Toán 12 9 Bài tập trắc nghiêm về tính chất Của Tích Phân Và Nguyên Hàm (phần 2)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx} = 2.\) Mệnh đề nào sai?
A. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2\)
B. \(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = 2\)
C. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 1\)
D. \(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = 1\)
Chọn một hàm liên tục và xác định trên \(\mathbb{R}\) sao cho: \(\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx} = 2.\) Thường ta chọn f(x) là hàm hằng để dễ tính toán.
Chọn \(f(x) = a \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {adx} = \left. {ax} \right|_{ - 2}^4 = 6a = 2 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{3}\)
Thay vào các phương án ta có:
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1 \ne 2\) Vậy A sai.
\(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {\frac{1}{3}dx} = 2\) Vậy B đúng.
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy C đúng.
\(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\frac{1}{2}.\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy D đúng.
Câu 2:
Giả sử f(x) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(\int\limits_a^b {cf(x)dx} = - c\int\limits_a^b {f(x)dx}\)
B. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_b^a {f(x)dx} + \int\limits_a^c {f(x)dx}\)
C. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx}\)
D. \(\int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx}\)
Ta có: a<b<c suy ra:
\(\begin{array}{l} \int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx} . \end{array}\)
Từ đó ta thấy B là mệnh đề sai.
Câu 3:
Cho \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = 1,} \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt = - 4} .\) Tính \(\int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} .\)
A. I=-5
B. I=-3
C. I=3
D. I=5
Ta có
\(\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} - \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} + } \int\limits_2^{ - 2} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( y \right)dy} + \int\limits_2^{ - 2} {f\left( y \right)dy = \int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} = - 5} .\)
Câu 4:
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( y \right)dy}\)
B. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\)
C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
D. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\)
Dựa vào đáp án ta có
Dễ thấy B và C là tính chất của tính phân, Suy ra B và C đúng.
Tích phân không phụ thuộc vào biến số, suy ra A đúng.
D sai, đây không phải là tích chất của Tích phân, ta có thể dùng một số hàm cụ thể để kiểm tra.
Câu 10:
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
B. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
C. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx}\)
D. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)
Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}\) (1)
Xét tích phân \(A = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} ,\) đặt \(x = - t \Rightarrow t = - x.\)
Khi \(x = - 2 \Rightarrow t = 2;{\rm{ }}x = 0 \Rightarrow t = 0.\) Do đó \(A = - \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)d\left( { - t} \right)} = \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} .\)
Thế vào (1) ta được \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)
Câu 6:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\),\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2016,}\) \(\int\limits_4^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2017.}\) Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x.}\)
A. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 4023.\)
B. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 1\)
C. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } -1.\)
D. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 0.\)
Ta có: \(\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_1^4 {f(x){\rm{d}}x}\) nên \(\int\limits_1^4 {f(x){\rm{d}}x} = 2016 - 2017 = - 1.\)
Câu 7:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} ;{\rm{ }}\left( {c \in \left( {a;b} \right)} \right).\)
B. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0.\)
C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \ne \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\)
Tích phân không phụ thuộc vào biến.
Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}t} .\)
Câu 8:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = - 1.\) Tính \(I = \int_0^1 {f'\left( x \right)} dx.\)
A. \(I = 1\)
B. \(I = 2\)
C. \(I = -2\)
D. \(I = 0\)
\(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = - 1 - 1 = - 2.\)
Câu 9:
Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {\cos \sqrt t dt} .\)
A. \(F'\left( x \right) = {x^2}\cos x\)
B. \(F'\left( x \right) = 2x\cos x\)
C. \(F'\left( x \right) = \cos x\)
D. \(F'\left( x \right) = \cos x - 1\)
Ta có: \(G\left( t \right) = \int {\cos \sqrt t dt} \Rightarrow G'\left( t \right) = \cos \sqrt t .\)
Suy ra \(F'\left( x \right) = \left( {G\left( {{x^2}} \right) - G\left( 0 \right)} \right) = 2x\cos x.\)