Câu 1:
Cho a, b là các số thực, thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\), khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({\log _b}a + {\log _a}b < 0\)
B. \({\log _b}a > 1\)
C. \({\log _a}b > 0\)
D. \({\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\)
Câu 2:
Cho các số thực dương a, b khác 1. Biết rằng đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại A, B, C sao cho C nằm giữa A và B, và \(AC = 2BC\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(b = \frac{a}{2}\)
B. \(b = 2a\)
C. \(b = {a^{ - 2}}\)
D. \(b = {a^2}\)
Câu 3:
Biết \({\log _6}\sqrt a = 3,\) tính giá trị của \({\log _a}\sqrt 6 .\)
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{{12}}\)
C. 3
D. \(\frac{4}{3}\)
Câu 4:
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{Min}}\) của biểu thức \(P = 2x - y\)
A. \({P_{\min }} = 4\)
B. \({P_{\min }} = - 4\)
C. \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \)
D. \({P_{\min }} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 5:
Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào đúng?
A. Có logarit của một số thực bất kì.
B. Chỉ có logarit của một số thực dương.
C. Chỉ có logarit của một số thực dương khác 1.
D. Chỉ có logarit của một số thực lớn hơn 1.
Câu 6:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x}.\)
A. \(y'=\frac{{x - \left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\).
B. \(y'=\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) .
C. \(y'= - \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\).
D. \(y'=\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x}\).
Câu 7:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\ln \left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}.\)
A. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
B. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right].\)
C. \(D = \left( { - \infty ;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
D. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Câu 8:
Biết \(\log 3 = a,\,\,\log 7 = b\) thì \(\log 8334900\) tính theo a và b bằng:
A. \(3{\rm{a}} + 5b + 2.\)
B. \(5{\rm{a}} + 3b + 2.\)
C. \(5{\rm{a}} + 3b - 2.\)
D. \(8{\rm{a}}b + 2.\)
Câu 9:
Cho a là số thực dương. Rút gọn biểu thức \(P = {a^{2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{\sqrt 2 + 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.\)
A. \(P = {a^{ - 3}}.\)
B. \(P = {a^3}.\)
C. \(P = {a^{2\sqrt 2 }}.\)
D. \(P = {a^{\sqrt 2 }}.\)
Câu 10:
Với các số thực dương a, b bất kỳ, đặt \(M = {\left( {\frac{{{a^{10}}}}{{\sqrt[3]{{{b^5}}}}}} \right)^{0,3}}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. \({\mathop{\rm logM}\nolimits} = 3loga - \frac{1}{2}\log b.\)
B. \(\log M = - 3loga - \frac{1}{2}\log b.\)
C. \(\log M = - 3loga + 2\log b.\)
D. \(\log M = 3loga + 2\log b.\)
Câu 11:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}{.5^x}.\) Tính giá trị của \(f'\left( 0 \right).\)
A. \(f'\left( 0 \right) = 10.\)
B. \(f'\left( 0 \right) = 1.\)
C. \(f'\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 10}}.\)
D. \(f'\left( 0 \right) = \ln 10.\)
Câu 12:
Cho số thực dương a khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\)và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\) đối xứng nhau qua trục Ox.
B. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\)và \(y = {\log _{\frac{1}{a}}}x\) đối xứng nhau qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\)và \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x.\)
D. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\)và \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = - x.\)
Câu 13:
Cho ba số thực \(a,b,c \in \left( {\frac{1}{4};1} \right).\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức:
\(P = lo{g_a}\left( {b - \frac{1}{4}} \right) + {\log _b}\left( {c - \frac{1}{4}} \right) + {\log _c}\left( {a - \frac{1}{4}} \right)\)
A. \({P_{\min }} = 3.\)
B. \({P_{\min }} = 6.\)
C. \({P_{\min }} = 3\sqrt 3 .\)
D. \({P_{\min }} = 1.\)
Câu 14:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(xy = {10^a},yz = {10^{2b}},zx = {10^{3c}}\left( {a,b,c \in R} \right)\). Tính \(P = {\log _x} + {\log _y} + {\log _z}.\)
A. \(P = 3abc\)
B. \(P = a + 2b + 3c\)
C. \(P = 6abc\)
D. \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{2}\)
Câu 15:
Tìm tập xách định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - x} \right).\)
A. \(D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; - \infty } \right)\)
B. \(D = \left( {0;1} \right)\)
C. \(D = \left[ {0;1} \right]\)
D. \(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Câu 16:
Cho \(0 < x < y < 1\), đặt \(m = \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(m > 4\)
B. \(m < 1\)
C. \(m = 4\)
D. \(m < 2\)
Câu 17:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right).\)
A. \(y' = - {e^{ - x}}\left( { - {x^2} + 4x + 4} \right)\)
B. \(y' = - {e^{ - x}}\left( { - {x^2} - 4x + 4} \right)\)
C. \(y' = - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\)
D. \(y' = {e^{ - x}}\left( { - {x^2} - 4x + 4} \right)\)
Câu 18:
Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
B. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {0;1} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Câu19 :
Cho a, b > 0, rút gọn biểu thức \(P = {\log _{\frac{1}{2}}}a + 4{\log _4}b.\)
A. \(P = {\log _2}\left( {\frac{{2b}}{a}} \right)\)
B. \(P = {\log _2}\left( {{b^2} - a} \right)\)
C. \(P = {\log _2}\left( {a{b^2}} \right)\)
D. (P = {\log _2}\left( {\frac{{{b^2}}}{a}} \right)\)
Câu 20:
Cho biểu thức \(B = {3^{2{{\log }_3}a}} - {\log _5}{a^2}.{\log _a}25\) với a dương, khác 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(B = {a^2} - 4\)
B. \(B \ge 2{\rm{a}} - 5\)
C. \({\log _{{a^2} - 4}}\left( B \right) = 1\)
D. \(B > 3\)
Câu 21:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _9}{\left( {x + 1} \right)^2} - \ln \left( {3 - x} \right) + 2\).
A. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;3} \right)\)
D. \(D = \left( { - 1;3} \right)\)
Câu 22:
Đặt \(a = {\log _3}15;b = {\log _3}10\). Hãy biểu diễn \({\log _{\sqrt 3 }}50\) theo a và b.
A. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 3(a + b - 1)\)
B. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = (a + b - 1)\)
C. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2(a + b - 1)\)
D. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 4(a + b - 1)\)
Câu 23:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}({x^2} + 1)\).
A. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\)
B. \(y' = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)\ln 2017}}\)
C. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
Câu 24:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| {\sin x} \right|\).
A. \(y' = \ln \left| {\cos x} \right|\)
B. \(y' = \cot x\)
C. \(y' = \tan x\)
D. \(y' = \frac{1}{{\sin x}}\)
Cho a, b là các số thực, thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\), khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({\log _b}a + {\log _a}b < 0\)
B. \({\log _b}a > 1\)
C. \({\log _a}b > 0\)
D. \({\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\)
Do \(0 < a < 1 < b\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _b}a < 0\\{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\end{array} \right. < 0 \Rightarrow {\log _b}a + {\log _a}b < 0\)
Cho các số thực dương a, b khác 1. Biết rằng đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại A, B, C sao cho C nằm giữa A và B, và \(AC = 2BC\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(b = \frac{a}{2}\)
B. \(b = 2a\)
C. \(b = {a^{ - 2}}\)
D. \(b = {a^2}\)
Tọa độ ba điểm A, B, C lần luợt là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {{{\log }_a}2;2} \right)}\\{B\left( {{{\log }_b}2;2} \right)}\\{C\left( {0;2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC = \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}a} \right|}}}\\{BC = \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}b} \right|}}}\\{AB = \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right|}\end{array}} \right.\)
Vì \(AC = 2BC \Rightarrow \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}a} \right|}} = \frac{2}{{\left| {{{\log }_2}b} \right|}} \Rightarrow \log _2^2b = 4\log _2^2a \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^2}}\\{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = {a^2}}\\{b = {a^{ - 2}}}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Mặt khác C nằm giữa A và B \( \Rightarrow AB = AC + BC \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| = \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right|\left( * \right)\)
Ta có \(\left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \ge \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\log }_2}b.{{\log }_2}a}} > 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}b.{\log _2}a < 0\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow b = {a^{ - 2}}\).
Vì \(AC = 2BC \Rightarrow \frac{1}{{\left| {{{\log }_2}a} \right|}} = \frac{2}{{\left| {{{\log }_2}b} \right|}} \Rightarrow \log _2^2b = 4\log _2^2a \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^2}}\\{{{\log }_2}b = {{\log }_2}{a^{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = {a^2}}\\{b = {a^{ - 2}}}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Mặt khác C nằm giữa A và B \( \Rightarrow AB = AC + BC \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| = \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right|\left( * \right)\)
Ta có \(\left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \ge \left| {\frac{1}{{{{\log }_2}b}} - \frac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right| \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\log }_2}b.{{\log }_2}a}} > 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}b.{\log _2}a < 0\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow b = {a^{ - 2}}\).
Biết \({\log _6}\sqrt a = 3,\) tính giá trị của \({\log _a}\sqrt 6 .\)
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{{12}}\)
C. 3
D. \(\frac{4}{3}\)
Ta có \({\log _a}\sqrt 6 = \frac{1}{2}{\log _a}6 = \frac{1}{4}{\log _{\sqrt a }}6 = \frac{1}{{4{{\log }_6}\sqrt a }} = \frac{1}{{12}}\)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{Min}}\) của biểu thức \(P = 2x - y\)
A. \({P_{\min }} = 4\)
B. \({P_{\min }} = - 4\)
C. \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \)
D. \({P_{\min }} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \)
Do đó \(P \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - y = f\left( y \right)\).
Xét hàm số \(f( y )\) ta có:
Khi đó:
\(\begin{array}{l}P' = \frac{{2y}}{{\sqrt {{y^2} + 4} }} - 1\\P'( y ) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)
Suy ra \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \) .
Do đó \(P \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - y = f\left( y \right)\).
Xét hàm số \(f( y )\) ta có:
Khi đó:
\(\begin{array}{l}P' = \frac{{2y}}{{\sqrt {{y^2} + 4} }} - 1\\P'( y ) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)
Suy ra \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \) .
Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào đúng?
A. Có logarit của một số thực bất kì.
B. Chỉ có logarit của một số thực dương.
C. Chỉ có logarit của một số thực dương khác 1.
D. Chỉ có logarit của một số thực lớn hơn 1.
A. Sai, bởi chỉ có logarit của một số dương.
B. Đúng.
C. Sai, bởi logarit của 1 thì bằng 0.
D. Sai, bởi có logarit của một số a thỏa mãn 0 < a < 1.
B. Đúng.
C. Sai, bởi logarit của 1 thì bằng 0.
D. Sai, bởi có logarit của một số a thỏa mãn 0 < a < 1.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x}.\)
A. \(y'=\frac{{x - \left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\).
B. \(y'=\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) .
C. \(y'= - \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\).
D. \(y'=\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x}\).
\(y' = \frac{{\frac{x}{{x + 1}} - \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{x - \left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\ln \left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}.\)
A. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
B. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right].\)
C. \(D = \left( { - \infty ;5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
D. \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\ln \left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}\) xác định khi: \(\left\{ \begin{array}{l}5 - x \ge 0\\2{\rm{x}} - 1 > 0\\2{\rm{x}} - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\x > \frac{1}{2}\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định là \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Vậy tập xác định là \(D = \left( {\frac{1}{2};5} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Biết \(\log 3 = a,\,\,\log 7 = b\) thì \(\log 8334900\) tính theo a và b bằng:
A. \(3{\rm{a}} + 5b + 2.\)
B. \(5{\rm{a}} + 3b + 2.\)
C. \(5{\rm{a}} + 3b - 2.\)
D. \(8{\rm{a}}b + 2.\)
Ta có: \(\log 8334900 = \log \left( {{3^5}{{.7}^3}{{.10}^2}} \right) = 5{\rm{a}} + 3b + 2.\)
Cho a là số thực dương. Rút gọn biểu thức \(P = {a^{2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{\sqrt 2 + 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.\)
A. \(P = {a^{ - 3}}.\)
B. \(P = {a^3}.\)
C. \(P = {a^{2\sqrt 2 }}.\)
D. \(P = {a^{\sqrt 2 }}.\)
Ta có: \(P = {a^{2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{\sqrt 2 + 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}} = {a^{2\sqrt 2 }}.{a^{ - {{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}} = {a^{2\sqrt 2 }}.{a^{ - 3 - 2\sqrt 2 }} = {a^{ - 3}}.\)
Với các số thực dương a, b bất kỳ, đặt \(M = {\left( {\frac{{{a^{10}}}}{{\sqrt[3]{{{b^5}}}}}} \right)^{0,3}}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. \({\mathop{\rm logM}\nolimits} = 3loga - \frac{1}{2}\log b.\)
B. \(\log M = - 3loga - \frac{1}{2}\log b.\)
C. \(\log M = - 3loga + 2\log b.\)
D. \(\log M = 3loga + 2\log b.\)
Ta có: \(M = {\left( {\frac{{{a^{10}}}}{{\sqrt[3]{{{b^5}}}}}} \right)^{0,3}} = \frac{{{a^3}}}{{{{\left( {{b^{\frac{5}{3}}}} \right)}^{0,3}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}}} \Rightarrow \log M = \log \frac{{{a^3}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}}} = \log {a^3} - \log {b^{\frac{1}{2}}} = 3\log a - \frac{1}{2}\log b.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}{.5^x}.\) Tính giá trị của \(f'\left( 0 \right).\)
A. \(f'\left( 0 \right) = 10.\)
B. \(f'\left( 0 \right) = 1.\)
C. \(f'\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 10}}.\)
D. \(f'\left( 0 \right) = \ln 10.\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {{2^x}{{.5}^x}} \right)' = {2^x}{.5^x}\left( {\ln 2 + \ln 5} \right) \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \ln 2 + \ln 5 = \ln 10.\)
Cho số thực dương a khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\)và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\) đối xứng nhau qua trục Ox.
B. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\)và \(y = {\log _{\frac{1}{a}}}x\) đối xứng nhau qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\)và \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x.\)
D. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\)và \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = - x.\)
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\)và \(y = {\log _a}x\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x.\)
Cho ba số thực \(a,b,c \in \left( {\frac{1}{4};1} \right).\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức:
\(P = lo{g_a}\left( {b - \frac{1}{4}} \right) + {\log _b}\left( {c - \frac{1}{4}} \right) + {\log _c}\left( {a - \frac{1}{4}} \right)\)
A. \({P_{\min }} = 3.\)
B. \({P_{\min }} = 6.\)
C. \({P_{\min }} = 3\sqrt 3 .\)
D. \({P_{\min }} = 1.\)
\(\forall x \in \left( {\frac{1}{4};1} \right) \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge x - \frac{1}{4}.\)
Khi đó: \({\log _a}\left( {b - \frac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2} = 2{\log _a}b;\,\,{\log _b}\left( {c - \frac{1}{4}} \right) \ge 2{\log _b}c;\,\,{\log _c}\left( {a - \frac{1}{4}} \right) \ge 2{\log _c}a.\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(P \ge 2\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}c + {{\log }_c}a} \right) \ge 2.3.\sqrt[3]{{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c.{{\log }_c}a}} = 6 \Rightarrow {P_{\min }} = 6.\)
Khi đó: \({\log _a}\left( {b - \frac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2} = 2{\log _a}b;\,\,{\log _b}\left( {c - \frac{1}{4}} \right) \ge 2{\log _b}c;\,\,{\log _c}\left( {a - \frac{1}{4}} \right) \ge 2{\log _c}a.\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(P \ge 2\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}c + {{\log }_c}a} \right) \ge 2.3.\sqrt[3]{{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c.{{\log }_c}a}} = 6 \Rightarrow {P_{\min }} = 6.\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(xy = {10^a},yz = {10^{2b}},zx = {10^{3c}}\left( {a,b,c \in R} \right)\). Tính \(P = {\log _x} + {\log _y} + {\log _z}.\)
A. \(P = 3abc\)
B. \(P = a + 2b + 3c\)
C. \(P = 6abc\)
D. \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{2}\)
Ta có \(xy = {10^\alpha },yz = {10^{2b}},zx = {10^{3c}} \Rightarrow {\left( {xyz} \right)^2} = {10^{a + 2b + 3c}}.\)
Suy ra \(P = \log x + \log y + \log z = \log \left( {xyz} \right) = \frac{1}{2}\log {\left( {xyz} \right)^2} = \frac{1}{2}\log {10^{a + 2b + 3c}} = \frac{{a + 2b + 3c}}{2}\).
Suy ra \(P = \log x + \log y + \log z = \log \left( {xyz} \right) = \frac{1}{2}\log {\left( {xyz} \right)^2} = \frac{1}{2}\log {10^{a + 2b + 3c}} = \frac{{a + 2b + 3c}}{2}\).
Tìm tập xách định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - x} \right).\)
A. \(D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; - \infty } \right)\)
B. \(D = \left( {0;1} \right)\)
C. \(D = \left[ {0;1} \right]\)
D. \(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Cho \(0 < x < y < 1\), đặt \(m = \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(m > 4\)
B. \(m < 1\)
C. \(m = 4\)
D. \(m < 2\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \ln \frac{t}{{1 - t}} - 4t\) trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}}{{t\left( {1 - t} \right)}} \ge 0;\forall t \in \left( {0;1} \right)\).
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Với \(x < y \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{x}{{1 - x}} - 4x < \ln \frac{y}{{1 - y}} - 4y\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}} > 4\left( {y - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right) > 4\)
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Với \(x < y \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{x}{{1 - x}} - 4x < \ln \frac{y}{{1 - y}} - 4y\) \( \Leftrightarrow \ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}} > 4\left( {y - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right) > 4\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right).\)
A. \(y' = - {e^{ - x}}\left( { - {x^2} + 4x + 4} \right)\)
B. \(y' = - {e^{ - x}}\left( { - {x^2} - 4x + 4} \right)\)
C. \(y' = - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\)
D. \(y' = {e^{ - x}}\left( { - {x^2} - 4x + 4} \right)\)
Ta có: \(y' = {\left[ {{e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right]^\prime } = - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + \left( {2x - 2} \right){e^{ - x}} = - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right).\)
Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
B. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {0;1} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\)
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Ta có: \(y' = \left[ {\ln \left( {{x^2} - 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow x < - 1\)
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Ta có: \(y' = \left[ {\ln \left( {{x^2} - 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow x < - 1\)
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
Cho a, b > 0, rút gọn biểu thức \(P = {\log _{\frac{1}{2}}}a + 4{\log _4}b.\)
A. \(P = {\log _2}\left( {\frac{{2b}}{a}} \right)\)
B. \(P = {\log _2}\left( {{b^2} - a} \right)\)
C. \(P = {\log _2}\left( {a{b^2}} \right)\)
D. (P = {\log _2}\left( {\frac{{{b^2}}}{a}} \right)\)
\(\begin{array}{l}P = {\log _{\frac{1}{2}}}a + 4{\log _4}b = {\log _{{2^{ - 1}}}}a + 4{\log _{{2^2}}}b = - {\log _2}a + 2{\log _2}b\\ = - {\log _2}a + {\log _2}{b^2} = {\log _2}\frac{{{b^2}}}{a}.\end{array}\)
Cho biểu thức \(B = {3^{2{{\log }_3}a}} - {\log _5}{a^2}.{\log _a}25\) với a dương, khác 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(B = {a^2} - 4\)
B. \(B \ge 2{\rm{a}} - 5\)
C. \({\log _{{a^2} - 4}}\left( B \right) = 1\)
D. \(B > 3\)
Ta có: \(B = {3^{2{{\log }_3}a}} - {\log _5}{a^2}.{\log _a}25 = {3^{{{\log }_3}{a^2}}} - 4{\log _5}a.{\log _a}5 = {a^2} - 4.\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _9}{\left( {x + 1} \right)^2} - \ln \left( {3 - x} \right) + 2\).
A. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;3} \right)\)
D. \(D = \left( { - 1;3} \right)\)
Hàm số đã cho xác định khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\\ 3 - x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 1\\ x < 3 \end{array} \right. \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;3} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\\ 3 - x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 1\\ x < 3 \end{array} \right. \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;3} \right)\)
Đặt \(a = {\log _3}15;b = {\log _3}10\). Hãy biểu diễn \({\log _{\sqrt 3 }}50\) theo a và b.
A. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 3(a + b - 1)\)
B. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = (a + b - 1)\)
C. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2(a + b - 1)\)
D. \({\log _{\sqrt 3 }}50 = 4(a + b - 1)\)
\({\log _{\sqrt 3 }}50 = 2{\log _3}50 = 2({\log _3}5 + {\log _3}10)\)
\(= 2(lo{g_3}\frac{{3.5}}{3} + {\log _3}10) = 2\left( {{{\log }_3}15 - 1 + {{\log }_3}10} \right) = 2(a + b - 1)\)
\(= 2(lo{g_3}\frac{{3.5}}{3} + {\log _3}10) = 2\left( {{{\log }_3}15 - 1 + {{\log }_3}10} \right) = 2(a + b - 1)\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}({x^2} + 1)\).
A. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\)
B. \(y' = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)\ln 2017}}\)
C. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
\(y' = \left( {{{\log }_{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| {\sin x} \right|\).
A. \(y' = \ln \left| {\cos x} \right|\)
B. \(y' = \cot x\)
C. \(y' = \tan x\)
D. \(y' = \frac{1}{{\sin x}}\)
Ta có: \(\left( {\ln \left| u \right|} \right)' = \frac{{u'}}{u};\,\,\left( {\sin x} \right)' = \cos x\) ,
Vậy: \(y' = \left( {\ln \left| {\sin x} \right|} \right)' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {\mathop{\rm cotx}\nolimits}\)
Vậy: \(y' = \left( {\ln \left| {\sin x} \right|} \right)' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {\mathop{\rm cotx}\nolimits}\)