Câu 1:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}},\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\) là:
A. \(\frac{5}{6}.\)
B. \(\frac{{17}}{4}.\)
C. \(\frac{{11}}{4}.\)
D. \(\frac{{17}}{3}.\)
Câu 2:
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành phần hình phẳng giới hạn bởi 2 đường \(y = {x^2}\) và \(y = \sqrt x \) là:
A. \(\frac{\pi }{{10}}.\)
B. \(\frac{{2\pi }}{{15}}.\)
C. \(\frac{{3\pi }}{{10}}.\)
D. \(\frac{{3\pi }}{5}.\)
Câu 3:
Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vữ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây?
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)} dx\)
C. \(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)}^2}} dx\)
Câu 4:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 4\) và \(y = x - 4\)
A. \(S = \frac{{43}}{6}\)
B. \(S = \frac{{161}}{6}\)
C. \(S = \frac{1}{6}\)
D. \(S = \frac{5}{6}\)
Câu 5:
Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m,\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right),\) với m là tham số thực. Giả sử \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi \({S_1};{S_2};{S_3}\) là diện tích các miền gạch chéo như hình vẽ. Tìm m để \({S_1} + {S_2} = {S_3}.\)
A. \(m = - \frac{5}{2}\)
B. \(m = - \frac{5}{4}\)
C. \(m = \frac{5}{2}\)
D. \(m = \frac{5}{4}\)
Câu 6:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = 4 - {x^2},y = 0\). Tính thể tích V của khối tròn xoay hình thành khi cho (H) quay xung quanh Ox.
A. \(V = \frac{{512}}{{15}}\left( {dvtt} \right)\)
B. \(V = \frac{{512\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)\)
C. \(V = 2\pi \left( {dvtt} \right)\)
D. \(V = \frac{{32\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)\)
Câu 7:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 2\), tiếp tuyến của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\) và trục Oy. Tính diện tích của hình (H).
A. 18 (đvdt)
B. 9 (đvdt)
C. 15(đvdt)
D. 12(đvdt)
Câu 8:
Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox, hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) quanh trục Ox.
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
B. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
D. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
Câu 9:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 4{\rm{x}} + 3\) và trục Ox.
A. \(\frac{8}{3}.\)
B. \(\frac{4}{3}\pi .\)
C. \(\frac{4}{3}.\)
D. \(\frac{8}{3}\pi .\)
Câu 10:
Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m. Chiều cao \(SO = 6m\) (SO vuông góc với mặt đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi \({c_1},{c_2},{c_3},{c_4},{c_5},{c_6}\) nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó.
A. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
B. \(\frac{{96\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
C. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
D. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{8}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
Phương trình của parapol có dang: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0;6), B(1;3), C(3;0) nên có phương trình là: \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\)
Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện lục giác là BM.
Đặt t=Om thì ta có:
\(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6 = t \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2t + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \pm \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
\( \Rightarrow BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
Khi đó, diện tích của thiết diện lục giác bằng: \(S(t) = 6.\frac{{B{M^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)^2}\) với \(t \in \left[ {0;6} \right].\)
Vậy thể tích túp liều là: \(V = \int\limits_0^6 {S(t)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}{{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)}^2}dt} = \frac{{135\sqrt 3 }}{8}.\)
Câu 11:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \({f'}\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right).\)
B. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\)
C. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
D. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right).\)
Câu 12:
Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao cho bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quay trục Ox.
A. \(\frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\)
B. \(\frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}\)
C. \(\frac{\pi }{6}{a^3}\)
D. \(\frac{\pi }{8}{a^3}\)
Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính.
Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên quanh trục hoành.
Khi đó \(V = 2{V_1}\)
Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{4}} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{\frac{a}{4}}^{\frac{a}{2}} {{{\left( {2x - \frac{a}{2}} \right)}^2}} dx = \frac{{5\pi }}{{96}}{a^3}\)
Suy ra \(V = 2{V_1} = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\) .
Câu 13:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {a;\sqrt a } \right)\), với \(a > 0\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a.
A. \(a = 9\)
B. \(a = 4\)
C. \(a = \frac{1}{2}\)
D. \(a = 3\)
Diện tích (H) bằng \(S = \sqrt a \left( {a + 1} \right)\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = a\) bằng \({S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \)
Vì \({S_1} = \frac{1}{2}S \Rightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{1}{2}\sqrt a \left( {a + 1} \right) \Rightarrow a = 3\)
Câu 14:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^x}\), trục Ox và đường thẳng \(x = 2.\)
A. \(e.\)
B. \(2{{\rm{e}}^2} - e.\)
C. \(2{{\rm{e}}^2}.\)
D. \({{\rm{e}}^2}.\)
Câu 15:
Gọi V là thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\sqrt {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}} ,\) trục Ox, đường thẳng \(x = e\) quanh trục Ox. Biết \(V = \pi \left( {a\ln 2 + b} \right),\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(a - b = 1.\)
B. \({a^2} + {b^2} = 4.\)
C. \(a + 2b = 0.\)
D. \(ab = 2.\)
Câu 16:
Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là \(2\sqrt 2 \). Tính thể tích chuông?
A. \(6\pi \)
B. \(12\pi \)
C. \(2{\pi ^3}\)
D. \(16\pi \)
Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {4;2\sqrt 2 } \right),\left( {4; - 2\sqrt 2 } \right)\) nên có phương trình \(x = \frac{{{y^2}}}{2}\).
Thể tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng \(y = \sqrt {2 x},x = 0,x = 4\) quay quanh trục Ox.
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {2xdx} = \left. {\left( {\pi {x^2}} \right)} \right|_0^4 = 16\pi \)
Câu 17:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = a{{\rm{x}}^3}\,\,\left( {a > 0} \right),\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = k\,\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(\frac{{17{\rm{a}}}}{4}.\) Tìm k.
A. \(k = 1.\)
B. \(k = \frac{1}{4}.\)
C. \(k = \frac{1}{2}.\)
D. \(k = 2.\)
Câu 18:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {5;5} \right),C\left( {5;0} \right),\)\(D\left( { - 1;0} \right).\) Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối nón tròn xoay tạo thành là bao nhiêu?
A. \(72\pi .\)
B. \(74\pi .\)
C. \(76\pi .\)
D. \(78\pi .\)
Thể tích cần tính là thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang ABCD giới hạn bởi các đường \(y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2};\,\,y = 0;\,\,x = - 1;\,\,x = 5\) (như hình vẽ).
Khi đó: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^5 {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = 78\pi .\)
Câu 19:
Cho mặt phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\)và trục hoành. Tìm công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quay quanh trục hoành.
A. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
B. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
C. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
D. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
Câu 20:
Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng \(4\sqrt 5 \left( m \right)\). Trên đó người thiết kế hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200.000 đồng/1m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A. 3.895.000 đồng
B. 1.948.000 đồng
C. 2.388.000 đồng
D. 1.194.000 đồng
Ta có: Tung độ các điểm \(A,\,{\bf{B}}\) là: \({y_A} = {y_B} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}} = 4\)
Parabol đi qua các điểm O(0;0), A(-2;4), B(2;4) nên có phương trình là: \(y = {x^2}.\)
Phương trình của đường tròn tâm O(0;0), đường kính \(4\sqrt 5 \) là: \({x^2} + {y^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow y = \sqrt {20 - {x^2}} \)
Vậy: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {20 - {x^2}} ,y = {x^2},x = - 2,x = 2\) được tô màu trong hình bên, S2 là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 5 \).
\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}\pi {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx} \).
Suy ra \(S \approx 19,476\left( {{m^2}} \right)\)
Chi phí sẽ bằng 200.000.S=3.895.000 đồng
Câu 21:
Một ô tô đang chuyển động đều với vân tốc \(a\left( {m/s} \right)\) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + a\left( {m/s} \right)\), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 (m).
A. 10 (m/s)
B. 20 (m/s)
C. 40 (m/s)
D. 25 (m/s)
Câu 22:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = {x^3}.\)
A. \(S = \frac{1}{2}\)
B. \(S = \frac{5}{{12}}\)
C. \(S = 1\)
D. \(S = \frac{3}{2}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}},\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\) là:
A. \(\frac{5}{6}.\)
B. \(\frac{{17}}{4}.\)
C. \(\frac{{11}}{4}.\)
D. \(\frac{{17}}{3}.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}\) với trục hoành là:
\({x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right|} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \\ \Rightarrow S = \frac{{11}}{4}.\end{array}\)
\({x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right|} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \\ \Rightarrow S = \frac{{11}}{4}.\end{array}\)
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành phần hình phẳng giới hạn bởi 2 đường \(y = {x^2}\) và \(y = \sqrt x \) là:
A. \(\frac{\pi }{{10}}.\)
B. \(\frac{{2\pi }}{{15}}.\)
C. \(\frac{{3\pi }}{{10}}.\)
D. \(\frac{{3\pi }}{5}.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \sqrt x \) là:
\({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)d{\rm{x}} = \frac{{3\pi }}{{10}}.} \)
\({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)d{\rm{x}} = \frac{{3\pi }}{{10}}.} \)
Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vữ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây?
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)} dx\)
C. \(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)}^2}} dx\)
Theo công thức trên ta có: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right|} dx = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)dx} \) (vì đồ thị hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {f_2}\left( x \right)\)).
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 4\) và \(y = x - 4\)
A. \(S = \frac{{43}}{6}\)
B. \(S = \frac{{161}}{6}\)
C. \(S = \frac{1}{6}\)
D. \(S = \frac{5}{6}\)
Xét phương trình: \({x^2} - 4 = x - 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).
Trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\) thì \({x^2} - x > 0\)
Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 4 - x + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)} dx = \frac{1}{6}\)
Trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\) thì \({x^2} - x > 0\)
Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 4 - x + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)} dx = \frac{1}{6}\)
Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m,\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right),\) với m là tham số thực. Giả sử \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi \({S_1};{S_2};{S_3}\) là diện tích các miền gạch chéo như hình vẽ. Tìm m để \({S_1} + {S_2} = {S_3}.\)
A. \(m = - \frac{5}{2}\)
B. \(m = - \frac{5}{4}\)
C. \(m = \frac{5}{2}\)
D. \(m = \frac{5}{4}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\)với trục hoành là:
\({x^4} - 3{x^2} + m = 0\)
Đặt \(t = {x^2},t > 0\) ta có: \({t^2} - 3t + m = 0(2)\)
\(({C_m})\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm dương phân biệt:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m > 0\\3 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\)
Đến đây ta có thể suy ra D là phương án đúng.
Nhận xét: Trong trường hợp bài này người ra đề đưa ra 4 phương án A, B, C, D. Khi sử dụng ngay dữ kiến đầu tiên ta có thể chọn được phương án đúng.
Nếu trường hợp đến đấy vẫn chưa chọn được phương án đúng, ta xét tiếp như sau.
Ta có: \(y = f(x) = {x^4} - 3{x^2} + m\)là hàm số chẵn nên ta có: \({S_1} + {S_2} = {S_3} \Rightarrow {S_2} = \frac{1}{2}{S_3}\)
Gọi \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\) là 4 hoành độ giao điểm của \(({C_m})\) với trục hoành suy ra:
\({S_2} = \frac{1}{2}{S_3} \Rightarrow \int\limits_{{x_3}}^{{x_4}} { - f(x)dx} = \int\limits_0^{{x_3}} {f(x)dx} \)
Từ đó ta có thể giải và tìm được m.
Tuy nhiên với bài toán này các nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) tính theo m có công thức rất phức tạp, không phù hợp với một bài trắc nghiệm. Có lẻ vì vậy tác giả đã đơn giản hóa bài toán từ việc đưa ra 4 phương án A, B, C, D nhứ trên. Bản chất bài toán chỉ còn là: “Tìm tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\)cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt”.
\({x^4} - 3{x^2} + m = 0\)
Đặt \(t = {x^2},t > 0\) ta có: \({t^2} - 3t + m = 0(2)\)
\(({C_m})\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm dương phân biệt:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m > 0\\3 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\)
Đến đây ta có thể suy ra D là phương án đúng.
Nhận xét: Trong trường hợp bài này người ra đề đưa ra 4 phương án A, B, C, D. Khi sử dụng ngay dữ kiến đầu tiên ta có thể chọn được phương án đúng.
Nếu trường hợp đến đấy vẫn chưa chọn được phương án đúng, ta xét tiếp như sau.
Ta có: \(y = f(x) = {x^4} - 3{x^2} + m\)là hàm số chẵn nên ta có: \({S_1} + {S_2} = {S_3} \Rightarrow {S_2} = \frac{1}{2}{S_3}\)
Gọi \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\) là 4 hoành độ giao điểm của \(({C_m})\) với trục hoành suy ra:
\({S_2} = \frac{1}{2}{S_3} \Rightarrow \int\limits_{{x_3}}^{{x_4}} { - f(x)dx} = \int\limits_0^{{x_3}} {f(x)dx} \)
Từ đó ta có thể giải và tìm được m.
Tuy nhiên với bài toán này các nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) tính theo m có công thức rất phức tạp, không phù hợp với một bài trắc nghiệm. Có lẻ vì vậy tác giả đã đơn giản hóa bài toán từ việc đưa ra 4 phương án A, B, C, D nhứ trên. Bản chất bài toán chỉ còn là: “Tìm tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m\)cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt”.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = 4 - {x^2},y = 0\). Tính thể tích V của khối tròn xoay hình thành khi cho (H) quay xung quanh Ox.
A. \(V = \frac{{512}}{{15}}\left( {dvtt} \right)\)
B. \(V = \frac{{512\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)\)
C. \(V = 2\pi \left( {dvtt} \right)\)
D. \(V = \frac{{32\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm các đồ thị là \(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)
Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^2}} dx = \frac{{512\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right).\)
Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^2}} dx = \frac{{512\pi }}{{15}}\left( {dvtt} \right).\)
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 2\), tiếp tuyến của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\) và trục Oy. Tính diện tích của hình (H).
A. 18 (đvdt)
B. 9 (đvdt)
C. 15(đvdt)
D. 12(đvdt)
Gọi \(\Delta \) là PTTT của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\)\( \Rightarrow \Delta :y = 4x - 7\)
Suy ra diện tích hình (H) bằng \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)} dx = 9\) (đvdt)
Suy ra diện tích hình (H) bằng \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)} dx = 9\) (đvdt)
Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox, hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) quanh trục Ox.
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
B. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
D. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}.} \)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 4{\rm{x}} + 3\) và trục Ox.
A. \(\frac{8}{3}.\)
B. \(\frac{4}{3}\pi .\)
C. \(\frac{4}{3}.\)
D. \(\frac{8}{3}\pi .\)
PT hoành độ giao điểm các đồ thị là \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Ta có: \(x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 < 0\)
Diện tích cần tìm là:
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = \frac{4}{3}.\)
Ta có: \(x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 < 0\)
Diện tích cần tìm là:
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = \frac{4}{3}.\)
Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m. Chiều cao \(SO = 6m\) (SO vuông góc với mặt đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi \({c_1},{c_2},{c_3},{c_4},{c_5},{c_6}\) nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó.
A. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
B. \(\frac{{96\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
C. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
D. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{8}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
Phương trình của parapol có dang: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0;6), B(1;3), C(3;0) nên có phương trình là: \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\)
Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện lục giác là BM.
Đặt t=Om thì ta có:
\(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6 = t \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2t + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \pm \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
\( \Rightarrow BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \)
Khi đó, diện tích của thiết diện lục giác bằng: \(S(t) = 6.\frac{{B{M^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)^2}\) với \(t \in \left[ {0;6} \right].\)
Vậy thể tích túp liều là: \(V = \int\limits_0^6 {S(t)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}{{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)}^2}dt} = \frac{{135\sqrt 3 }}{8}.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \({f'}\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right).\)
B. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\)
C. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
D. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right).\)
Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta lập được bảng biến thiên như sau:
Vậy hàm số chỉ có thể đạt giá trị lớn nhất tại x=-1 hoặc x=6.
Ta có:
\({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( { - 1} \right) - f\left( 2 \right) = {S_1} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = {S_1} + f\left( 2 \right)\)
\({S_2} = \int\limits_2^6 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_2^6 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 6 \right) - f\left( 2 \right) = {S_2} \Rightarrow f\left( 6 \right) = {S_2} + f\left( 2 \right).\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy \({S_2} > {S_1} \Rightarrow f\left( 6 \right) > f\left( { - 1} \right).\)
Vậy: \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
Vậy hàm số chỉ có thể đạt giá trị lớn nhất tại x=-1 hoặc x=6.
Ta có:
\({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( { - 1} \right) - f\left( 2 \right) = {S_1} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = {S_1} + f\left( 2 \right)\)
\({S_2} = \int\limits_2^6 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_2^6 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 6 \right) - f\left( 2 \right) = {S_2} \Rightarrow f\left( 6 \right) = {S_2} + f\left( 2 \right).\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy \({S_2} > {S_1} \Rightarrow f\left( 6 \right) > f\left( { - 1} \right).\)
Vậy: \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao cho bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quay trục Ox.
A. \(\frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\)
B. \(\frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}\)
C. \(\frac{\pi }{6}{a^3}\)
D. \(\frac{\pi }{8}{a^3}\)
Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính.
Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên quanh trục hoành.
Khi đó \(V = 2{V_1}\)
Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{4}} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{\frac{a}{4}}^{\frac{a}{2}} {{{\left( {2x - \frac{a}{2}} \right)}^2}} dx = \frac{{5\pi }}{{96}}{a^3}\)
Suy ra \(V = 2{V_1} = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\) .
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {a;\sqrt a } \right)\), với \(a > 0\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a.
A. \(a = 9\)
B. \(a = 4\)
C. \(a = \frac{1}{2}\)
D. \(a = 3\)
Diện tích (H) bằng \(S = \sqrt a \left( {a + 1} \right)\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = a\) bằng \({S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \)
Vì \({S_1} = \frac{1}{2}S \Rightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{1}{2}\sqrt a \left( {a + 1} \right) \Rightarrow a = 3\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^x}\), trục Ox và đường thẳng \(x = 2.\)
A. \(e.\)
B. \(2{{\rm{e}}^2} - e.\)
C. \(2{{\rm{e}}^2}.\)
D. \({{\rm{e}}^2}.\)
PT hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^x}\) và trục Ox là: \(\left( {x - 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int\limits_1^2 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x}} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^x}d{\rm{x}}} = e.\)
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int\limits_1^2 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x}} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^x}d{\rm{x}}} = e.\)
Gọi V là thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\sqrt {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}} ,\) trục Ox, đường thẳng \(x = e\) quanh trục Ox. Biết \(V = \pi \left( {a\ln 2 + b} \right),\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(a - b = 1.\)
B. \({a^2} + {b^2} = 4.\)
C. \(a + 2b = 0.\)
D. \(ab = 2.\)
Thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^e {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}d{\rm{x}}} \)
Đặt \(t = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Vậy: \(V = \pi \int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{{{t^2}}}dt} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)\)
Suy ra: \(a = 1;\,\,b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a + 2b = 0\)
Đặt \(t = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Vậy: \(V = \pi \int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{{{t^2}}}dt} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)\)
Suy ra: \(a = 1;\,\,b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a + 2b = 0\)
Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là \(2\sqrt 2 \). Tính thể tích chuông?
A. \(6\pi \)
B. \(12\pi \)
C. \(2{\pi ^3}\)
D. \(16\pi \)
Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {4;2\sqrt 2 } \right),\left( {4; - 2\sqrt 2 } \right)\) nên có phương trình \(x = \frac{{{y^2}}}{2}\).
Thể tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng \(y = \sqrt {2 x},x = 0,x = 4\) quay quanh trục Ox.
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {2xdx} = \left. {\left( {\pi {x^2}} \right)} \right|_0^4 = 16\pi \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = a{{\rm{x}}^3}\,\,\left( {a > 0} \right),\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = k\,\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(\frac{{17{\rm{a}}}}{4}.\) Tìm k.
A. \(k = 1.\)
B. \(k = \frac{1}{4}.\)
C. \(k = \frac{1}{2}.\)
D. \(k = 2.\)
Ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^k {\left| {a{x^3}} \right|dx} = a\left( {\int\limits_{ - 1}^0 { - {x^3}dx} + \int\limits_0^k {{x^3}dx} } \right) = a\left( {\frac{1}{4} + \frac{{{k^4}}}{4}} \right) = \frac{{17a}}{4} \Rightarrow k = 2.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {5;5} \right),C\left( {5;0} \right),\)\(D\left( { - 1;0} \right).\) Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối nón tròn xoay tạo thành là bao nhiêu?
A. \(72\pi .\)
B. \(74\pi .\)
C. \(76\pi .\)
D. \(78\pi .\)
Thể tích cần tính là thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang ABCD giới hạn bởi các đường \(y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2};\,\,y = 0;\,\,x = - 1;\,\,x = 5\) (như hình vẽ).
Khi đó: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^5 {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = 78\pi .\)
Cho mặt phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\)và trục hoành. Tìm công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quay quanh trục hoành.
A. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
B. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
C. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
D. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
Ta có: \(\sqrt x > x - 2,\forall x \in \left[ {0;4} \right] \Rightarrow x > {(x - 2)^2},\forall x \in \left[ {0;4} \right]\)
Vậy: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left( {x - {{(x - 2)}^2}} \right)dx} = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
Vậy: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left( {x - {{(x - 2)}^2}} \right)dx} = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng \(4\sqrt 5 \left( m \right)\). Trên đó người thiết kế hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200.000 đồng/1m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A. 3.895.000 đồng
B. 1.948.000 đồng
C. 2.388.000 đồng
D. 1.194.000 đồng
Ta có: Tung độ các điểm \(A,\,{\bf{B}}\) là: \({y_A} = {y_B} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}} = 4\)
Parabol đi qua các điểm O(0;0), A(-2;4), B(2;4) nên có phương trình là: \(y = {x^2}.\)
Phương trình của đường tròn tâm O(0;0), đường kính \(4\sqrt 5 \) là: \({x^2} + {y^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow y = \sqrt {20 - {x^2}} \)
Vậy: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {20 - {x^2}} ,y = {x^2},x = - 2,x = 2\) được tô màu trong hình bên, S2 là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 5 \).
\( \Rightarrow S = \frac{1}{2}\pi {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx} \).
Suy ra \(S \approx 19,476\left( {{m^2}} \right)\)
Chi phí sẽ bằng 200.000.S=3.895.000 đồng
Một ô tô đang chuyển động đều với vân tốc \(a\left( {m/s} \right)\) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + a\left( {m/s} \right)\), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 (m).
A. 10 (m/s)
B. 20 (m/s)
C. 40 (m/s)
D. 25 (m/s)
Ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = - 5t + a = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{5}\left( s \right)\)
Theo đề bài ta có \(S\left( t \right) = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)} dt = 40 \Rightarrow \left( { - \frac{5}{2}{t^2} + at} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{5}}\\0\end{array} = 40} \right.\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{{a^2}}}{{10}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Rightarrow a = 20\left( {m/s} \right).\)
Theo đề bài ta có \(S\left( t \right) = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)} dt = 40 \Rightarrow \left( { - \frac{5}{2}{t^2} + at} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{5}}\\0\end{array} = 40} \right.\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{{a^2}}}{{10}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Rightarrow a = 20\left( {m/s} \right).\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = {x^3}.\)
A. \(S = \frac{1}{2}\)
B. \(S = \frac{5}{{12}}\)
C. \(S = 1\)
D. \(S = \frac{3}{2}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là \(\sqrt x = {x^3} \Leftrightarrow x = {x^6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)
Vậy diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^3}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^3}} \right)dx} = \left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = \frac{5}{{12}}.\)
Vậy diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^3}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^3}} \right)dx} = \left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = \frac{5}{{12}}.\)
Sửa lần cuối: