Toán 12 22 bài Trắc nghiệm về Phép Toán với Số Phức trong đề thi thử (phần 6)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Tìm phần ảo của số phức \(z = \frac{{1 - 2i}}{{2 - i}}.\)
A. \(\frac{1}{2}.\)
B. \( - \frac{3}{5}.\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(1.\)
Ta có: \(z = \frac{{1 - 2i}}{{2 - i}} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}i.\)
Câu 2:
Cho số phức thỏa mãn \(3z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i\). Tính ab.
A. \(ab = 3\)
B. \(ab = - 6\)
C. \(ab = - 3\)
D. \(ab = 6\)
\(\begin{array}{l}3z - \left( {4 + 5i} \right)\overline z = - 17 + 11i \Rightarrow 3\left( {a + bi} \right) - \left( {4 + 5i} \right)\left( {a - bi} \right) = - 17 + 11i\\ \Leftrightarrow \left( { - a - 5b} \right) + \left( { - 5a + 7b} \right)i = - 17 + 11i\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a - 5b = - 17}\\{ - 5a + 7b = 11}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow ab = 6\)
Câu 3:
Tính \(\frac{z}{{\bar z}}\) biết \(z = 2i + 3.\)
A. \(\frac{{5 + 6i}}{{11}} - 2i\)
B. \(\frac{{5 + 12i}}{{13}}\)
C. \(\frac{{5 - 12i}}{{13}}\)
D. \(\frac{{3 - 4i}}{7}\)
Vì \(z = 2i + 3 = 3 + 2i\) nên \(\bar z = 3 - 2i\)
Suy ra: \(\frac{z}{{\bar z}} = \frac{{3 + 2i}}{{3 - 2i}} = \frac{{\left( {3 + 2i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}{{9 + 4}} = \frac{{5 + 12i}}{{13}}.\)
Câu 4:
Số nào trong các số phức sau là số thực?
A. \(\left( {\sqrt 3 + i} \right) - \left( {\sqrt 3 - i} \right)\)
B. \(\left( {2 + i\sqrt 5 } \right) + \left( {1 - 2i\sqrt 5 } \right)\)
C. \(\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)\)
D. \(\frac{{\sqrt 2 + i}}{{\sqrt 2 - i}}\)
Ta có: \(\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i\sqrt 3 } \right) = 1 - {\left( {i\sqrt 3 } \right)^2} = 4\) là số thực.
Câu 5:
Tìm số phức z biết \(z.\bar z = 29,{z^2} = - 21 - 20i\), phần ảo z là một số thực âm.
A. \(z = - 2 - 5i\)
B. \(z = 2 - 5i\)
C. \(z = 5 - 2i\)
D. \(z = - 5 - 2i\)
Đặt \(z = a + ib\left( {a,b \in \mathbb{R},b < 0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\bar z = a - bi \Rightarrow z.\bar z = {a^2} + {b^2} = 29\left( 1 \right)\\{z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi = - 21 - 20i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = - 21\,\left( 2 \right)\\2ab = - 20\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
(1) trừ (2), ta có \(2{b^2} = 50\) mà \(b < 0\) nên \(b = - 5\)
Thay \(b = - 5\) vào (3) ta được \(a = 2\)
Vậy \(z = 2 - 5i.\)
Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right)z = 5 - i.\) Tìm phần thực của số phức z.
A. 3
B. 3I
C. 2
D. \(\frac{5}{2}.\)
Ta có: \(\left( {1 + i} \right)z = 5 - i \Rightarrow z = \frac{{5 - i}}{{1 + i}} = 2 - 3i.\)
Câu 7:
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a, \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(3{\rm{z}} + 5\overline {\rm{z}} = 5 - 5i.\) Tính giá trị \(P = \frac{a}{b}.\)
A. \(P = \frac{1}{4}.\)
B. \(P = 4.\)
C. \(P = \frac{{25}}{{16}}.\)
D. \(P = \frac{{16}}{{25}}.\)
\(\begin{array}{l}3{\rm{z}} + 5\overline {\rm{z}} = 5 - 5i \Rightarrow 3\left( {a + bi} \right) + 5\left( {a - bi} \right) = 5 - 5i \Leftrightarrow 8{\rm{a}} - 2bi = 5 - 5i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{\rm{a}} = 5\\2b = 5\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{a}{b} = \frac{1}{4}.\end{array}\)
Câu 8:
Cho hai số phức \(z = 2 + 3i,\,\,{z'} = 3 - 2i.\) Tìm mô đun số phức \({\rm{w}} = z.{z'}.\)
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 14.\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 12.\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 13.\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {13} .\)
Ta có: \({\rm{w}} = \left( {2 + 3i} \right)\left( {3 - 2i} \right) = 12 + 5i \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} = 13.\)
Câu 9:
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 - i} \right)^2}\left( {1 + \sqrt 2 i} \right)\)
A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \(\sqrt 2 i\).
B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \( - \sqrt 2 i\).
C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \(\sqrt 2 \).
D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng \( - \sqrt 2 \).
Ta có \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 - i} \right)^2}\left( {1 + \sqrt 2 i} \right) = 5 - \sqrt 2 i\).
Vậy: phần thực của z bằng 5 và phần ảo bằng \( - \sqrt 2 \).
Câu 10:
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i,{z_2} = x - 1 + yi\) với \(x,y \in R\). Tìm cặp (x, y) để \({z_2} = 2\overline {{z_1}} .\)
A. \(\left( {x,y} \right) = \left( {3;4} \right)\)
B. \(\left( {x,y} \right) = \left( {2; - 2} \right)\)
C. \(\left( {x,y} \right) = \left( {3; - 4} \right)\)
D. \(\left( {x,y} \right) = \left( { - 2;2} \right)\)
Ta có \({z_2} = 2\overline {{z_1}} \Leftrightarrow x - 1 + yi = 2 + 4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {3;4} \right)\)
Câu 11:
Gọi \({z_1}{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \(\left( {1 + i} \right){z^2} = - 7 + i\). Giá trị biểu thức \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(T = 2\sqrt 5 \)
B. T=6
C. T=10
D. \(T = 2\sqrt 3 \)
Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left( {1 + i} \right){\left( {a + bi} \right)^2} = - 7 + i \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = \frac{{ - 7 + i}}{{1 + i}}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2ab.i = - 3 + 4i\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} = - 3}\\{2ab = 4}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = - 2}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = 1 + 2i}\\{{z_2} = - 1 - 2i}\end{array}} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|} \right. = \sqrt 5 \Rightarrow T = 2\sqrt 5 } \right.\)
Câu 12:
Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z sao cho \({z^2}\) là số thực âm.
A. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\)
B. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\}\)
C. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \ne 0} \right\}\)
D. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x < 0} \right\}\)
Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow {z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xy.i\)
Giả thiết \({z^2}\) là số thực âm, suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy = 0}\\{{x^2} - {y^2} < 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y \ne 0}\end{array} \Rightarrow } \right.} \right.\) tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \ne 0} \right\}.\)
Câu 13:
Cho số phức \(z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{100}}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^{96}} - i{{\left( {1 + i} \right)}^{98}}}}\). Khi đó:
A. \(\left| z \right| = \frac{4}{3}\)
B. \(\left| z \right| = \frac{1}{2}\)
C. \(\left| z \right| = \frac{3}{4}\)
D. \(\left| z \right| = 1\)
Ta có: \(z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{96}}.{{\left( {1 + i} \right)}^4}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^{96}}\left[ {1 - i{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^4}}}{{1 - i{{\left( {1 + i} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)}^2}}}{{1 - i\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)}}\)
\( = \frac{{4{i^2}}}{{1 - 2{i^2}}} = - \frac{4}{3} \Rightarrow \left| z \right| = \frac{4}{3}\)
Câu 14:
Cho \(z = x + iy;z' = x' + iy',\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. \(z \pm z' = \left( {x \pm x'} \right) + i\left( {y \pm y'} \right)\)
B. \(z.z' = x{\rm{x}}' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\)
C. \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i.\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\)
D. \(z + \bar z' = x + x' + i\left( { - y + y'} \right)\)
Với A:
\(z \pm z' = \left( {x + iy} \right) \pm \left( {x' + iy'} \right) = \left( {x \pm x'} \right) + \left( {y \pm y'} \right)i\) đây là mệnh đề đúng
Với B:
\(z.z' = \left( {x + yi} \right).\left( {x' + iy'} \right)\)\( = xx' + ixy' + ix'y + {i^2}yy'\)
\( = xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\) đây là mệnh đề đúng.
Với C ta có: \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{x + iy}}{{x' + iy'}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}{{\left( {x' + iy'} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}\)
\( = \frac{{xx' - ixy' + iyx' - {i^2}yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i.\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\)đây là mệnh đề đúng
Với D: \(z + \bar z' = x + x' + i\left( {y - y'} \right)\)
Vậy ta chọn D.
Câu 15:
Căn bậc 2 của \(3 + 4i\) có phần thực dương là?
A. \(3 + 5i\)
B. \(3 + 2i\)
C. \(2 + i\)
D. \(2 + 3i\)
Gọi số phức \(z = a + bi\) là căn bậc hai của số phức cần tìm.
Số phức z có phần thực dương thì \(a > 0\)
Ta có: \(3 + 4i = 4 + 4i - 1 = {\left( i \right)^2} + 4i + 4 = {\left( {2 + i} \right)^2}.\)
Câu 16:
Tìm môđun của số phức z thỏa mãn: \(\left( {3 - 2i} \right)\bar z - 4\left( {1 - i} \right) = \left( {2 + i} \right)z.\)
A. \(\left| z \right| = \sqrt 3 \)
B. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)
C. \(\left| z \right| = \sqrt {10} \)
D. \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
Đặt \(z = x + iy\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = x - iy\)
Vậy phương trình trở thành:
\(\left( {3 - 2i} \right).\left( {x - iy} \right) - 4\left( {1 - i} \right) = \left( {2 + i} \right).\left( {x + iy} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {3x - 2ix - 3iy + 2{i^2}y} \right) - 4 + 4i = 2x + 2iy + ix + {i^2}y\)
\( \Leftrightarrow 3x - 2x + 2{i^2}y - 4 - {i^2}y + \left( { - 2ix - 3iy + 4i - 2iy - ix} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - y - 4} \right) + i\left( { - 3x - 5y + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 4 = 0\\ - 3x - 5y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow z = 3 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\)
Câu 17:
Tính môđun của số phức z thỏa \(\left( {1 - 2i} \right)z - 3 + 2i = 5.\)
A. \(\left| z \right| = \frac{{2\sqrt {85} }}{5}.\)
B. \(\left| z \right| = \frac{{4\sqrt {85} }}{5}.\)
C. \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt {85} }}{5}.\)
D. \(\left| z \right| = \frac{{3\sqrt {85} }}{5}.\)
\(\left( {1 - 2i} \right)z - 3 + 2i = 5 \Leftrightarrow z = \frac{{8 - 2i}}{{1 - 2i}} = \frac{{12}}{5} + \frac{{14}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = \frac{{2\sqrt {85} }}{5}.\)
Câu 18:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để số phức \(z = \frac{{m + i}}{{m - i}}\) có phần thực dương.
A. \(m > 0.\)
B. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right..\)
C. \( - 1 < m < 1.\)
D. \(m > 1.\)
Ta có: \(z = \frac{{m + i}}{{m - i}} = \frac{{{{\left( {m + i} \right)}^2}}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}} + \frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}i\).
z có phần thực dương, suy ra \(\frac{{{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\).
Câu 19:
Cho số phức \(z = 3 + 2i\), số phức \(z - 2\bar z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(a + b < 4\)
B. a < 0
C. \(b - a = 3\)
D. \(a.b = 18\)
Ta có \(z - 2\bar z = a + bi \Rightarrow a + bi = 3 + 2i - 2\left( {3 - 2i} \right) = - 3 + 6i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow ab = - 18.\)
Câu 20:
Cho x,y là hai số thực thỏa mãn \(x + 5y + {\left( {2 - i} \right)^2}y = 3 + 4i\). Tính tổng \(T = x + y\).
A. \(T = 10\)
B. \(T = - 10\)
C. \(T = 11\) D. \(T = 17\)
\(\begin{array}{l}x + 5y + {\left( {2 - i} \right)^2}y = 3 + 4i \Leftrightarrow x + 5y + \left( {3 - 4i} \right)y = 3 + 4i \Leftrightarrow \left( {x + 8y} \right) - 4yi = 3 + 4i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 8y = 3\\ - 4y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow T = 10.\end{array}\)
Câu 21:
Cho số phức \(z = {\left( {3 + 2i} \right)^2}.\) Tìm phần ảo của số phức \(\overline z .\)
A. 5
B. \( - 12.\)
C. 12
D. \( - 5.\)
Ta có: \(z = {\left( {3 + 2i} \right)^2} = 5 + 12i \Rightarrow \overline z = 5 - 12i.\)
Câu 22
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = \frac{{2\left( {z + i} \right)}}{{i - 1}} - 2iz.\) Tính \(S = ab.\)
A. \(S = \frac{1}{9}.\)
B. \(S = \frac{1}{{27}}.\)
C. \(S = \frac{5}{9}.\)
D. \(S = \frac{5}{{27}}.\)
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Ta có: \(\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = \overline z = a - bi\) và \(\frac{2}{{i - 1}} = - 1 - i,\) khi đó giả thiết trở thành:
\(\overline z + \left( {1 + i} \right)\left( {z + i} \right) + 2iz = 0 \Leftrightarrow \overline z + \left( {3i + 1} \right)z = 1 - i \Leftrightarrow a - bi + \left( {3i + 1} \right)\left( {a + bi} \right) = 1 - i\)
\( \Leftrightarrow 2{\rm{a}} - 3b + 3{\rm{a}}i = 1 - i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} - 3b = 1\\3{\rm{a}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - \frac{1}{3} \Rightarrow b = - \frac{5}{9} \Rightarrow S = \frac{5}{{27}}.\)