casio Bài 10: Kỹ thuật casio tìm số nghiệm phương trình mũ và logarit phần 1

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: [THPT Phạm Hồng Thái – Hà Nội]
Số nghiệm của phương trình ${6.4^x} - {12.6^x} + {6.9^x} = 0$ là ;
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm

Thiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 10 Step 1

Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm.
Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu. Điều này có nghĩa x=0 là nghiệm duy nhất
Kết luận: Phương trình ban đầu có 1 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án B

Cách tham khảo: Tự luận
Vì ${9^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${9^x}$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow 6.\frac{{{4^x}}}{{{9^x}}} - 12.\frac{{{6^x}}}{{{9^x}}} + 6 = 0$
$ \Leftrightarrow 6.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} - 12.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} + 6 = 0$ (1)
Đặt ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$ là t thì ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} = {t^2}$ . Khi đó (1) $ \Leftrightarrow 6{t^2} - 12t + 6 = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Vậy ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Bình luận:
Để sử dụng phương pháp Casio mà không bị sót nghiệm ta có thể sử dụng vài thiết lập miền giá trị của X để kiểm tra. Ngoài Start -9 End 10 Step 1 ta có thể thiết lập Start -4 End 5 Start 0.5

Ta quan sát bảng giá trị vẫn có 1 nghiệm x=0 duy nhất vậy ta có thể yên tâm hơn về lựa chọn của mình.
Theo cách tự luận ta thấy các số hạng đều có dạng bậc 2. Ví dụ ${4^x} = {\left( {{2^x}} \right)^2}$ hoặc ${6^x} = {2^x}{.3^x}$ vậy ta biết đây là phương trình dạng đẳng cấp bậc 2.
Dạng phương trình đẳng cấp bậc 2 là phương trình có dạng $m{a^2} + nab + p{b^2} = 0$ ta giaỉ bằng cách chia cho ${b^2}$ rồi đặt ẩn phụ là $\frac{a}{b} = t$

Câu 2: [Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017]
Số nghiệm của phương trình ${e^{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \tan x$ trên đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$ là :
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Chuyển phương trình về dạng : ${e^{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}} - \tan x = 0$
Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End $2\pi $ Step $\frac{{2\pi - 0}}{{19}}$

Quan sát bảng giá trị ta thấy 3 khoảng đổi dấu như trên :
$f\left( {0.6613} \right).f\left( {0.992} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0.6613;0.992} \right)$
$f\left( {1.3227} \right).f\left( {1.6634} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {1.3227;1.6534} \right)$
$f\left( {3.6376} \right).f\left( {3.9683} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {3.6376;3.9683} \right)$
$f\left( {4.6297} \right).f\left( {4.9604} \right) < 0$ $ \Rightarrow $ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {4.6297;4.9604} \right)$
Kết luận: Phương trình ban đầu có 4 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án D
Bình luận :

• Đề bài yêu cầu tìm nghiệm thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$ nên Start = 0 và End = $2\pi $
• Máy tính Casio tính được bảng giá trị gồm 19 giá trị nên bước nhảy Step = $\frac{{2\pi - 0}}{{19}}$

Câu 3: [THPT Nhân Chính – Hà Nội]
Phương trình ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x - 1}}}} = {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x}$ có số nghiệm âm là :
A. 2 nghiệm
B. 3 nghiệm
C. 1 nghiệm
D. Không có
Chuyển phương trình về dạng : ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x - 1}}}} - {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} = 0$
Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm

Vì đề bài yêu cầu nghiệm âm nên ta hiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 0 Step 0.5

Ta thấy khi x=-4 thì F (-4) =0 vậy x= -4 là nghiệm.
Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X) nhưng không có giá trị nào làm cho F(X)=0 hoặc khoảng nào làm cho F(X) đổi dấu.
Điều này có nghĩa x= -4 là nghiệm âm duy nhất
Kết luận: Phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án C

Cách tham khảo: Tự luận
Logarit hai vế theo cơ số dương $\sqrt 3 + \sqrt 2 $
Phương trình ${\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x - 1}}}} = {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x}$ $ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^{\frac{{3x}}{{x - 1}}}} = {\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x}$
$ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{x + 1}} = x{\log _{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{x + 1}} = - x \Leftrightarrow x\left( {\frac{3}{{x + 1}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x + 1 = - 3 \Leftrightarrow x = - 4 \end{array} \right.$
x= -4 thỏa điều kiện.
Vậy ta có x= -4 là nghiệm âm thỏa phương trình
Bình luận :
Phương trình trên có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung. Vậy đây là dấu hiệu của phương pháp Logarit hóa 2 vế
Thực ra phương trình có 2 nghiệm $x = 0;x = - 4$ nhưng đề bài chỉ hỏi nghiệm âm nên ta chỉ chọn nghiệm x=-4 và chọn đáp án C là đáp án chính xác
Vì đề bài hỏi nghiệm âm nên ta thiết lập miền giá trị của x cũng thuộc miền âm (-9;0)

Câu 4: [THPT Yến Thế - Bắc Giang]
Số nghiệm của phương trình ${\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} + 7{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} = {2^{x + 3}}$ là :
A. 2
B. 0
C. 3
D. 1
Chuyển phương trình về dạng : ${\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} + 7{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} - {2^{x + 3}} = 0$
Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm :

Thiết lập miền giá trị của X là : Start -9 End 10 Step 1

Ta thấy khi x=0 thì F(0)=0 vậy x=0 là nghiệm.
Tiếp tục quan sát bảng giá trị F(X)

Ta lại thấy $f\left( { - 3} \right).f\left( { - 2} \right) < 0$ vậy giữa khoảng $\left( { - 3; - 2} \right)$ tồn tại 1 nghiệm
Kết luận : Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $ \Rightarrow $ Ta chọn đáp án A

Cách tham khảo: Tự luận
Vì ${2^x} > 0$ nên ta có thể chia cả 2 vế cho ${2^x}$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + 7{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} - 8 = 0$
Đặt ${\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = t$ $\left( {t > 0} \right)$ thì ${\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}$ . Khi đó (1) $ \Leftrightarrow t + 7.\frac{1}{t} - 8 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 8t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 7\end{array} \right.$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$
Với $t = 7 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 7 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}}7$
Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x = 0;x = {\log _{\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}}7$

Bình luận:

• Nhắc lại một lần nữa nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình có nghiệm thuộc $\left( {a;b} \right)$
• Ta nhận thấy 2 đại lượng nghịch đảo quen thuộc $\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ và $\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$ nên ta tìm cách để tạo ra 2 đại lượng này bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho ${2^x}$

Câu 5: Số nghiệm của bất phương trình ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x + 1}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x - 1}} = \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}$ (1) là :
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Chuyển bất phương trình (1) về dạng : ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x + 1}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x - 1}} - \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }} = 0$
Nhập vế trái vào máy tính Casio : $F\left( X \right) = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x + 1}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} - 2x - 1}} - \frac{4}{{2 - \sqrt 3 }}$

Ta thấy $f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$ vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc (-1,0)

Lại thấy $f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0$ vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc (2;3)
Kết luận: Phương trình (1) có 3 nghiệm $ \Rightarrow $ Chọn đáp án C

Câu 6: [Chuyên Khoa Học Tự Nhiên]
Số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x - 1} \right)^2} = \sqrt 2 $ là
A. 2
B. 1
C. 0
D. Một số khác
Phương trình $ \Leftrightarrow \log {\left( {x - 1} \right)^2} - \sqrt 2 = 0$ . Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm số nghiệm với Start -9 End 10 Step 1

Ta thấy có hai khoảng đổi dấu $ \Rightarrow $ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm
$ \Rightarrow $ A là đáp án chính xác
Chú ý : Để tránh bỏ sót nghiệm ta thường thử thêm 1 hoặc 2 lần nữa với hai khoảng Start End khác nhau Ví dụ Start -29 End -10 Step 1 hoặc Sart 11 End 30 Step 1. Ta thấy không có khoảng đổi dấu nào nữa
$ \Rightarrow $ Chắc ăn hơn với 2 nghiệm tìm được

Câu 8: [THPT Lục Ngạn - Bắc Giang]
Số nghiệm của phương trình $\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\log }_{0.5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1} \right] = 0$ là :
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Tìm điều kiện của phương trình: ${x^2} - 5x + 6 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\ x < 2 \end{array} \right.$

Phương trình $\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\log }_{0.5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1} \right] = 0$ . Vì điều kiện chia hai khoảng nên ta MODE 7 hai lần. Lần thứ nhất với Start -7 End 2 Step 0.5

Ta thấy có 1 nghiệm x=1
Lần thứ hai với Start 3 End 12 Start 0.5

Ta lại thấy có nghiệm x=4 $ \Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm 1 và 4 . $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Câu 9: [THPT Lục Ngạn - Bắc Giang]
Phương trình ${3^{{x^2} - 2x - 3}} + {3^{{x^2} - 3x + 2}} = {3^{2{x^2} - 5x - 1}} + 1$
A. Có ba nghiệm thực phân biệt
B. Vô nghiệm
C. Có hai nghiệm thực phân biệt
D. Có bốn nghiệm thực phân biệt
Phương trình $ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2x - 3}} + {3^{{x^2} - 3x + 2}} - {3^{2{x^2} - 5x - 1}} - 1 = 0$ . Sử dụng MODE 7 với Start -9 End 0 Step 0.5

Ta thấy có 1 nghiệm x=-1
Tiếp tục MODE 7 với Start 0 End 9 Step 0.5

Ta lại thấy có thêm ba nghiệm x=1;2;3 $ \Rightarrow $ Tổng cộng 4 nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Câu 10: [THPT HN Amsterdam] Tìm số nghiệm của phương trình ${2^{\frac{1}{x}}} + {2^{\sqrt x }} = 3$ :
A. 1
B. 2
C. Vô số
D. Không có nghiệm
Phương trình $ \Leftrightarrow {2^{\frac{1}{x}}} + {2^{\sqrt x }} - 3 = 0$ (điều kiện $x \ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25

Trên đoạn $\left[ {0;4.5} \right]$ không có nghiệm nào
Tiếp tục MODE 7 với Start $4.5$ End 9 Step 0.25

Dự đoán phương trình vô nghiệm. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1

Giá trị của F(X) luôn tăng đến $ + \propto $ $ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Câu 11: 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội]
Cho phương trình $2{\log _2}x + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 - \sqrt x } \right) = \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 2\sqrt x + 2} \right)$. Số nghiệm của phương trình là ;
A. 2 nghiệm
B. Vô số nghiệm
C. 1 nghiệm
D. Vô nghiệm
Phương trình $ \Leftrightarrow 2{\log _2}x + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 - \sqrt x } \right) - \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 2\sqrt x + 2} \right) = 0$ (điều kiện $0 \le x \le 1$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 1 Step 0.1

Ta thấy có 1 nghiệm duy nhất thuộc khoảng $\left( {0.6;0.7} \right)$ $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C

Câu 12 [Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm]
Tìm số nghiệm của phương trình $\log {\left( {x - 2} \right)^2} = 2\log x + {\log _{\sqrt {10} }}\left( {x + 4} \right)$
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1
Phương trình $ \Leftrightarrow \log {\left( {x - 2} \right)^2} - 2\log x - {\log _{\sqrt {10} }}\left( {x + 4} \right) = 0$ (điều kiện $x \ge 0$). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25

Trên đoạn $\left[ {0;4.5} \right]$ có 1 nghiệm
Tiếp tục MODE 7 với Start 4.5 End 9 Step 0.25

Trên khoảng này không thu được nghiệm nào. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1

Cũng không thu được nghiệm $ \Rightarrow $ Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là C.