Câu 1:
Cho bất phương trình: \({\log _4}x.{\log _2}\left( {4x} \right) + {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{x^3}}}{2}} \right) < 0.\) Nếu đặt \(t = {\log _2}x,\) ta được bất phương trình nào sau đây?
A. \({t^2} + 14t - 4 < 0\)
B. \({t^2} + 11t - 3 < 0\)
C. \({t^2} + 14t - 2 < 0\)
D. \({t^2} + 11t - 2 < 0\)
Câu 2:
Gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0\). Giá trị của biểu thức \(P = x_1^2 + x_2^2\) bằng bao nhiêu?
A. P=20.
B. P=5.
C. P=36.
D. P=25.
Câu 3:
Bất phương trình \({\log _4}x - {\log _x}4 \le \frac{3}{2}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên trên đoạn [1;25]?
A. 17.
B. 15.
C. 16.
D. 14.
Câu 4:
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình \(\log _2^2x + m{\log _2}x - m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \in \left( {0; + \infty } \right)?\)
A. Có 6 giá trị nguyên
B. Có 7 giá trị nguyên
C. Có 5 giá trị nguyên
D. Có 4 giá trị nguyên
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(4\log _4^2x - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};4} \right].\)
A. \(m \in \left[ {\frac{{11}}{4};9} \right].\)
B. \(m \in \left[ {2;6} \right].\)
C. \(m \in \left[ {\frac{{11}}{4};15} \right].\)
D. \(m \in \left[ {2;3} \right].\)
Câu 6:
Cho \(x,y > 0;\,\,{\log _y}x + {\log _x}y = \frac{{10}}{3}\) và \(xy = 144\) thì \(P = \frac{{x + y}}{2}\) bằng:
A. 24
B. 30
C. \(12\sqrt 2 .\)
D. \(13\sqrt 3 .\)
Câu 7:
Phương trình \(3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}3{\rm{x}} - 1 = 0\) có tổng các nghiệm bằng:
A. 3
B. 81
C. 84
D. 78
Cho bất phương trình: \({\log _4}x.{\log _2}\left( {4x} \right) + {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{x^3}}}{2}} \right) < 0.\) Nếu đặt \(t = {\log _2}x,\) ta được bất phương trình nào sau đây?
A. \({t^2} + 14t - 4 < 0\)
B. \({t^2} + 11t - 3 < 0\)
C. \({t^2} + 14t - 2 < 0\)
D. \({t^2} + 11t - 2 < 0\)
Điều kiện: x>0. Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _4}x.{\log _2}\left( {4x} \right) + {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{x^3}}}{2}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}x.\left( {2 + {{\log }_2}x} \right) + 2.\left( {3{{\log }_2}x - 1} \right) < 0 \end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\) bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{2}t\left( {2 + t} \right) + 2.(3t - 1) < 0\\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{2}{t^2} + 6t - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} + 7t - 2 < 0 \Leftrightarrow {t^2} + 14t - 4 < 0. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {\log _4}x.{\log _2}\left( {4x} \right) + {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{x^3}}}{2}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}x.\left( {2 + {{\log }_2}x} \right) + 2.\left( {3{{\log }_2}x - 1} \right) < 0 \end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\) bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{2}t\left( {2 + t} \right) + 2.(3t - 1) < 0\\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{2}{t^2} + 6t - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} + 7t - 2 < 0 \Leftrightarrow {t^2} + 14t - 4 < 0. \end{array}\)
Gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0\). Giá trị của biểu thức \(P = x_1^2 + x_2^2\) bằng bao nhiêu?
A. P=20.
B. P=5.
C. P=36.
D. P=25.
Điều kiện: x>0.
Đặt \(t = {\log _2}x,\) phương trình trở thành:
\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\)\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\)
Khi đó, \(P = {x_1}^2 + {x_2}^2 = {2^2} + {4^2} = 20.\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\) phương trình trở thành:
\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\)\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\)
Khi đó, \(P = {x_1}^2 + {x_2}^2 = {2^2} + {4^2} = 20.\)
Bất phương trình \({\log _4}x - {\log _x}4 \le \frac{3}{2}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên trên đoạn [1;25]?
A. 17.
B. 15.
C. 16.
D. 14.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.\)
Đặt \(t = {\log _4}x\), điều kiện với \(x \in \left[ {1;25} \right]\) nên t>0.
Ta có phương trình: \(t - \frac{1}{t} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 2 \le 0\) \(\Leftrightarrow 0 < t \le 2\) (vì t>0).
Do đó ta có: \(0 < {\log _4}x \le 2 \Leftrightarrow 1 < x \le 16.\) Vì x nguyên nên có 15 giá trị.
Đặt \(t = {\log _4}x\), điều kiện với \(x \in \left[ {1;25} \right]\) nên t>0.
Ta có phương trình: \(t - \frac{1}{t} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 2 \le 0\) \(\Leftrightarrow 0 < t \le 2\) (vì t>0).
Do đó ta có: \(0 < {\log _4}x \le 2 \Leftrightarrow 1 < x \le 16.\) Vì x nguyên nên có 15 giá trị.
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình \(\log _2^2x + m{\log _2}x - m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \in \left( {0; + \infty } \right)?\)
A. Có 6 giá trị nguyên
B. Có 7 giá trị nguyên
C. Có 5 giá trị nguyên
D. Có 4 giá trị nguyên
Đặt \(t = {\log _2}x\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(t\in \mathbb{R}\) khi đó bất phương trình trở thành \({t^2} + m.t - m \ge 0\left( * \right)\)
(*) nghiệm đúng với mọi \(t \in \mathbb{R}\) khi \({\Delta _{\left( * \right)}} \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4;0} \right]\) Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.
(*) nghiệm đúng với mọi \(t \in \mathbb{R}\) khi \({\Delta _{\left( * \right)}} \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4;0} \right]\) Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(4\log _4^2x - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};4} \right].\)
A. \(m \in \left[ {\frac{{11}}{4};9} \right].\)
B. \(m \in \left[ {2;6} \right].\)
C. \(m \in \left[ {\frac{{11}}{4};15} \right].\)
D. \(m \in \left[ {2;3} \right].\)
\(\begin{array}{l}4\log _4^2x - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)^2} - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2{\log _2}x + 3 - m = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\,\,do\,\,x \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;2} \right].\)
Khi đó: \({t^2} - 2t - 3 - m = 0 \Leftrightarrow m = {t^2} - 2t + 3\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 3,\,\,t \in \left[ { - 1;2} \right].\) Ta có: \(f'\left( t \right) = 2t - 2;\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 6;\,\,f\left( 1 \right) = 2;\,\,f\left( 2 \right) = 3\) do đó phương trình có nghiệm thì \(2 \le m \le 6.\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\,\,do\,\,x \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;2} \right].\)
Khi đó: \({t^2} - 2t - 3 - m = 0 \Leftrightarrow m = {t^2} - 2t + 3\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 3,\,\,t \in \left[ { - 1;2} \right].\) Ta có: \(f'\left( t \right) = 2t - 2;\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 6;\,\,f\left( 1 \right) = 2;\,\,f\left( 2 \right) = 3\) do đó phương trình có nghiệm thì \(2 \le m \le 6.\)
Cho \(x,y > 0;\,\,{\log _y}x + {\log _x}y = \frac{{10}}{3}\) và \(xy = 144\) thì \(P = \frac{{x + y}}{2}\) bằng:
A. 24
B. 30
C. \(12\sqrt 2 .\)
D. \(13\sqrt 3 .\)
\({\log _y}x + {\log _x}y = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow {\log _y}x + \frac{1}{{{{\log }_y}x}} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow \log _y^2x - \frac{{10}}{3}{\log _y}x + 1 = 0\)
Đặt: \(t = {\log _y}x,\) phương trình trở thành:
\({t^2} - \frac{{10}}{3}t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _y}x = 3\\{\log _y}x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {y^3}\\y = {x^3}\end{array} \right.\,\,\)
Ta có: \(xy = 144 \Rightarrow {x^4} = 144 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\y = 24\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{x + y}}{2} = 13\sqrt 3 .\)
Đặt: \(t = {\log _y}x,\) phương trình trở thành:
\({t^2} - \frac{{10}}{3}t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _y}x = 3\\{\log _y}x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {y^3}\\y = {x^3}\end{array} \right.\,\,\)
Ta có: \(xy = 144 \Rightarrow {x^4} = 144 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \\y = 24\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{x + y}}{2} = 13\sqrt 3 .\)
Phương trình \(3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}3{\rm{x}} - 1 = 0\) có tổng các nghiệm bằng:
A. 3
B. 81
C. 84
D. 78
\(\begin{array}{l}3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}3{\rm{x}} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}x \ge 0\\3\sqrt {{{\log }_3}x} - {\log _3}x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}\sqrt {{{\log }_3}x} = 1\\\sqrt {{{\log }_3}x} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 81\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{x_2} = 81\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 84.\end{array}\)