Câu 1:
Cho phương trình \({z^2} - 2x + 2 = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo
B. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức.
C. Phương trình đã cho không có nghiệm phức.
D. Phương trình đã cho không có nghiệm thực.
Câu 2:
Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2x + 5 = 0\). Tính \(M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right|.\)
A. \(M = 12\)
B. \(M = 2\sqrt {34}\)
C. \(M = 4\sqrt 5\)
D. \(M = 10\)
Câu 3:
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB=6
B. AB=2
C. AB=12
D. AB=4
Câu 4:
Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \({z_1},{z_2} \ne 0;{z_1} + {z_2} \ne 0\) và \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}}.\) Tính \(\left | \frac{{z_1}}{{z_2}} \right |.\)
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(2\sqrt{3}\)
D. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Câu 5:
Gọi là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 3 = 0.\) Tính \(A = \left| {{z_1}^2} \right| + \left| {{z_2}^2} \right|\)
A. A=6
B. A=3
C. A=9
D. A=2
Câu 6:
Gọi \({z_1},{z_2}\) là nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\)
A. 20
B. 25
C. 18
D. 21
Câu 7:
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} - z + 1 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. 2
B. 4
C. 1
D. \(\sqrt 3 .\)
Câu 8:
Biết rằng phương trình \({z^2} + bz + c = 0\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm phức là \({z_1} = 1 + 2i\). Khi đó:
A. \(b + c = 0\)
B. \(b + c = 3\)
C. \(b + c = 2\)
D. \(b + c = 7\)
Câu 9:
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 4{\rm{z}} + 13 = 0.\) Tính mô đun của số phức \({\rm{w}} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)i + {z_1}{z_2}.\)
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 3.\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {185} .\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {153} .\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {17} .\)
Câu 10:
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 5\)
B. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \)
C. .\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10\)
D. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \)
Câu 11:
Giải phương trình \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 0\) trên tập hợp số phức.
A. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{z = 2 + 3i}\end{array}} \right.\)
B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{z = 2 - 3i}\end{array}} \right.\)
C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{z = 2 - 3i}\end{array}} \right.\)
D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - 2i}\\{z = 3i}\\{z = 2 - 3i}\end{array}} \right.\)
Câu 12:
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 3{\rm{z}} + 3 = 0.\) Tính \(\frac{1}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}.\)
A. \(\frac{2}{3}.\)
B. \(\frac{1}{3}.\)
C. \(\frac{4}{9}.\)
D. \(\frac{2}{9}.\)
Câu 13:
Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2{z^2} - 6z + 5 = 0\). Điểm nào dưới đây biểu diễn số phức \(i{z_0}?\)
A. \({M_4}\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
B. \({M_1}\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
C. \({M_3}\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)
D. \({M_2}\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
Câu 14:
Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết \({z_1} = w + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)
A. \(T = 2\sqrt {13} \)
B. \(T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}\)
C. \(T = \frac{{2\sqrt {85} }}{3}\)
D. \(T = 4\sqrt {13} \)
Câu 15:
Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình \(z = \frac{z}{{z + i}}.\)
A. \(\left\{ {0;1 - i} \right\}\)
B. \(\left\{ 0 \right\}\)
C. \(\left\{ {1 - i} \right\}\)
D. \(\left\{ {0;1} \right\}\)
Câu 16:
Cho hai số thực b và c \(\left( {c > 0} \right).\) Ký hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0.\) Tìm điều kiện của b và c sao cho OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
A. \({b^2} = 2c.\)
B. \(c = 2{b^2}.\)
C. \(b = c.\)
D. \({b^2} = c.\)
Câu 17:
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\). Tính \(M = z_1^{200} + z_2^{200}.\)
A. \(M = {2^{101}}\)
B. \(M = - {2^{101}}\)
C. \(M = {2^{101}}i\)
D. \(M = 0\)
Câu 18:
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn nghiệm số phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. 6
B. 2
C. 12
D. 4
Câu 19:
Phương trình \({z^3} + {z^2} + 3z + 3 = 0\) có 3 nghiệm phức là z1, z2, z3.
Khi đó giá trị của biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2}\) là:
A. \(P = 1.\)
B. \(P = 5.\)
C. \(P = 6.\)
D. \(P = 7.\)
Câu 20:
Biết phương trình \({z^2} - 6{\rm{z}} + 25 = 0\) có hai nghiệm là \({z_1}\) và \({z_2}.\) Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 6.\)
B. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10.\)
C. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 14.\)
D. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 5.\)
Câu 21:
Gọi \({z_1}\) là số phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} + 2{\rm{z}} + 2 = 0.\) Tìm số phức liên hợp của \({\rm{w}} = \left( {1 + 2i} \right){z_1}.\)
A. \(\overline {\rm{w}} = 1 - 3i.\)
B. \(\overline {\rm{w}} = 1 + 3i.\)
C. \(\overline {\rm{w}} = - 3 + i.\)
D. \(\overline {\rm{w}} = - 3 - i.\)
Câu 22:
Cho số phức w, biết rằng \({z_1} = w - 2i\) và \({z_2} = 2w - 4\) là hai nghiệm của phương trình\({z^2} + az + b = 0\) với a, b là các số thực. Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
A. \(T = \frac{{8\sqrt {10} }}{3}\)
B. \(T = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
C. \(T = 5\)
D. \(T = \frac{{2\sqrt {37} }}{3}\)
Câu 23:
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(5{{\rm{z}}^2} - 8{\rm{z}} + 5 = 0.\) Tính \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + {z_1}{z_2}.\)
A. \(S = 3.\)
B. \(S = 15.\)
C. \(S = \frac{{13}}{5}.\)
D. \(S = \frac{{ - 3}}{5}.\)
Cho phương trình \({z^2} - 2x + 2 = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo
B. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức.
C. Phương trình đã cho không có nghiệm phức.
D. Phương trình đã cho không có nghiệm thực.
\({z^2} - 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow z = 1 \pm i.\)
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là \(z = 1 \pm i.\)
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là \(z = 1 \pm i.\)
Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2x + 5 = 0\). Tính \(M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right|.\)
A. \(M = 12\)
B. \(M = 2\sqrt {34}\)
C. \(M = 4\sqrt 5\)
D. \(M = 10\)
Ta có: \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = i - 2}\\ {z = - i - 2} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right| = 2.5 = 10.\)
\(\Rightarrow M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right| = 2.5 = 10.\)
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB=6
B. AB=2
C. AB=12
D. AB=4
\({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = - 1 - 3i}\\ {z = - 1 + 3i} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( { - 1; - 3} \right)}\\ {B\left( { - 1;3} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow AB = 6.\)
Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \({z_1},{z_2} \ne 0;{z_1} + {z_2} \ne 0\) và \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}}.\) Tính \(\left | \frac{{z_1}}{{z_2}} \right |.\)
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(2\sqrt{3}\)
D. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Ta có: \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}} \Leftrightarrow \frac{{{z_1}}}{{{z_1} + {z_2}}} = 1 + \frac{{2{z_1}}}{{{z_2}}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}}}{{\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + 1}} = 1 + \frac{{2{z_1}}}{{{z_2}}}\).
Đặt \(t = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\)
Khi đó \(\frac{t}{{t + 1}} = 1 + 2t \Rightarrow 2{t^2} + 2t + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \frac{{ - 1 + i}}{2}}\\ {t = \frac{{ - 1 - i}}{2}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left| t \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Đặt \(t = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\)
Khi đó \(\frac{t}{{t + 1}} = 1 + 2t \Rightarrow 2{t^2} + 2t + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \frac{{ - 1 + i}}{2}}\\ {t = \frac{{ - 1 - i}}{2}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left| t \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Gọi là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 3 = 0.\) Tính \(A = \left| {{z_1}^2} \right| + \left| {{z_2}^2} \right|\)
A. A=6
B. A=3
C. A=9
D. A=2
\({z^2} + 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1 + i\sqrt 2 \\ x = - 1 - i\sqrt 2 \end{array} \right.\)
\(A = \left| {{z_1}^2} \right| + \left| {{z_2}^2} \right| = \left| { - 1 - 2\sqrt 2 i} \right| + \left| { - 1 + 2\sqrt 2 i} \right| = 3 + 3 = 6.\)
\(A = \left| {{z_1}^2} \right| + \left| {{z_2}^2} \right| = \left| { - 1 - 2\sqrt 2 i} \right| + \left| { - 1 + 2\sqrt 2 i} \right| = 3 + 3 = 6.\)
Gọi \({z_1},{z_2}\) là nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\)
A. 20
B. 25
C. 18
D. 21
\({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - 1 + 3i}\\{z = - 1 - 3i}\end{array}} \right. \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 2\left( {1 + {3^2}} \right) = 20\)
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} - z + 1 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. 2
B. 4
C. 1
D. \(\sqrt 3 .\)
\({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2} + \frac{{i\sqrt 3 }}{2}\\z = \frac{1}{2} - \frac{{i\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2.\)
Biết rằng phương trình \({z^2} + bz + c = 0\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm phức là \({z_1} = 1 + 2i\). Khi đó:
A. \(b + c = 0\)
B. \(b + c = 3\)
C. \(b + c = 2\)
D. \(b + c = 7\)
Do \(1 + 2i\) là nghiệm của PT nên ta có \({\left( {1 + 2i} \right)^2} + b\left( {1 + 2i} \right) + c = 0\) \( \Leftrightarrow - 3 + 4i + b + 2bi + c = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b + c - 3 = 0}\\{2b + 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow b + c = 3.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b + c - 3 = 0}\\{2b + 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow b + c = 3.\)
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 4{\rm{z}} + 13 = 0.\) Tính mô đun của số phức \({\rm{w}} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)i + {z_1}{z_2}.\)
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 3.\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {185} .\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {153} .\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {17} .\)
\(\begin{array}{l}{z^2} + 4{\rm{z}} + 13 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 2 + 3i\\z = - 2 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 2 + 3i\\{z_2} = - 2 - 3i\end{array} \right.\\ \Rightarrow {\rm{w}} = 13 - 4i \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {185} .\end{array}\)
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 5\)
B. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \)
C. .\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10\)
D. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \)
\({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = - 2 + i}\\{{z_2} = - 2 = i}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 .\)
\( \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 .\)
Giải phương trình \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 0\) trên tập hợp số phức.
A. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{z = 2 + 3i}\end{array}} \right.\)
B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{z = 2 - 3i}\end{array}} \right.\)
C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{z = 2 - 3i}\end{array}} \right.\)
D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - 2i}\\{z = 3i}\\{z = 2 - 3i}\end{array}} \right.\)
\(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z - 2 + 3i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{iz - 1 = 0}\\{z + 3i = 0}\\{\overline z - 2 + 3i}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{\overline z = 2 - 3i}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = - i}\\{z = - 3i}\\{z = 2 + 3i}\end{array}} \right..\)
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 3{\rm{z}} + 3 = 0.\) Tính \(\frac{1}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}.\)
A. \(\frac{2}{3}.\)
B. \(\frac{1}{3}.\)
C. \(\frac{4}{9}.\)
D. \(\frac{2}{9}.\)
\(\begin{array}{l}{z^2} - 3{\rm{z}} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\z = \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\{z_2} = \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow \frac{1}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}} + \frac{1}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \frac{2}{3}.\end{array}\)
Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2{z^2} - 6z + 5 = 0\). Điểm nào dưới đây biểu diễn số phức \(i{z_0}?\)
A. \({M_4}\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
B. \({M_1}\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
C. \({M_3}\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)
D. \({M_2}\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
\(2{z^2} - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i}\\{z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i}\end{array} \Rightarrow {z_0} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow i{z_0} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)} \right.\)
Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết \({z_1} = w + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)
A. \(T = 2\sqrt {13} \)
B. \(T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}\)
C. \(T = \frac{{2\sqrt {85} }}{3}\)
D. \(T = 4\sqrt {13} \)
Đặt \(w = m + ni\)
Ta có: \({z_1} + {z_2} = 3w + 2i - 3 = 3m - 3 + \left( {3n + 2} \right)i = - a\) là số thực do đó \(n = \frac{{ - 2}}{3}\)
Lại có \({z_1}{z_2} = \left( {m + \frac{{4i}}{3}} \right)\left( {2m - 3 - \frac{4}{3}i} \right) = \left( {2{m^2} - 3m + \frac{{16}}{9}} \right) + \left( {\frac{4}{3}m - 4} \right)i = b\) là số thực do đó \(\frac{4}{3}m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)
Do đó \({z_1} = 3 + \frac{{4i}}{3};{z_2} = 3 - \frac{{4i}}{3} \Rightarrow T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}.\)
Ta có: \({z_1} + {z_2} = 3w + 2i - 3 = 3m - 3 + \left( {3n + 2} \right)i = - a\) là số thực do đó \(n = \frac{{ - 2}}{3}\)
Lại có \({z_1}{z_2} = \left( {m + \frac{{4i}}{3}} \right)\left( {2m - 3 - \frac{4}{3}i} \right) = \left( {2{m^2} - 3m + \frac{{16}}{9}} \right) + \left( {\frac{4}{3}m - 4} \right)i = b\) là số thực do đó \(\frac{4}{3}m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)
Do đó \({z_1} = 3 + \frac{{4i}}{3};{z_2} = 3 - \frac{{4i}}{3} \Rightarrow T = \frac{{2\sqrt {97} }}{3}.\)
Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình \(z = \frac{z}{{z + i}}.\)
A. \(\left\{ {0;1 - i} \right\}\)
B. \(\left\{ 0 \right\}\)
C. \(\left\{ {1 - i} \right\}\)
D. \(\left\{ {0;1} \right\}\)
\(z = \frac{z}{{z + i}} \Leftrightarrow z\left( {1 - \frac{1}{{z + i}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\1 = \frac{1}{{z + i}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = 1 - i\end{array} \right.\)
Cho hai số thực b và c \(\left( {c > 0} \right).\) Ký hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0.\) Tìm điều kiện của b và c sao cho OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
A. \({b^2} = 2c.\)
B. \(c = 2{b^2}.\)
C. \(b = c.\)
D. \({b^2} = c.\)
Giả sử \({z_1} = {x_1} + i{y_1};\,\,{z_2} = {x_2} + i{y_2} \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0.\)
Ta có: \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + b} \right)^2} = {b^2} - c \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - b + i\sqrt {c - {b^2}} \\z = - b - i\sqrt {c - {b^2}} \end{array} \right.\left( {c > {b^2}} \right)\)
Suy ra tọa độ: \(A( - b;\sqrt {c - {b^2}} );\,\,B( - b; - \sqrt {c - {b^2}} )\)
Tam giác OAB vuông tại O nên: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Suy ra: \({b^2} + {b^2} - c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}.\)
Ta có: \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + b} \right)^2} = {b^2} - c \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - b + i\sqrt {c - {b^2}} \\z = - b - i\sqrt {c - {b^2}} \end{array} \right.\left( {c > {b^2}} \right)\)
Suy ra tọa độ: \(A( - b;\sqrt {c - {b^2}} );\,\,B( - b; - \sqrt {c - {b^2}} )\)
Tam giác OAB vuông tại O nên: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Suy ra: \({b^2} + {b^2} - c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}.\)
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\). Tính \(M = z_1^{200} + z_2^{200}.\)
A. \(M = {2^{101}}\)
B. \(M = - {2^{101}}\)
C. \(M = {2^{101}}i\)
D. \(M = 0\)
\(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\\ \Rightarrow M = z_1^{200} + z_2^{200} = {\left( {1 + i} \right)^{200}} + {\left( {1 - i} \right)^{200}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{100}} + {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{100}}\end{array}\)
\( = {\left( {2i} \right)^{100}} + {\left( { - 2i} \right)^{100}} = {2^{100}}{\left( {{i^2}} \right)^{50}} + {\left( { - 2} \right)^{100}}.{\left( {{i^2}} \right)^{50}} = {2.2^{100}}.{\left( { - 1} \right)^{50}} = {2^{101}}.\)
\( = {\left( {2i} \right)^{100}} + {\left( { - 2i} \right)^{100}} = {2^{100}}{\left( {{i^2}} \right)^{50}} + {\left( { - 2} \right)^{100}}.{\left( {{i^2}} \right)^{50}} = {2.2^{100}}.{\left( { - 1} \right)^{50}} = {2^{101}}.\)
Gọi A, B là hai điểm biểu diễn nghiệm số phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. 6
B. 2
C. 12
D. 4
\({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1 + 3i\\z = - 1 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 1;3} \right)\\B\left( { - 1; - 3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB = 6.\)
Phương trình \({z^3} + {z^2} + 3z + 3 = 0\) có 3 nghiệm phức là z1, z2, z3.
Khi đó giá trị của biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2}\) là:
A. \(P = 1.\)
B. \(P = 5.\)
C. \(P = 6.\)
D. \(P = 7.\)
\(\begin{array}{l}{z^3} + {z^2} + 3z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 1 = 0\\{z^2} + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1\\z = \pm \sqrt 3 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} = 7\end{array}\)
Biết phương trình \({z^2} - 6{\rm{z}} + 25 = 0\) có hai nghiệm là \({z_1}\) và \({z_2}.\) Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 6.\)
B. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10.\)
C. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 14.\)
D. \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 5.\)
\(\begin{array}{l}{z^2} - 6{\rm{z}} + 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 3 + 4i\\z = 3 - 4i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 3 - 4i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 5 \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10.\end{array}\)
Gọi \({z_1}\) là số phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} + 2{\rm{z}} + 2 = 0.\) Tìm số phức liên hợp của \({\rm{w}} = \left( {1 + 2i} \right){z_1}.\)
A. \(\overline {\rm{w}} = 1 - 3i.\)
B. \(\overline {\rm{w}} = 1 + 3i.\)
C. \(\overline {\rm{w}} = - 3 + i.\)
D. \(\overline {\rm{w}} = - 3 - i.\)
Ta có: \({z_1} = - 1 - i \Rightarrow {\rm{w}} = \left( {1 + 2i} \right)\left( { - 1 - i} \right) = 1 - 3i \Rightarrow \overline {\rm{w}} = 1 + 3i.\)
Cho số phức w, biết rằng \({z_1} = w - 2i\) và \({z_2} = 2w - 4\) là hai nghiệm của phương trình\({z^2} + az + b = 0\) với a, b là các số thực. Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
A. \(T = \frac{{8\sqrt {10} }}{3}\)
B. \(T = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
C. \(T = 5\)
D. \(T = \frac{{2\sqrt {37} }}{3}\)
Đặt \(w = x + yi,(x,y \in \mathbb{R}).\)
Theo Viet ta có: \({z_1} + {z_2} = - a = 3w - 2i - 4 = \left( {3x - 4} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\) là số thực nên \(y = \frac{2}{3}\). Lại có \({z_1}{z_2} = b = \left( {x + \frac{2}{3}i - 2i} \right)\left( {2x + \frac{4}{3}i - 4} \right)\) là số thực.
Suy ra \(\left( {x - \frac{4}{3}i} \right)\left( {2x - 4 + \frac{4}{3}i} \right) = x\left( {2x - 4} \right) - \frac{4}{3}i\left( {x - 4} \right) + \frac{{16}}{9}\) là số thực suy ra \(x = 4\)
Do đó \({z_1} = 4 + \frac{2}{3}i - 2i = 4 - \frac{4}{3}i;{z_2} = 4 + \frac{4}{3}i \Rightarrow T = \frac{{8\sqrt {10} }}{3}.\)
Theo Viet ta có: \({z_1} + {z_2} = - a = 3w - 2i - 4 = \left( {3x - 4} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\) là số thực nên \(y = \frac{2}{3}\). Lại có \({z_1}{z_2} = b = \left( {x + \frac{2}{3}i - 2i} \right)\left( {2x + \frac{4}{3}i - 4} \right)\) là số thực.
Suy ra \(\left( {x - \frac{4}{3}i} \right)\left( {2x - 4 + \frac{4}{3}i} \right) = x\left( {2x - 4} \right) - \frac{4}{3}i\left( {x - 4} \right) + \frac{{16}}{9}\) là số thực suy ra \(x = 4\)
Do đó \({z_1} = 4 + \frac{2}{3}i - 2i = 4 - \frac{4}{3}i;{z_2} = 4 + \frac{4}{3}i \Rightarrow T = \frac{{8\sqrt {10} }}{3}.\)
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(5{{\rm{z}}^2} - 8{\rm{z}} + 5 = 0.\) Tính \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + {z_1}{z_2}.\)
A. \(S = 3.\)
B. \(S = 15.\)
C. \(S = \frac{{13}}{5}.\)
D. \(S = \frac{{ - 3}}{5}.\)
\(5{{\rm{z}}^2} - 8{\rm{z}} + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\z = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i\\{z_2} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = 3.\)