Ba đường conic

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Thí dụ 1. Biện luận theo m hình dạng của đường (C) có phương trình: (C): (m - 1)x$^2$ + my$^2$ = m$^2$ - m.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình của (C) về dạng:
m[(x - 1)$^2$ + y$^2$] = (x - m)$^2$ ⇒ $\frac{{\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} }}{{|x - m|}}$ = $\frac{1}{{\sqrt m }}$.
Vậy với điểm F(1, 0) và đường thẳng (Δ): x = m, ta có nhận xét:
  • Với m < 0, thì (C) là tập ∅.
  • Với m = 0, thì (C): x$^2$ = 0 ⇔ (C): x = 0 là phương trình trục Oy.
  • Với:$\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\frac{1}{{\sqrt m }} < 1\end{array} \right.$ ⇔ m > 1 ⇒ (C) là phương trình của Elíp.
  • Với:$\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\frac{1}{{\sqrt m }} > 1\end{array} \right.$ ⇔ 0 < m < 1 ⇒ (C) là phương trình của Hypebol.
  • Với:$\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\frac{1}{{\sqrt m }} = 1\end{array} \right.$ ⇔ m = 1 ⇒ (C) là phương trình của Parabol điểm (có dạng y$^2$ = 0).
Cách 2: Ta xét dựa trên các tính chất đại số:
a. Với m$^2$ - m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = 1
  • Với m = 0, ta được: (C): - x$^2$ = 0 ⇔ (C): x = 0 là phương trình trục Oy.
  • Với m = 1, ta được: (C): y$^2$ = 0 ⇔ (C): y = 0 là phương trình trục Ox.
b. Với m$^2$ - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 ∧ m ≠ 1
(C): $\frac{{{x^2}}}{m} + \frac{{{y^2}}}{{m - 1}}$ = 1.
  • Với: $\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.$ ⇔ m > 1 ⇒ (C) là phương trình của Elíp.
  • Với: m(m - 1) < 0 ⇔ 0 < m < 1 ⇒ (C) là phương trình của Hypebol.
Thí dụ 2. Lập phương trình của Côníc (C) có tâm sai e = $\frac{1}{2}$, một tiêu điểm là F(-3; 1) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là (Δ): y + 2 = 0.
Với M(x, y) ∈ (E) ta có:
$\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}}$ = e ⇔ $\frac{{\sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y - 1)}^2}} }}{{|y + 2|}}$ = $\frac{1}{2}$
⇔ 4[(x + 3)$^2$ + (y - 1)$^2$] = (y + 2)$^2$ ⇔ 4x$^2$ + 3y$^2$ + 24x - 12y + 36 = 0
⇔ $\frac{{{{(x + 3)}^2}}}{2} + \frac{{{{(y - 2)}^2}}}{{\frac{8}{3}}} = 1$.
Đó chính làphương trình của Elíp (E).

Thí dụ 3. Lập phương trình của Hypebol, biết tiêu điểm F(2, - 3), đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó có phương trình 3x - y + 3 = 0 và tâm sai e = $\sqrt 5 $.
Với M(x, y) ∈ (H) ta có:
$\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}}$ = e ⇔ $\frac{{\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 3)}^2}} }}{{\frac{{|3x - y + 3|}}{{\sqrt {10} }}}}$ = $\sqrt 5 $ ⇔ 7x$^2$ - y$^2$ - 6xy + 26x - 18y - 17 = 0.
Đó chính làphương trình của Hypebol (H).

Thí dụ 4. Lập phương trình của Parabol, biết tiêu điểm F(0, 2), đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó có phương trình 3x - 4y - 12 = 0.
Với M(x, y) ∈ (P) ta có:
$\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}}$ = 1 ⇔ MF$^2$ = d$^2$(M, (Δ)) ⇔ x$^2$ + (y - 2)$^2$ = $\frac{{{{(3x - 4y - 12)}^2}}}{{25}}$⇔ 16x$^2$ + 9y$^2$ + 24xy + 72x - 196y - 44 = 0.
Đó chính là phương trình của Parabol (P).
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook