Câu 1: Tính giá trị của ${a^{{{\log }_{\sqrt a }}\,4}}$ với $a > 0,\,a \ne 1$.
A. 8.
B. 4.
C. 16.
D. 7.
Chọn đáp án C.
Câu 2: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\).
B. \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\).
C. \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
D. \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\).
Chọn đáp án D.
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất củ$m,n \in {\mathbb{N}^*}$a$1$$\left[ {\frac{1}{2};\,{\rm{e}}} \right]$$2$ hàm số \(y = x - \ln x\) trên đoạn theo thứ tự là:
A. $1$và \({\rm{e}}\).
B. $1$và \(\frac{1}{2} + \ln 2\).
C. và \({\rm{e}} - 1\).
D. \(\frac{1}{2} + \ln 2\)và \({\rm{e}} - 1\).
Chọn đáp án C.
Câu 4: Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}$ với \(a > 0\) ta được kết quả \(A = {a^{\frac{m}{n}}}\) trong đó và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({m^2} + {n^2} = 543\).
B. \({m^2} - {n^2} = 312\).
C. \({m^2} - {n^2} = - 312\).
D. \({m^2} + {n^2} = 409\)
Suy ra m =19 , n = 7 nên m$^2$ − n$^2$ = 312
Chọn đáp án B.
Câu 5: Gọi \(T\) là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{3}}^2x - 5{\log _3}x + 4 = 0\). Tính \(T\).
A. \(T = 84\).
B. \(T = 4\).
C. \(T = 5\).
D. \(T = - 5\).
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho \(x,y\)là các số thực lớn hơn \(1\) sao cho \({y^x}.{\left( {{{\rm{e}}^x}} \right)^{{{\rm{e}}^y}}} \ge {x^y}.{\left( {{{\rm{e}}^y}} \right)^{{{\rm{e}}^x}}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _x}\sqrt {xy} + {\log _y}x\).
A. 4.
B. \(2\sqrt 2 \).
C. \(\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho cấp số nhân \(\left( {{b_n}} \right)\) thỏa mãn \({b_2} > {b_1} \ge 1\) và hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) sao cho \(f\left( {{{\log }_2}\left( {{b_2}} \right)} \right) + 2\) \( = f\left( {{{\log }_2}\left( {{b_1}} \right)} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({b_n} > {5^{100}}\) bằng
A. \(333\).
B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(234\).
D. \(292\).
Chọn đáp án C.
A. 8.
B. 4.
C. 16.
D. 7.
Giải
${a^{{{\log }_{\sqrt a }}\left( 4 \right)}} = {a^{2{{\log }_a}\left( 4 \right)}} = {a^{{{\log }_a}\left( {16} \right)}} = 16$Chọn đáp án C.
Câu 2: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\).
B. \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\).
C. \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
D. \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\).
Giải
Chọn đáp án D.
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất củ$m,n \in {\mathbb{N}^*}$a$1$$\left[ {\frac{1}{2};\,{\rm{e}}} \right]$$2$ hàm số \(y = x - \ln x\) trên đoạn theo thứ tự là:
A. $1$và \({\rm{e}}\).
B. $1$và \(\frac{1}{2} + \ln 2\).
C. và \({\rm{e}} - 1\).
D. \(\frac{1}{2} + \ln 2\)và \({\rm{e}} - 1\).
Giải
$y' = 1 - \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{x};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};e} \right]$Chọn đáp án C.
Câu 4: Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}$ với \(a > 0\) ta được kết quả \(A = {a^{\frac{m}{n}}}\) trong đó và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({m^2} + {n^2} = 543\).
B. \({m^2} - {n^2} = 312\).
C. \({m^2} - {n^2} = - 312\).
D. \({m^2} + {n^2} = 409\)
Giải
$A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{\frac{{ - 5}}{7}}}}} = {a^{\frac{7}{3} + \frac{{11}}{3} - 4 + \frac{5}{7}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}$Suy ra m =19 , n = 7 nên m$^2$ − n$^2$ = 312
Chọn đáp án B.
Câu 5: Gọi \(T\) là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{3}}^2x - 5{\log _3}x + 4 = 0\). Tính \(T\).
A. \(T = 84\).
B. \(T = 4\).
C. \(T = 5\).
D. \(T = - 5\).
Giải
Điều kiện: x > 0 .Chọn đáp án A
Câu 6: Cho \(x,y\)là các số thực lớn hơn \(1\) sao cho \({y^x}.{\left( {{{\rm{e}}^x}} \right)^{{{\rm{e}}^y}}} \ge {x^y}.{\left( {{{\rm{e}}^y}} \right)^{{{\rm{e}}^x}}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _x}\sqrt {xy} + {\log _y}x\).
A. 4.
B. \(2\sqrt 2 \).
C. \(\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).
Giải
Chọn đáp án C.
Câu 7: Cho cấp số nhân \(\left( {{b_n}} \right)\) thỏa mãn \({b_2} > {b_1} \ge 1\) và hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) sao cho \(f\left( {{{\log }_2}\left( {{b_2}} \right)} \right) + 2\) \( = f\left( {{{\log }_2}\left( {{b_1}} \right)} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({b_n} > {5^{100}}\) bằng
A. \(333\).
B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(234\).
D. \(292\).
Giải
Chọn đáp án C.