Câu 1:
Hàm số \(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}}\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. \(f(x) = {e^{2x}}\)
B. \(f(x) = 2x{e^{{x^2}}}\)
C. \(f(x) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{2x}}\)
D. \(f(x) = {x^2}{e^{{x^2}}} - 1\)
Câu 2:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx\) và các kết quả sau:
I. \(I = \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)dx + \int\limits_0^2 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx}\)
II. \(I = \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx - \int\limits_0^2 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx\)
III. \(I = 2\int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx\)
Trong các kết quả trên, kết quả nào đúng?
A. Chỉ I
B. Chỉ II
C. Chỉ III
D. Cả I, II, III
Câu 3:
Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\), G(x) là nguyên hàm của hàm số \(g(x)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } = F(x) + G(x) + C}\)
B. Với mọi \(k\ne0\), ta có:\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } = kF(x) + C\)
C. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx = \int {f(x)dx} } .\int {g(x)dx} = F(x).G(x) + C\)
D. \(\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = f(x)\)
Câu 4:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \([1;2]\), \(f(1)=1\) và \(f(2)=2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f'(x)dx}\).
A. I=1
B. I=-1
C. I=3
D. \(I=\frac{7}{2}\)
Câu 5:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. \(\int {f'(x)dx = f(x) + C}\)
B. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} .\int {g(x)dx}\)
C. \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx}\)
D. \(\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx}\) (k là hằng số)
Câu 6:
Tìm hàm số \(y=f(x)\) biết rằng \(f'(x) = ({x^2} - x)(x + 1)\) và \(f(0)=3.\)
A. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3\)
B. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3\)
C. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 3\)
D. \(y = 3{x^2} - 1\)
Câu 7:
Cho \(f(x) = (a{x^2} + bx + c)\sqrt {2x - 1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)Tính tổng S=a+b+c.
A. S=3
B. S=0
C. S=4
D. S=2
Câu 8:
Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\)
A. I=2
B. I=-1
C. I=6
D. I=8
Hàm số \(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}}\) là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. \(f(x) = {e^{2x}}\)
B. \(f(x) = 2x{e^{{x^2}}}\)
C. \(f(x) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{2x}}\)
D. \(f(x) = {x^2}{e^{{x^2}}} - 1\)
Ta có: \(\left( {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right)' = \frac{1}{2}.(2x)'.{e^{2x}} = {e^{2x}}.\)
Vậy A là phương án đúng.
Vậy A là phương án đúng.
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx\) và các kết quả sau:
I. \(I = \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)dx + \int\limits_0^2 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx}\)
II. \(I = \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx - \int\limits_0^2 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx\)
III. \(I = 2\int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)} dx\)
Trong các kết quả trên, kết quả nào đúng?
A. Chỉ I
B. Chỉ II
C. Chỉ III
D. Cả I, II, III
Ta có \({3^x} - 9 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) .
Vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx + \int\limits_2^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx\)\(= \int\limits_0^2 {\left( {9 - {3^x}} \right)} dx + \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)dx}\) .
Vậy I sai, II đúng và III sai.
Vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx = \int\limits_0^2 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx + \int\limits_2^5 {\left| {{3^x} - 9} \right|} dx\)\(= \int\limits_0^2 {\left( {9 - {3^x}} \right)} dx + \int\limits_2^5 {\left( {{3^x} - 9} \right)dx}\) .
Vậy I sai, II đúng và III sai.
Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\), G(x) là nguyên hàm của hàm số \(g(x)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } = F(x) + G(x) + C}\)
B. Với mọi \(k\ne0\), ta có:\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } = kF(x) + C\)
C. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx = \int {f(x)dx} } .\int {g(x)dx} = F(x).G(x) + C\)
D. \(\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = f(x)\)
Phương án A, B, D là các tính chất của nguyên hàm đã được học trong chương trình phổ thông.
Phương án C sai: không có tính chất nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm của từng thừa số.
Phương án C sai: không có tính chất nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm của từng thừa số.
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \([1;2]\), \(f(1)=1\) và \(f(2)=2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f'(x)dx}\).
A. I=1
B. I=-1
C. I=3
D. \(I=\frac{7}{2}\)
Ta có: \(\int_1^2 {f'(x)dx = \left. {f(x)} \right|_1^2} = f(2) - f(1) = 1.\)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. \(\int {f'(x)dx = f(x) + C}\)
B. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} .\int {g(x)dx}\)
C. \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx}\)
D. \(\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx}\) (k là hằng số)
Chọn B.
Tìm hàm số \(y=f(x)\) biết rằng \(f'(x) = ({x^2} - x)(x + 1)\) và \(f(0)=3.\)
A. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3\)
B. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3\)
C. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 3\)
D. \(y = 3{x^2} - 1\)
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \int {({x^2} - x)(x + 1)dx} \\ f(0) = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \int {({x^3} - x)dx} \\ f(0) = 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\\ f(0) = C = 3 \end{array} \right. \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3. \end{array}\)
Cho \(f(x) = (a{x^2} + bx + c)\sqrt {2x - 1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)Tính tổng S=a+b+c.
A. S=3
B. S=0
C. S=4
D. S=2
\(\left( {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 1} } \right)' = \frac{{5a{x^2} + ( - 2a + 3b)x - b + c}}{{\sqrt {2x - 1} }} = \frac{{10{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {2x - 1} }}\)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1\\ c = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 2.\)
Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1\\ c = 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 2.\)
Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\)
A. I=2
B. I=-1
C. I=6
D. I=8
Ta có:
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx} = 4\int\limits_0^2 {f(x)dx - 3} \int\limits_0^2 {dx} \\ = \left. {4.3 - 3x} \right|_0^2 = 12 - 6 = 6. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx} = 4\int\limits_0^2 {f(x)dx - 3} \int\limits_0^2 {dx} \\ = \left. {4.3 - 3x} \right|_0^2 = 12 - 6 = 6. \end{array}\)