Toán 12 9 bài trắc nghiệm logarit và hàm số logarit (phần 2)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Cho \({\log _3}15 = a,{\log _3}10 = b\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _3}50\) theo a và b.
A. \(P = a + b - 1\)
B. \(P = a - b - 1\)
C. \(P = 2a + b - 1\)
D. \(P = a + 2b - 1\)
\({\log _3}50 = {\log _3}\frac{{150}}{3} = {\log _3}15 + {\log _3}10 - 1 = a + b - 1\)
Câu 2:
Cho biểu thức \(Q = {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - {\log _{\sqrt a }}\left( {a.\sqrt[4]{b}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}\left( b \right)\), biết rằng a, b là các số thực dương khác 1.
Chọn nhận định đúng.
A. \({2^Q} = {\log _Q}16\)
B. \({2^Q} > {\log _{\frac{1}{Q}}}\frac{1}{{16}}\)
C. \({2^Q} < {\log _Q}15\)
D. \(Q = 4\)
Ta có: \(Q = {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - 2{\log _a}\left( {a.\sqrt[4]{b}} \right) + 3{\log _b}\left( b \right)\)
\(= {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - {\log _a}\left( {{a^2}.\sqrt b } \right) + 3 = {\log _a}\left( {\frac{{a\sqrt b }}{{{a^2}\sqrt b }}} \right) + 3\)
\(= {\log _a}\left( {\frac{1}{a}} \right) + 3 = - 1 + 3 = 2\)
Câu 3:
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Tính giá trị của \({\log _{{a^3}}}a\).
A. \({\log _{{a^3}}}a = 3\)
B. \({\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}\)
C. \({\log _{{a^3}}}a = - 3\)
D. \({\log _{{a^3}}}a = \frac{{ - 1}}{3}\)
\({\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\)
Câu 4:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. \(\log x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
B. \({\log _3}x \le 0 \Leftrightarrow 0 < x \le 1\)
C. \({\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0\)
D. \({\log _{\frac{1}{3}}}a = {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\)
Với ý A. Ta có \(\log x \ge 0 \Leftrightarrow \log x \ge \log 1 \Leftrightarrow x \ge 1\) (mệnh đề này đúng)
Với ý B. Tương tự ý A ta có \({\log _3}x \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 0}\\ {{{\log }_3}x \le {{\log }_3}1} \end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le 1} \right.\) (mệnh đề này đúng)
Với ý C. Ta nhận thấy mệnh đề này sai do cơ số \(\frac{1}{3}\) nằm trong khoảng (0;1) thì đổi chiều bất phương trình.
Chú ý: \({\log _a}x > {\log _a}y \Leftrightarrow x < y\) với \(0< a < 1\). Vậy ta không cần xét đến ý D khi đã có đáp án là C.
Câu 5:
Đặt \({\log _2}6 = a\) và \({\log _2}7 = b\). Hãy biểu diễn \({\log _3}7\) theo a và b.
A. \({\log _3}7 = \frac{b}{{a - 1}}\)
B. \({\log _3}7 = \frac{a}{{b - 1}}\)
C. \({\log _3}7 = \frac{b}{{1 - a}}\)
D. \({\log _3}7 = \frac{a}{{1 - b}}\)
Với dạng bài biểu diễn một logarit theo 2 logarit đã cho thì bước đầu tiên là chuyển logarit cơ số cần tìm về cơ số ban đầu, rồi phân tách như sau:
Ta có:
\({\log _3}7 = \frac{{{{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{b}{{{{\log }_2}6 - {{\log }_2}2}} = \frac{b}{{a - 1}}\)
Vậy đáp án là A.
Câu 6:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) - 1}\).
A. \(D = \left[ {3;\frac{{10}}{3}} \right)\)
B. \(D = \left( {3;\frac{{10}}{3}} \right]\)
C. \(D = \left( { - \infty ;\frac{{10}}{3}} \right]\)
D. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\)
Ở đây có 2 dạng điều kiện cần lưu ý đó là:
Điều kiện để logarit xác định.
Điều kiện để căn xác định.
Giải bài toán như sau:
ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 3 > 0}\\ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ { - {{\log }_3}\left( {x - 3} \right) \ge 1} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {{{\log }_3}\left( {x - 3} \right) \le - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {x - 3 \le {3^{ - 1}}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {x \le \frac{{10}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)
\(x \in \left( {3;\frac{{10}}{3}} \right]\). Đáp án B.
Câu 7:
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) .
A. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
B. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C. \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}\)
D. \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Câu 8:
Giả sử các số logarit đều có nghĩa, điều nào sau đây đúng?
A. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\)
B. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\)
C. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\)
D. Cả ba phương án trên đều sai
Đáp án A đúng.
B và C sai do thiếu điều kiện của cơ số a.
A đúng nên D sai.
Câu 9:
Đặt \(a = {\log _{15}}3\). Hãy biểu diễn \({\log _{25}}15\) theo a.
A. \({\log _{25}}15 = \frac{3}{{5\left( {1 - a} \right)}}\)
B. \({\log _{25}}15 = \frac{5}{{3\left( {1 - a} \right)}}\)
C. \({\log _{25}}15 = \frac{1}{{2\left( {1 - a} \right)}}\)
D. \({\log _{25}}15 = \frac{1}{{5\left( {1 - a} \right)}}\)
Ta có \(a = {\log _{15}}3\). Do vậy ta cần biến đổi \({\log _{25}}15\) về \({\log _{15}}3\)
Ta có \({\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_{15}}15}}{{{{\log }_{15}}25}} = \frac{1}{{{{\log }_{15}}25}}\)
\(= \frac{1}{{{{\log }_{15}}{5^2}}} = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}5} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}15 - {{\log }_{15}}3} \right)}}\)
\(= \frac{1}{{2\left( {1 - a} \right)}}\).
Đáp án C.