casio Bài 12: Kỹ thuật casio giải bất phương trình mũ và logarit phần 1

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1. Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > 0$ có tập nghiệm là?
A. $\left( { - \propto ; - 2} \right)$
B. $\left( {4; + \propto } \right)$
C. $\left( { - 2;1} \right) \cup \left( {1;4} \right)$
D. $\left( { - \propto ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \propto } \right)$
(Chuyên Khoa học tự nhiên )
Cách 1 : CASIO
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A
CALC với giá trị cận trênX=-2-0,1 ta được

Đây là 1 giá trị dương vậy cận trên thỏa
CALC với giá trị cận dưới $X = - {10^5}$

Đây là 1 giá trị dương vậy cận dưới thỏa
Tới đây ta kết luận đáp án A đúng
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B thì ta thấy B cũng đúng
A đúng B đúng vậy A$ \cup $ B là đúng nhất và D là đáp án chính xác

Cách tham khảo: Tự luận
Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}1$ ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}1$ (1)
Vì cơ số $\frac{1}{2}$ thuộc $\left( {0;1} \right)$ nên (1) $ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} < 1 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} < {\log _3}3$ (2)
Vì cơ số 3>1nên (2) $ \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} < 3 \Leftrightarrow 3 - \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1 \end{array} \right.$
Xét điều kiện tồn tại $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 0\\ {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 0\\ {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > {\log _3}1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < - 2 \end{array} \right.$
Kết hợp đáp số $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1 \end{array} \right.$ và điều kiện $\left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < - 2 \end{array} \right.$ ta được $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < - 2 \end{array} \right.$
Bình luận:

• Ngay ví dụ 1 đã cho chúng ta thấy sức mạnh của Casio đối với dạng bài bất phương trình. Nếu tự luận làm nhanh mất 2 phút thì làm Casio chỉ mất 30 giây
• Trong tự luận nhiều bạn thường hay sai lầm ở chỗ là làm ra đáp số $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1 \end{array} \right.$ là dừng lại mà quên mất việc phải kết hợp điều kiện $\left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < - 2 \end{array} \right.$
• Cách Casio thì các bạn chú ý Đáp án A đúng , đáp án B đúng thì đáp án hợp của chúng là đáp án D mới là đáp án chính xác của bài toán.

Câu 2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}$ :
A. $x \in \left( { - \propto ; - 2} \right) \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$
B. $x \in \left( { - \propto ; - 2} \right] \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$
C. $x \in \left( { - \propto ;{{\log }_2}5 - 2} \right) \cup \left( {2; + \propto } \right)$
D. $x \in \left( { - \propto ;lo{g_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right)$ (Chuyên Thái Bình )
Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} - 4}} - {5^{x - 2}} \ge 0$
Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B và D

• CALC với giá trị cận trên X= -2 ta được

• CALC với giá trị cận dưới $X = - {10^5}$

Số $ - {10^5}$ là số quá nhỏ để máy tính Casio làm việc được vậy ta chọn lại cận dứoi X= -10

Đây cũng là một giá trị dương vậy đáp án nửa khoảng $\left( { - \propto ; - 2} \right]$ nhận
Đi kiểm tra xem khoảng tương ứng $\left( { - \propto ;lo{g_2}5 - 2} \right]$ ở đáp án D xem có đúng không, nếu sai thì chỉ có B là đúng

• CALC với giá trị cận dưới $X = {\log _2}5 - 2$

• CALC với cận trên X=10

Đây cũng là 2 giá trị dương vậy nửa khoảng $\left( { - \propto ;lo{g_2}5 - 2} \right]$ nhận
Vì nửa khoảng $\left( { - \propto ;lo{g_2}5 - 2} \right]$ chứa nửa khoảng $\left( { - \propto ; - 2} \right]$ vậy đáp án D là đáp án đúng nhất

Cách tham khảo: Tự luận
Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta được ${\log _2}\left( {{2^{{x^2} - 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left( {x - 2} \right){\log _2}5$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.$
Vậy ta chọn đáp án D.
Bình luận:

• Bài toán này lại thể hiện nhược điểm của Casio là bấm máy sẽ mất tầm 1.5 phút so với 30 giây của tự luận. Các e tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào thì làm theo cách Casio
• Các tự luận tác giả dùng phương pháp Logarit hóa 2 vế vì trong bài toán xuất hiện đặc điểm “ có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung” các bạn lưu ý điều này.

Câu 3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} - {6^x} + 1 > 0$ :
A. $S = \left( {2; + \propto } \right)$
B. S= (0;2)
C. S=R
D. $\left( { - \propto ;2} \right)$
(Thi HSG tỉnh Ninh Bình )
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A

• CALC với giá trị cận trên X= 10 ta được

Đây là 1 giá trị âm vậy đáp án A loại dẫn đến C sai
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B

• CALC với giá trị cận trên X=2- 0.1

• CALC với giá trị cận dứoi X= 0+ 0.1

Cả 2 giá trị này đều dương vậy đáp án B đúng
Vì D chứa B nên để xem đáp án nào đúng nhất thì ta chọn 1 giá trị thuộc D mà không B

• CALC với giá trị X= -2

Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác

Cách tham khảo: Tự luận
Bất phương trình $ \Leftrightarrow $ ${2.2^x} + {3.3^x} + 1 > {6^x} \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{2}{6}} \right)^x} + 3.{\left( {\frac{3}{6}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x} > 1$
$ \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x} > 1$ (1)
Đặt $f\left( x \right) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}$ khi đó (1) $ \Leftrightarrow f\left( x \right) > f\left( 2 \right)$ (2)
Ta có $f'\left( x \right) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\ln \left( {\frac{1}{3}} \right) + 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \left( {\frac{1}{2}} \right) + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}\ln \left( {\frac{1}{6}} \right) < 0$ với mọi x
$ \Rightarrow $ Hàm số f(x) nghịch biến trên R
Khi đó (2) $ \Leftrightarrow x < 2$
Bình luận:

• Tiếp tục nhắc nhở các bạn tính chất quan trọng của bất phương trình : B là đáp án đúng nhưng D mới là đáp án chính xác (đúng nhất)
• Phần tự luận tác giả dùng phương pháp hàm số với dấu hiệu “Một bất phương trình có 3 số hạng với 3 cơ số khác nhau”
• Nội dUng của phương pháp hàm số như sau : Cho một bất phương trình dạng $f\left( u \right) > f\left( v \right)$ trên miền $\left[ {a;b} \right]$ nếu hàm đại diện f(t) đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì u= v còn hàm đại diện luôn nghịch biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì u< v

IV. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1. Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > 0$ có tập nghiệm là:
A. $\left( { - \propto ; - 2} \right)$
B. $\left( {4; + \propto } \right)$
C. $\left( { - 2;1} \right) \cup \left( {1;4} \right)$
D. $\left( { - \propto ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \propto } \right)$
(Chuyên Khoa học tự nhiên )
Cách 1: CASIO
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A

• CALC với giá trị ngoài cận trên X= -2+ 0.1 ta được

Vậy lân cận phải của -2 là vi phạm $ \Rightarrow $ Đáp án A đúng và đáp án C sai
Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B

• CALC với giá trị ngoài cận trên X=4-0.1 ta được

Đây là giá trị âm. Vậy lân cận tráii của 4 là vi phạm $ \Rightarrow $ Đáp án B đúng và đáp án C sai
Đáp án A đúng B đúng vậy ta chọn hợp của 2 đáp án là đáp án D chính xác.

Câu 2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}$.
A. $x \in \left( { - \propto ; - 2} \right) \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$
B. $x \in \left( { - \propto ; - 2} \right] \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$
C. $x \in \left( { - \propto ;{{\log }_2}5 - 2} \right) \cup \left( {2; + \propto } \right)$
D. $x \in \left( { - \propto ;lo{g_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right)$ (Chuyên Thái Bình )
Cách 1: CASIO
Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} - 4}} - {5^{x - 2}} \ge 0$
Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B
CALC với giá trị ngoài cận trên -2 là X= -2+ 0.1 ta được

Đây là 1 giá trị dương (thỏa đề bài) mà đáp án B không chứa X= -2+ 0.1 $ \Rightarrow $ Đáp án B sai
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác

Câu 3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} - {6^x} + 1 > 0$:
A. $S = \left( {2; + \propto } \right)$
B. $S = \left( {0;2} \right)$
C. S=R
D. $\left( { - \propto ;2} \right)$
(Thi HSG tỉnh Ninh Bình )
Cách 1 : CASIO
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A

• CALC với giá trị ngoài cận dưới 2 ta chọn X= 2-0.1

Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) vậy đáp án A sai dẫn đến đáp án C sai
Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B

• CALC với giá trị ngoài cận dưới 0 ta chọn X= 0-0.1

Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) $ \Rightarrow $ Đáp án B sai
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác

Câu 3: Bất phương trình $\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0$ có tập nghiệm là :
A. $\left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \propto } \right)$
B. $\left( {1;2} \right) \cap \left( {3; + \propto } \right)$
C. $\left( { - \propto ;1} \right) \cap \left( {2;3} \right)$
D. $\left( { - \propto ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)$
(Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm )
Casio cách 1
Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với cận dưới X= 1+ 0.1 và cận trên X= 2- 0.1

Hai cận đều nhận $ \Rightarrow \left( {1;2} \right)$ nhận
Kiểm tra khoảng nghiệm $\left( {3: + \propto } \right)$ với cận dưới X= 3+0.1 và cận trên $X = {10^9}$

Hai cận đều nhận $ \Rightarrow \left( {3; + \propto } \right)$ nhận
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ \Rightarrow $ A là đáp số chính xác

Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với ngoài cận dưới X= 3 - 0.1 và ngoài cận trên X= 2+ 0.1

Hai cận ngoài khoảng (1;2) đều vi phạm $ \Rightarrow $ Khoảng (1;2) thỏa
Kiểm tra khoảng $\left( {3: + \propto } \right)$ với ngoài cận dưới X= 3-0.1và trong cận dưới (vì không có cận trên)

Ngoài cận dưới vi phạm, trong cận dưới thỏa $ \Rightarrow $ Khoảng $\left( {3; + \propto } \right)$ nhận
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ \Rightarrow $ A là đáp số chính xác

Câu 4: Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) - 1} $ là :
A. $\left[ {1; + \propto } \right)$
B. $\left( {1;\frac{3}{2}} \right]$
C. $\left( {1; + \propto } \right)$
D. $\left[ {\frac{3}{2}; + \propto } \right)$
(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội )
Điều kiện : ${\log _{0.5}}\left( {x - 1} \right) - 1 \ge 0$ ( trong căn $ \ge 0$)
Kiểm tra khoảng nghiệm $\left[ {1; + \propto } \right)$ với cận dưới X=1 và cận trên ${10^9}$

Cận dưới vi phạm $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Kiểm tra khoảng nghiệm $\left( {1;\frac{3}{2}} \right]$ với cận dưới $X = 1 + 0.1$ và cận trên X=3

Hai cận đều nhận $ \Rightarrow \left( {1;\frac{3}{2}} \right]$ nhận
Kiểm tra khoảng nghiệm $\left( {1; + \propto } \right)$ với cận trên $X = {10^9}$ $ \Rightarrow $ Cận trên bị vi phạm $ \Rightarrow $ C sai $ \Rightarrow $ D sai

Tóm lại A là đáp số chính xác
Casio cách 2
Đáp án A sai luôn vì cận x=1 không thỏa mãn điều kiện hàm logarit
Kiểm tra khoảng nghiệm $\left( {1;\frac{3}{2}} \right]$ với ngoài cận dưới $X = 1 - 0.1$ và ngoài cận trên $X = \frac{3}{2} + 0.1$

Ngoài hai cận đều vi phạm $ \Rightarrow $ $\left( {1;\frac{3}{2}} \right]$ nhận
Hơn nữa $X = \frac{3}{2} + 0.1$ vi phạm $ \Rightarrow $ C và D loại luôn

Câu 5:Nghiệm của bất phương trình ${\log _{x - 1}}\left( {{x^2} + x - 6} \right) > 1$ là?
A. x >1
B. $x > \sqrt 5 $
C. $x > 1;x \ne 2$
D. $1 < x < \sqrt 5 ,x \ne 2$
(Chuyên Khoa học tự nhiên )
Casio cách 1
Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${\log _{x - 1}}\left( {{x^2} + x - 6} \right) - 1 > 0$
Kiểm tra khoảng nghiệm x> 1 với cận dưới X= 1+0.1 và cận trên $X = {10^9}$

Cận dưới vi phạm $ \Rightarrow $ A sai $ \Rightarrow $ C và D chứa cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên cũng sai
Tóm lại đáp số chính xác là B

Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với ngoài cận dưới X=1 - 0.1 và cận dưới X=1 + 0.1

Cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên A , C , D đều sai

Câu 6:Giải bất phương trình ${\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{{x^2} - x - 9}} \le {\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{x - 1}}$.
A. $x \le - 2$
B. $x \ge 4$
C. $ - 2 \le x \le 4$
D. $x \le - 2$ hoặc $x \ge 4$
(Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai )
Casio cách 1
Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{{x^2} - x - 9}} - {\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{x - 1}} \le 0$
Kiểm tra khoảng nghiệm $x \le - 2$ với cận dưới X= -10 và cận trên X= -2

Hai cận đều nhận $ \Rightarrow $ $x \le - 2$ nhận $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác chỉ có thể là A hoặc D
Kiểm tra khoảng nghiệm $x \ge 4$ với cận dưới X=4 và cận trên X= 10

Hai cận đều nhận $ \Rightarrow $ $x \ge 4$ nhận
Tóm lại đáp số chính xác là D
Casio cách 2
Kiểm tra khoảng nghiệm $x \le - 2$ với ngoài cận trên X= -2+ 0.1 và cận trên X= -2

Ngoài cận trên X= -2+ 0.1 vi phạm nên A nhận đồng thời C sai
Kiểm tra khoảng nghiệm $x \ge 4$ với ngoài cận dưới X= 4 -0.1 và cận dưới X=4

Ngoài cận dưới X= 4 -0.1 vi phạm nên B nhận đồng thời C sai
Tóm lại A , B đều nhận nên hợp của chúng là D là đáp số chính xác.