 1} \right)\) , \(y = \ln 2.\sqrt x \) và hai đường thẳng \(x = 1;x = 2\) là \(S = \int\limits_1^2 {\left| {\ln \left( {x + 1} \right) - \ln 2.\sqrt x } \right|dx} \)
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

Vậy \(S = 0,0646...\) Tính giá trị xem đáp án nào có kết quả \(0,0646...\) thì là đáp án chính xac. => ta chọn B
Bình luận :
Việc tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta có thể tính nhanh bằng kỹ thuật dò nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE đã được học ở bài trước.

Câu 3: Đường thẳng \(y = c\) chia hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = 4\) thành hai phần bằng nhau. Tìm c
A. \(\sqrt[3]{{16}}\)
B. \(\sqrt[3]{9}\)
C. \(2\sqrt 2 \)
D. \(3\sqrt 3 \)
Hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = 4\)
Giải phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Vậy cận thứ nhất là \(x = - 2\) cận thứ hai là \(x = 2\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = {x^2}\), \(y = 4\) và hai đường thẳng \(x = - 2,\,x = 2\) là : \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

Vậy \(S = \frac{{32}}{3}\) => một nửa diện tích là \(\frac{{16}}{3}\)
Vì đường thẳng \(y = c\) chia hình phẳng \(S\) thành 2 phần bằng nhau => Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2}\) , đường thẳng \(y = c\) có độ lớn là \(\frac{{16}}{3}\)
Thử với đáp án A ta có \(y = \sqrt[3]{{16}}\) . Giải phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = \sqrt[3]{{16}} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{{16}}\)
\( \Rightarrow {S_1} = \int\limits_{ - \sqrt[6]{{16}}}^{\sqrt[6]{{16}}} {\left| {{x^2} - \sqrt[3]{{16}}} \right|} dx\)

Vậy \({S_1} = \frac{{16}}{3}\) (đúng) => đáp án chính xác là A

Câu 4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \({y^2} = x + 1\) và trục \[Oy\] bằng :
A. 2
B. \(\frac{8}{3}\)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. \(\frac{{16}}{3}\)
Hai hàm số \(x = {y^2} - 1\) và trục \[Oy\]có phương trình\(x = 0\)
Giải phương trình tung độ giao điểm \({y^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow y = \pm 1\)
Vậy cận thứ nhất là \(y = - 1\) cận thứ hai là \(y = 1\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(x = {y^2} - 1\), \(x = 0\) và hai đường thẳng \(y = - 1,\,y = 1\) là : \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\left( {{y^2} - 1} \right) - 0} \right|dy} \)
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

Vậy \(S = \frac{4}{3}\) => đáp số chính xác là C
Bình luận:

• Bài toán này nên đưa về dạng 2 thì sẽ dễ dàng tính toán hơn. Nếu đưa về dạng 1 ta phải tính \(y = \pm \sqrt {x + 1} \) rồi lại phải tìm cận sẽ khó hơn
• Ta hiểu với máy tính \(X\) hay \(Y\) chỉ là kí hiệu nên \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\left( {{y^2} - 1} \right) - 0} \right|dy = } \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - 0} \right|dx} \)
• Nên ta có thể thực hiện phép tính với máy tính casio như trên

Câu 5-[Sách bài tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(x = {y^{\frac{2}{3}}}\) , đường cong \(x + {y^4} = 2\) và trục hoành
A. \(\frac{6}{5}\)
B. \(\frac{8}{5}\)
C. \(\frac{5}{5}\)
D. \(\frac{7}{4}\)
Hai hàm số \(x = {y^{\frac{2}{3}}}\) và \(x = 2 - {y^4}\)
Trục hoành có phương trình \(y = 0\) => cận thứ nhất \(y = 0\)
Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm : \({y^{\frac{2}{3}}} = 2 - {y^4}\) . Để giải nhanh ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE

vậy cận thứ hai là \(y = 1\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(x = {y^{\frac{2}{3}}}\), \(x = 2 - {x^4}\) và hai đường thẳng \(y = 0,\,y = 1\) là : \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{y^{\frac{2}{3}}}} \right) - \left( {2 - {y^4}} \right)} \right|dy} \)
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

Vậy \(S = 2\) => đáp số chính xác là A
Bình luận: Do cài đặt làm tròn của máy tính của mỗi máy là khá nhau nên ta nhanh nhạy trong việc làm tròn để tìm đáp án đúng nhất.

Câu 6-[Thi thử lớp toán thầy Bình lần 2]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip có phương trình \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
A. \(\pi \)
B. \(3\pi \)
C. \(\frac{{9\pi }}{5}\)
D. \(\frac{{7\pi }}{3}\)
Ta có \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1 - \frac{{{y^2}}}{9} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \)=> Hai hàm số \(x = - \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \) và \(x = \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \)
Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ giao điểm : \( - \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} = \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \Leftrightarrow \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 9 \Leftrightarrow y = \pm 3\) .
vậy cận thứ nhất \(y = - 3\) và cận thứ hai \(y = 3\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(x = - \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \), \(x = \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \) và hai đường thẳng \(y = - 3,\,y = 3\) là : \(S = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {\sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} - \left( { - \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} } \right)} \right|dy} \)
Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân

Vậy \(S = 9.4247... = 3\pi \) => đáp số chính xác là B
Bình luận: Trong chương trình lớp 10 sách giáo khoa đã đề cập đến các tính chất cơ bản của hình Elip nhưng chưa đề cập đến công thức tính diện tích của Elip và việc sử dụng tích phân để tính diện tích Elip là một ứng dụng tuyệt vời.

Câu 7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ]
Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi các cạnh \(AB,CD\) đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) và một đường cong hình \(\sin \) (như hình vẽ). Biết \(AB = 2\pi \left( m \right)\), \(AD = 2\left( m \right)\) . Tính diện tích đất phần còn lại (đơn vị tính \({m^2}\))

A. \(4\pi - 1\)
B. \(4\left( {\pi - 1} \right)\)
C. \(4\pi - 2\)
D. \(4\pi - 3\)
Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là : \({S_1} = AB.CD = 4\pi \left( {{m^2}} \right)\)
Hình \(\sin \) có biên độ \( \pm 1\) và chu kì \(2\pi \) nên có phương trình là : \(y = \sin x\)
Gắn hinh trên lên trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ \(O\) là giao điểm của đồ thị hình \(\sin \) với trục hoành MN
Ta có diện tích hình mầu đen bên phải trục hoành là : \({S_2} = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x - 0} \right|dx} = 2\)

Diện tích cần tìm \( = {S_1} - 2{S_2} = 4\pi - 4\) => đáp số chính xác là B
Bình luận: Nếu đề bài thay đổi thành \(AD = 4\) như vậy biên độ hình \(\sin \) là \( \pm 2\) vậy sẽ có phương trình là \(y = 2\sin x\)

Câu 8-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2]
Cho hình thang cong \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},\,y = 0,\,x = 0\) và \(x = \ln 4\) . Đường thẳng \(x = k\) \(\left( {0 < k < \ln 4} \right)\) chia \(\left( H \right)\) thành hai phần có diện tích \({S_1},{S_2}\) như hình vẽ bên. Tìm \(k\) để \({S_1} = 2{S_2}\)

A. \(k = \frac{2}{3}\ln 4\)
B. \(k = \ln 2\)
C.\(k = \ln \frac{8}{3}\)
D. \(k = \ln 3\)
Gọi \(S\) là diện tích hình \(\left( H \right)\) ta có \(S = \int\limits_0^{\ln 4} {\left| {{e^x} - 0} \right|dx} = 3\)

Vì \({S_1} = 2{S_2}\) mà tổng diện tích là 3 \( \Rightarrow {S_1} = 2 \Rightarrow \int\limits_0^k {\left| {{e^x}} \right|dx} = 2\) . Thử các đáp án ta có \(k = \ln 3\)

=> Đáp số chính xác là D

Câu 9-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1]
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng \(16m\) và độ dài trục bé bằng \(10m\) . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng \(8m\) và nhận trục bé của Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là \(100.000\) đồng 1\({m^2}\) . Hổi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? (Số tiền làm tròn đến hàng ngàn)

A. \(7.862.000\)
B. \(7.653.000\)
C.\(7.128.000\)
D. \(7.826.000\)
Xét hệ tọa độ \(Oxy\) đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn là \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
Xét phần đồ thị Elip nằm phía trên trục hoành có \(y = 5\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{64}}} \)
Diện tích \(S\) của dải đất cũng chính bằng 2 lần phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = - 4\) , đường thẳng \(x = 4\)
\( \Rightarrow S = 2\int\limits_{ - 4}^4 {\left| {5\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{64}}} - 0} \right|} dx = 76.5389182\)

=> Đáp số chính xác là B

Câu 10-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần 1]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2}\) , đường thẳng \(y = 2 - x\) và trục hoành trong miền \(x \ge 0\) bằng :
A. \(\frac{9}{2}\)
B. \(\frac{7}{6}\)
C. \(\frac{{10}}{3}\)
D. \(\frac{5}{6}\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 2 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\) . Tuy nhiên đề bài yêu cầu tính diện tích trên miền \(x \ge 0\) => Ta tính diện tích hình phẳng trên miền \(\left[ {0;1} \right]\)
=> Cận thứ nhất \(x = 0\) , cận thứ hai \(x = 1\) .
Diện tích cần tính là : \(S = \int_0^1 {\left| {{x^2} - \left( {2 - x} \right)} \right|dx} = \frac{7}{6}\)

Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miền \(x \ge 0\) thì ta tính trên toàn bộ miền \(\left[ { - 2;0} \right]\) . Ta có : \(S = \int_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - \left( {2 - x} \right)} \right|dx} = \frac{9}{2}\)
Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miền \(x \le 0\) thì ta tính trên miền \(\left[ { - 2;0} \right]\) . Ta có : \(S = \int_{ - 2}^0 {\left| {{x^2} - \left( {2 - x} \right)} \right|dx} = \frac{{10}}{3}\)
Các e học sinh chú ý điều này vì rất dễ gây nhầm lẫn.

Câu 11-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + x - 1\) và \(y = {x^4} + x - 1\)
A. \(\frac{8}{{15}}\)
B. \(\frac{{14}}{{15}}\)
C. \(\frac{4}{{15}}\)
D. \(\frac{6}{{15}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + x - 1 = {x^4} + x - 1 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\) .
=> Ta có cận thứ nhất \(x = - 1\) , cận thứ hai \(0\), cận thứ ba \(x = 1\)
Diện tích cần tính là : \(S = \int_{ - 1}^0 {\left| {\left( {{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^4} + x - 1} \right)} \right|dx} + \int_0^1 {\left| {\left( {{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^4} + x - 1} \right)} \right|dx} = \frac{4}{{15}}\)

=> Đáp số chính xác là C
Chú ý: Em nào hiểu phép biến đổi tính diện tích thì có thể bấm máy theo công thức
\(S = \int_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|dx} + \int_0^1 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|dx} \) sẽ rút gọn được thao tác bấm máy.

Câu 12-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} + 1} \right|\) và \(y = \left| x \right| + 3\) bằng :
A. \(\frac{{10}}{4}\)
B. \(\frac{{20}}{3}\)
C. \(\frac{{40}}{3}\)
D. \(\frac{{52}}{3}\)
Phương trình hoành độ giao điểm \(\left| {{x^2} + 1} \right| = \left| x \right| + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = \left| x \right| + 3 \Leftrightarrow {x^2} - \left| x \right| - 2 = 0\) (1).
Với \(x \ge 0 \Leftrightarrow \) (1)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (vì \(x \ge 0\))
Với \(x < 0 \Rightarrow \) (1) \( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) (vì \(x < 0\))
=> Cận thứ nhất \(x = - 2\) , cận thứ hai \(x = 2\) .
Diện tích cần tính là : \(S = \int_{ - 2}^2 {\left| {\left| {{x^2} + 1} \right| - \left( {\left| x \right| + 3} \right)} \right|dx} = \frac{{20}}{3}\)

=> Đáp số chính xác là B
Chú ý: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối \({x^2} - \left| x \right| - 2 = 0\) có thể giải bằng Casio thay vì chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối.

=> Ta tìm được hai nghiệm \(x = - 2;x = 2\)

Câu 14-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) và đồ thị hàm số \(y = 3 - x\) và trục tung
A. \(\frac{5}{2} - \frac{1}{{\ln 2}}\)
B. \(3 - \frac{1}{{\ln 2}}\)
C. \(5 - \frac{3}{{\ln 2}}\)
D. \(2 + \frac{1}{{\ln 2}}\)
Đề bài cho trục tung có phương trình \(x = 0\) nên cận thứ nhất là \(x = 0\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({2^x} = 3 - x\) . \( \Leftrightarrow x = 1\) là nghiệm duy nhất => cận thứ hai \(x = 1\)
Diện tích cần tính là : \(S = \int_0^1 {\left| {{2^x} - \left( {3 - x} \right)} \right|dx} = 1.0573... = \frac{5}{2} - \frac{1}{{\ln 2}}\)

=> Đáp số chính xác là A
Chú ý: Để giải phương trình \({2^x} = 3 - x\) ta có thể sử dụng máy tính Casio

Ta nhận được nghiệm \(x = 1\) . Tuy nhiên vì sao \(x = 1\) lại là nghiệm duy nhất thì xem lại ở bài “Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ.”

Câu 15-[Đoàn Quỳnh -Sách bài tập trắc nghiệm toán 12]
Biết diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x\) , \(y = 0\) , \(x = \frac{1}{e}\) , \(x = e\) có thể được viết dưới dạng \(S = a\left( {1 - \frac{1}{e}} \right)\) . Tìm khẳng định sai :
A. \({a^2} - 3a + 2 = 0\)
B. \({a^2} - a - 2 = 0\)
C. \({a^2} + 3a - 4 = 0\)
D. \(2{a^2} - 3a - 2 = 0\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \ln x\) , \(y = 0\) , \(x = \frac{1}{e}\) , \(x = e\) là : \(S = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {\left| {\ln x - 0} \right|} dx = 1.2642...\)

Vì \(S = a\left( {1 - \frac{1}{e}} \right) \Rightarrow a = \frac{S}{{1 - \frac{1}{e}}} = 2\)

Chỉ có phương trình ở câu C không chứa nghiệm này => đáp án C là đáp án chính xác
Chú ý: Bài này không cần dùng đến kiến thức của tích phân vẫn có thể làm được. Đề bài yêu cầu tìm đáp án mà số \(a\) không thỏa mãn => \(a\) không phải nghiệm chung của các phương trình. Mà nghiệm chung của các phương trình là 2 nên đáp số C không thỏa mãn

Câu 16-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 2\) và các tiếp tuyến với \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) là :
A. \(\frac{8}{3}\)
B. \(\frac{{64}}{3}\)
C. \(\frac{{16}}{3}\)
D. \(\frac{{40}}{3}\)
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua \(A\left( {2; - 2} \right)\) ta thu được
Tiếp tuyến thứ nhất \(y = - 2x + 2\) với tiếp điểm \(B\left( {0;2} \right)\)
Tiếp tuyến thứ hai \(y = 6x - 14\) với tiếp điểm \(C\left( {4;10} \right)\)
Ta hiểu hình phẳng cần tính diện tích là phần đường cong có 3 đỉnh \(A,B,C\) ta thu được ba cận là : \(x = 0;x = 2;x = 4\)
\( \Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) - \left( { - 2x + 2} \right)} \right|dx} + \int\limits_2^4 {\left| {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) - \left( {6x - 14} \right)} \right|dx} = \frac{{16}}{3}\)

=> Đáp số chính xác là C
Chú ý: Để biết được tiếp tuyến tại sao lại là \(y = - 2x + 2;y = 6x - 14\) thì xem lại bài Casio tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số .
Giải thích công thức (1) : Trên miền \(x \in \left[ {0;2} \right]\) ta thấy hai cận này được hình thành bởi hai đường cong \(y = {x^2} - 2x + 2;y = - 2x + 2\) nên diện tích phải được tính theo công thức \(\int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) - \left( { - 2x + 2} \right)} \right|dx} \)

Câu 17-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = 2\sqrt {ax} \,\,\,\left( {a > 0} \right)\), trục hoành và đường thẳng \(x = a\) bằng \(k{a^2}\) . Tính giá trị của tham số \(k\)
A. \(k = \frac{7}{3}\)
B. \(k = \frac{4}{3}\)
C. \(k = \frac{{12}}{5}\)
D. \(k = \frac{6}{5}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành : \(2\sqrt {ax} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta được cận thứ nhất \(x = 0\) và cận thứ hai \(x = a\) . Khi đó diện tích hình phẳng là : \(S = \int\limits_0^a {\left| {2\sqrt {ax} - 0} \right|} dx\)
Thiết lập quan hệ \(\int\limits_0^a {\left| {2\sqrt {ax} - 0} \right|} dx = k{a^2} \Leftrightarrow k = \frac{{\int\limits_0^a {\left| {2\sqrt {ax} - 0} \right|} dx}}{{{a^2}}}\) . Chọn giá trị dương \(a\) bất kì ví dụ \(a = 3\) khi đó \(k = \frac{1}{9}\int\limits_0^a {\left| {2\sqrt {3x} - 0} \right|} dx = 1.33\left( 3 \right) = \frac{4}{3}\)

=> Đáp số chính xác là B
Chú ý: Dù ta chọn giá trị dương \(a\) bất kì thì đáp số \(k\) đều ra \(\frac{4}{3}\) ví dụ ta chọn \(a = 1.125\)
Khi đó \(k = \frac{1}{{{{1.125}^2}}}\int\limits_0^{1.125} {\left| {2\sqrt {1.125x} - 0} \right|} dx = 1.33\left( 3 \right) = \frac{4}{3}\)