Câu 1:
Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol)
A. 19m3
B. 21m3
C. 18m3
D. 40m3
Diện tích mặt cắt là diện tích phần gạch chéo như hình trên.
Parabol nằm trên có phương trình \(y = a{x^2} + \frac{5}{2}\)là do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 10}\\ {y = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow a = - \frac{1}{{40}} \Rightarrow y = \frac{{ - {x^2}}}{{40}} + \frac{5}{2}\)
Tương tự: Parabol nằm dưới có phương trình là \(y = \frac{{ - 8}}{{361}}{x^2} + 2\)
Khi đó: \(\int\limits_{ - 10}^{10} {\left( { - \frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{5}{2}} \right)} dx - \int\limits_{ - 9,5}^{9,5} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} dx = 8 \Rightarrow V = 8.5 = 40{m^3}\)
Câu 2:
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4x - {x^2}}\) và trục hoành.
A. \(V = \frac{{35\pi }}{3}\)
B. \(V = \frac{{31\pi }}{3}\)
C. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\)
D. \(V = \frac{{34\pi }}{3}\)
Câu 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2\) và đường thẳng y = 3x
A. \(1\)
B. \(\frac{1}{4}\)
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Câu 4:
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = (2 - x){e^{\frac{x}{2}}}\) và hai trục tọa độ.
A. \(V = 2{e^2} - 10\)
B. \(V = 2{e^2} + 10\)
C. \(V = \pi (2{e^2} - 10)\)
D. \(V = \pi \left( {2{e^2} + 10} \right)\)
Câu 5:
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}},\) trục \({\rm{Ox}}\) và đường thẳng x=1 khi quay quanh trục Ox là \(V = \pi (a + b\ln 2)\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Tính tích a.b.
A. \(a.b = 3.\)
B. \(a.b = \frac{{ - 4}}{3}.\)
C. \(a.b = \frac{4}{3}.\)
D. \(a.b = - 3.\)
Câu 6:
Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).Biết kinh phí để trồng hoa là 150000 đồng/1m2, kinh phí để trồng cỏ là 100000 đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
A. 6.060.000 đồng.
B. 5.790.000 đồng.
C. 3.270.000 đồng
D. 3.000.000 đồng.
Câu 7:
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t,\) với t (giờ) là khoảng thời gian tính từ lúc cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quảng đường cá bơi được trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi đó vào một dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2km/h Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.
A. \(8km.\)
B. \(30km.\)
C. \(20km.\)
D. \(10km.\)
Câu 8:
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của một hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{x - 1}}{x},y = \frac{1}{x},x = 1.\)
A. \(\pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\)
B. \(\pi \left( {1 - 2\ln 2} \right)\)
C. 0
D. \( - \pi \)
Câu 9:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f\left( x \right),\)trục hoành, các đường thẳng \(x = a,x = b\) là:
A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) {f\left( x \right)} dx\)
B. \( - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
C. \(\int\limits_b^a {f\left( x \right)} dx\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường cong \(y = f\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx.\)
Câu 10:
Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá \(1{m^2}\) của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Ông An phải trả baonhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 6.320.000 đồng
B. 6.620.000 đồng
C. 6.520.000 đồng
D. 6.417.000 đồng
Diện tích hình chữ nhật là \({S_1} = AB.BC = 5.1,5 = 7,5\) \(\left( {{m^2}} \right)\)
Gọi đường cong parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + C\)
Đường cong có đỉnh \(I\left( {0;2} \right)\) suy ra: \(b = 0,c = 2 \Rightarrow y = a{x^2} + 2\)
Đường cong đi qua điểm: \(C\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{3}} \right) \Rightarrow a = - \frac{2}{{25}} \Rightarrow y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)
Phần diện tích tạo bởi parabol và đường thẳng \(y = 1,5\) là: \({S_2} = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left( {\frac{{ - 2}}{{25}}{x^2} + 0,5} \right)dx = \frac{5}{3}} \)
\( \Rightarrow S = {S_1} + {S_2} = \frac{{55}}{6} \Rightarrow T = \frac{{55}}{6}.700000 \approx 6417000\) đồng
Câu 11:
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},y = 2 - {x^2},x = 0.\)
A. \( - \frac{{17}}{{12}}\)
B. \(\frac{{12}}{{17}}\)
C. 0
D. \(\frac{{17}}{{12}}\)
Câu 12:
Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao \(B{\rm{D}} = 6m,\) chiều dài \(C{\rm{D}} = 12m\) (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có \(MN = 4m,\) cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/m2. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?
A. 20.400.000 đồng.
B. 20.600.000 đồng.
C. 20.800.000 đồng.
D. 21.200.000 đồng.
Câu 13:
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},y = 0,x = 1,x = 5.\) Đường thẳng \(x = k\,\,\,\left( {1 < k < 5} \right)\) chia (H) thành hai phần là \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}.\) Xác định k để \({V_1} = 2{V_2}.\)
A. \(k = \frac{5}{3}.\)
B. \(k = \frac{{15}}{7}.\)
C. \(k = \ln 5.\)
D. \(k = \sqrt[3]{{25}}.\)
Câu 14:
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,y = x,y = 0\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?
A. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx + } \pi \int\limits_1^2 {{x^2}dx} \)
B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx} \)
C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {xdx + } \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} dx} \)
D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx + } \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)dx} \)
Câu 15:
Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng là \(y = 25\). Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng \(\frac{9}{2}\)
A. \(OM = 2\sqrt 5 \)
B. \(OM = 3\sqrt {10} \)
C. \(OM = 15\)
D. \(OM = 10\)
Câu 16:
Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.
A. \(15\pi c{m^3}\)
B. \(60\pi c{m^3}\)
C. \(60c{m^3}\)
D. \(70c{m^3}\)
Câu 17:
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\) và \(y = 3\)
A. .\(S = \frac{3}{4}\).
B. \(S = \frac{4}{3}\).
C. \(S = \frac{{14}}{3}\).
D. \(S = 6\).
Câu 18:
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 (m/s) thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \( - a\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết ô tô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {3;4} \right)\)
B. \(\left( {4;5} \right)\)
C. \(\left( {5;6} \right)\)
D. \(\left( {6;7} \right)\)
Câu 19:
Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu \({h_1} = 280\,\,\,cm\). Giả sử \(h(t)\,\,cm\) là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm \(t\) giây, bết rằng tốc độ tăng của chiều cao nước tại giây thứ \(t\) là \(h'(t) = \frac{1}{{500}}\sqrt[3]{{t + 3}}\) . Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được \(\frac{3}{4}\) độ sâu của hồ bơi?
A. \(7545,2\,s\).
B. \(7234,8\,s\).
C. \(7200,7\,s\).
D. \(7560,5\,s\).
Câu 20:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|,\)\(x = - 1.\).
A. \(S = \frac{{107}}{6}.\)
B. \(S = \frac{{109}}{6}.\)
C. \(S = \frac{{109}}{7}.\)
D. \(S = \frac{{109}}{8}.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
\(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = x + 3\\{x^2} - 4x + 3 = - \left( {x + 3} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| \le x + 3,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).
Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_0^5 {\left( {x + 3 - \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \int\limits_0^1 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {x + 3 + {x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} } \)
\( = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x + 6} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} } \)
\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^5 = \frac{{109}}{6}.\)
Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol)
A. 19m3
B. 21m3
C. 18m3
D. 40m3
Diện tích mặt cắt là diện tích phần gạch chéo như hình trên.
Parabol nằm trên có phương trình \(y = a{x^2} + \frac{5}{2}\)là do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 10}\\ {y = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow a = - \frac{1}{{40}} \Rightarrow y = \frac{{ - {x^2}}}{{40}} + \frac{5}{2}\)
Tương tự: Parabol nằm dưới có phương trình là \(y = \frac{{ - 8}}{{361}}{x^2} + 2\)
Khi đó: \(\int\limits_{ - 10}^{10} {\left( { - \frac{{{x^2}}}{{40}} + \frac{5}{2}} \right)} dx - \int\limits_{ - 9,5}^{9,5} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} dx = 8 \Rightarrow V = 8.5 = 40{m^3}\)
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4x - {x^2}}\) và trục hoành.
A. \(V = \frac{{35\pi }}{3}\)
B. \(V = \frac{{31\pi }}{3}\)
C. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\)
D. \(V = \frac{{34\pi }}{3}\)
Phương trình hoành độ giao điểm là \(\sqrt {4x - {x^2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 4} \end{array}} \right.\)
Ta có \(x \in (0;4) \Rightarrow \sqrt {4x - {x^2}} > 0\)
Suy ra thể tích cần tính bằng \(S = \pi {\int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {4x - {x^2}} } \right)} ^2}dx = \pi \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32\pi }}{3}\)
Ta có \(x \in (0;4) \Rightarrow \sqrt {4x - {x^2}} > 0\)
Suy ra thể tích cần tính bằng \(S = \pi {\int\limits_0^4 {\left( {\sqrt {4x - {x^2}} } \right)} ^2}dx = \pi \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32\pi }}{3}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2\) và đường thẳng y = 3x
A. \(1\)
B. \(\frac{1}{4}\)
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} + 2 = 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} + 2 - 3x} \right|dx} = \int_1^2 {(3x - {x^2} - 2)dx} \\
= \frac{{3{x^2}}}{2} - \left. {\frac{{{x^3}}}{3} - 2x} \right|_1^2 = \frac{{ - 2}}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.
\end{array}\).
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} + 2 - 3x} \right|dx} = \int_1^2 {(3x - {x^2} - 2)dx} \\
= \frac{{3{x^2}}}{2} - \left. {\frac{{{x^3}}}{3} - 2x} \right|_1^2 = \frac{{ - 2}}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.
\end{array}\).
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = (2 - x){e^{\frac{x}{2}}}\) và hai trục tọa độ.
A. \(V = 2{e^2} - 10\)
B. \(V = 2{e^2} + 10\)
C. \(V = \pi (2{e^2} - 10)\)
D. \(V = \pi \left( {2{e^2} + 10} \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành:
\((2 - x){e^{\frac{x}{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int_0^2 {{{[(2 - x){e^{\frac{x}{2}}}]}^2}} = \pi \int_0^2 {{{(2 - x)}^2}{e^x}dx} = \pi (2{e^2} - 10).\)
\((2 - x){e^{\frac{x}{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int_0^2 {{{[(2 - x){e^{\frac{x}{2}}}]}^2}} = \pi \int_0^2 {{{(2 - x)}^2}{e^x}dx} = \pi (2{e^2} - 10).\)
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x}}{{x + 1}},\) trục \({\rm{Ox}}\) và đường thẳng x=1 khi quay quanh trục Ox là \(V = \pi (a + b\ln 2)\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Tính tích a.b.
A. \(a.b = 3.\)
B. \(a.b = \frac{{ - 4}}{3}.\)
C. \(a.b = \frac{4}{3}.\)
D. \(a.b = - 3.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{ - x}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có:
\( V = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 \)
\( = \left( {\frac{3}{2} - 2\ln 2} \right)\pi \)
Do đó \(a.b = - 3.\)
Ta có:
\( V = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 \)
\( = \left( {\frac{3}{2} - 2\ln 2} \right)\pi \)
Do đó \(a.b = - 3.\)
Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).Biết kinh phí để trồng hoa là 150000 đồng/1m2, kinh phí để trồng cỏ là 100000 đồng/1m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
A. 6.060.000 đồng.
B. 5.790.000 đồng.
C. 3.270.000 đồng
D. 3.000.000 đồng.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ \(O(0;0);A( - 2;2);B(2;2)\)
Khi đó phương trình Parabol phía trên có dạng là: \((P):y = a{x^2}\) trong đó \(B(2;2) \in (P) \Rightarrow a = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \((P):y = \frac{{{x^2}}}{2}.\)
Phương trình cung tròn nằm trên phía trục Ox là \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} = \sqrt {O{A^2} - {x^2}} = \sqrt {{8^2} - {x^2}} \)
Khi đó \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} dx\)
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = \pi O{A^2} = 8\pi \)
Ta có: \(T = 150.2{S_1} + 100.(S - 2{S_1})\)
\(T = 150.2{S_1} + 100.(S - 2{S_1}) \approx 3.270\) (nghìn đồng).
Khi đó phương trình Parabol phía trên có dạng là: \((P):y = a{x^2}\) trong đó \(B(2;2) \in (P) \Rightarrow a = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \((P):y = \frac{{{x^2}}}{2}.\)
Phương trình cung tròn nằm trên phía trục Ox là \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} = \sqrt {O{A^2} - {x^2}} = \sqrt {{8^2} - {x^2}} \)
Khi đó \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} dx\)
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = \pi O{A^2} = 8\pi \)
Ta có: \(T = 150.2{S_1} + 100.(S - 2{S_1})\)
\(T = 150.2{S_1} + 100.(S - 2{S_1}) \approx 3.270\) (nghìn đồng).
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t,\) với t (giờ) là khoảng thời gian tính từ lúc cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quảng đường cá bơi được trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi đó vào một dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2km/h Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.
A. \(8km.\)
B. \(30km.\)
C. \(20km.\)
D. \(10km.\)
Ta có \(v = s'(t) = 4 - \frac{t}{5} \Rightarrow \) vận tốc của cá bơi ngược dòng là \(v(t) = 4 - \frac{t}{5} = 2 - \frac{t}{5}.\)
Quãng đường xa nhất mà cá bơi ngược dòng là \(S = \int\limits_0^{10} {v(t)} dt = \int\limits_0^{10} {\left( {2 - \frac{t}{5}} \right)} dt = 10km.\)
Quãng đường xa nhất mà cá bơi ngược dòng là \(S = \int\limits_0^{10} {v(t)} dt = \int\limits_0^{10} {\left( {2 - \frac{t}{5}} \right)} dt = 10km.\)
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của một hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{x - 1}}{x},y = \frac{1}{x},x = 1.\)
A. \(\pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\)
B. \(\pi \left( {1 - 2\ln 2} \right)\)
C. 0
D. \( - \pi \)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{x}\) và \(y = \frac{1}{x}:\) \(\frac{{x - 1}}{x} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 2\) .
Thể tích vật thể \(V = \pi \int\limits_1^2 {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|} dx = \pi \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}} \right|} dx\)
\( = \pi \int\limits_1^2 {\left| {\left( {\frac{{x - 2}}{x}} \right)} \right|} dx = \pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\)
Thể tích vật thể \(V = \pi \int\limits_1^2 {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|} dx = \pi \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}} \right|} dx\)
\( = \pi \int\limits_1^2 {\left| {\left( {\frac{{x - 2}}{x}} \right)} \right|} dx = \pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f\left( x \right),\)trục hoành, các đường thẳng \(x = a,x = b\) là:
A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) {f\left( x \right)} dx\)
B. \( - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
C. \(\int\limits_b^a {f\left( x \right)} dx\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường cong \(y = f\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx.\)
Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá \(1{m^2}\) của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Ông An phải trả baonhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 6.320.000 đồng
B. 6.620.000 đồng
C. 6.520.000 đồng
D. 6.417.000 đồng
Diện tích hình chữ nhật là \({S_1} = AB.BC = 5.1,5 = 7,5\) \(\left( {{m^2}} \right)\)
Gọi đường cong parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + C\)
Đường cong có đỉnh \(I\left( {0;2} \right)\) suy ra: \(b = 0,c = 2 \Rightarrow y = a{x^2} + 2\)
Đường cong đi qua điểm: \(C\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{3}} \right) \Rightarrow a = - \frac{2}{{25}} \Rightarrow y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)
Phần diện tích tạo bởi parabol và đường thẳng \(y = 1,5\) là: \({S_2} = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left( {\frac{{ - 2}}{{25}}{x^2} + 0,5} \right)dx = \frac{5}{3}} \)
\( \Rightarrow S = {S_1} + {S_2} = \frac{{55}}{6} \Rightarrow T = \frac{{55}}{6}.700000 \approx 6417000\) đồng
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},y = 2 - {x^2},x = 0.\)
A. \( - \frac{{17}}{{12}}\)
B. \(\frac{{12}}{{17}}\)
C. 0
D. \(\frac{{17}}{{12}}\)
Ta có \({x^3} = 2 - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
\( \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^3} - {x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{17}}{{12}}.\)
\( \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^3} - {x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{17}}{{12}}.\)
Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao \(B{\rm{D}} = 6m,\) chiều dài \(C{\rm{D}} = 12m\) (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có \(MN = 4m,\) cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/m2. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?
A. 20.400.000 đồng.
B. 20.600.000 đồng.
C. 20.800.000 đồng.
D. 21.200.000 đồng.
Gọi O là trung điểm của MN và trùng với gốc tọa độ \( \Rightarrow M\left( { - 2;0} \right),\,\,N\left( {2;0} \right).\)
Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)
Tọa độ đỉnh Parabol: \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
Parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 6\\36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{1}{6}\\c = 6\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) là \(\left( P \right):y = 6 - \frac{1}{6}{x^2}.\)
Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right) = 6 - \frac{1}{6}{x^2}\) và \(x = - 2,\,\,x = 2.\)
Khi đó: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right)dx} = \left. {\left( {6x - \frac{{{x^3}}}{{18}}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{208}}{9}\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
Vậy số tiền công ty X cần có để làm bức tranh là: \(T = \frac{{208}}{9} \times 900.000 = 20.800.000\) đồng.
Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)
Tọa độ đỉnh Parabol: \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
Parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 6\\36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{1}{6}\\c = 6\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) là \(\left( P \right):y = 6 - \frac{1}{6}{x^2}.\)
Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right) = 6 - \frac{1}{6}{x^2}\) và \(x = - 2,\,\,x = 2.\)
Khi đó: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right)dx} = \left. {\left( {6x - \frac{{{x^3}}}{{18}}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{208}}{9}\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
Vậy số tiền công ty X cần có để làm bức tranh là: \(T = \frac{{208}}{9} \times 900.000 = 20.800.000\) đồng.
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},y = 0,x = 1,x = 5.\) Đường thẳng \(x = k\,\,\,\left( {1 < k < 5} \right)\) chia (H) thành hai phần là \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}.\) Xác định k để \({V_1} = 2{V_2}.\)
A. \(k = \frac{5}{3}.\)
B. \(k = \frac{{15}}{7}.\)
C. \(k = \ln 5.\)
D. \(k = \sqrt[3]{{25}}.\)
\(\begin{array}{l}{V_1} = \pi \int\limits_1^k {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^k = \pi \left( {1 - \frac{1}{k}} \right)\\{V_2} = \pi \int\limits_k^5 {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_k^5 = \pi \left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{5}} \right)\\{V_1} = 2{V_2} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{k} = \frac{2}{k} - \frac{2}{5} \Leftrightarrow k = \frac{{15}}{7}.\end{array}\)
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,y = x,y = 0\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây?
A. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx + } \pi \int\limits_1^2 {{x^2}dx} \)
B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {2 - x} \right)dx} \)
C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {xdx + } \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} dx} \)
D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx + } \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)dx} \)
Kí hiệu \({H_1}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x,y = 0,x = 1\)
Kí hiệu \({H_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,y = 0,x = 2\)
Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích \({V_1}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_1}} \right)\) xung quanh trục Ox cộng với thể tích \({V_2}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_2}} \right)\) xung quanh trục Ox.
Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx \Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx} .\)
Kí hiệu \({H_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,y = 0,x = 2\)
Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích \({V_1}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_1}} \right)\) xung quanh trục Ox cộng với thể tích \({V_2}\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( {{H_2}} \right)\) xung quanh trục Ox.
Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx \Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx} .\)
Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng là \(y = 25\). Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng \(\frac{9}{2}\)
A. \(OM = 2\sqrt 5 \)
B. \(OM = 3\sqrt {10} \)
C. \(OM = 15\)
D. \(OM = 10\)
Giả sử \(M\left( {a;{a^2}} \right)\) suy ra phương trình \(OM:y = ax\)
Khi đó diện tích khu vườn là \(S = \int\limits_0^a {\left( {ax - {x^2}} \right)} dx = \left( {a\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a\\0\end{array}} \right. = \frac{{{a^3}}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3\)
Khi đó \(OM = 3\sqrt {10} .\)
Khi đó diện tích khu vườn là \(S = \int\limits_0^a {\left( {ax - {x^2}} \right)} dx = \left( {a\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a\\0\end{array}} \right. = \frac{{{a^3}}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3\)
Khi đó \(OM = 3\sqrt {10} .\)
Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.
A. \(15\pi c{m^3}\)
B. \(60\pi c{m^3}\)
C. \(60c{m^3}\)
D. \(70c{m^3}\)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi S(x) là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x.
Như hình vẽ ta thấy thiết liện này là tam giá vuông ABC.
Mặt khác:
\(\begin{array}{l}AB = BC.\tan \alpha = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right).\tan \alpha \\ \Rightarrow V = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2}).\frac{h}{R}dx = } \frac{1}{2}.\frac{{10}}{3}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2})dx = 60\,(c{m^3}).} \end{array}\)
Gọi S(x) là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x.
Như hình vẽ ta thấy thiết liện này là tam giá vuông ABC.
Mặt khác:
\(\begin{array}{l}AB = BC.\tan \alpha = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right).\tan \alpha \\ \Rightarrow V = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2}).\frac{h}{R}dx = } \frac{1}{2}.\frac{{10}}{3}\int\limits_{ - 3}^3 {({3^2} - {x^2})dx = 60\,(c{m^3}).} \end{array}\)
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\) và \(y = 3\)
A. .\(S = \frac{3}{4}\).
B. \(S = \frac{4}{3}\).
C. \(S = \frac{{14}}{3}\).
D. \(S = 6\).
Ta có \({x^2} - 2x + 3 = 3 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) .
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\) và \(y = 3:[/B]\)
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( { - 2x + {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{4}{3}.\)
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\) và \(y = 3:[/B]\)
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\left( { - 2x + {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{4}{3}.\)
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 (m/s) thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \( - a\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết ô tô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {3;4} \right)\)
B. \(\left( {4;5} \right)\)
C. \(\left( {5;6} \right)\)
D. \(\left( {6;7} \right)\)
Ta có \(v\left( t \right) = 15 - a.t\left( {m/s} \right) \Rightarrow v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 15 - a.t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{15}}{a}\left( s \right)\)
Ô tô đi được thêm được 20m, suy ra \(\int\limits_0^{\frac{a}{{15}}} {v\left( t \right)dt = 20 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - a.t} \right)} dt = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{1}{2}a.{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{15}}{a}}\\0\end{array}} \right.} = 20\) \( \Leftrightarrow 15\frac{{15}}{a} - \frac{1}{2}a.\frac{{{{15}^2}}}{{{a^2}}} = 20\) \( \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow a = 5,625\left( {m/{s^2}} \right) \Rightarrow a \in \left( {5;6} \right).\)
Ô tô đi được thêm được 20m, suy ra \(\int\limits_0^{\frac{a}{{15}}} {v\left( t \right)dt = 20 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - a.t} \right)} dt = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{1}{2}a.{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{15}}{a}}\\0\end{array}} \right.} = 20\) \( \Leftrightarrow 15\frac{{15}}{a} - \frac{1}{2}a.\frac{{{{15}^2}}}{{{a^2}}} = 20\) \( \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow a = 5,625\left( {m/{s^2}} \right) \Rightarrow a \in \left( {5;6} \right).\)
Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu \({h_1} = 280\,\,\,cm\). Giả sử \(h(t)\,\,cm\) là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm \(t\) giây, bết rằng tốc độ tăng của chiều cao nước tại giây thứ \(t\) là \(h'(t) = \frac{1}{{500}}\sqrt[3]{{t + 3}}\) . Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được \(\frac{3}{4}\) độ sâu của hồ bơi?
A. \(7545,2\,s\).
B. \(7234,8\,s\).
C. \(7200,7\,s\).
D. \(7560,5\,s\).
Sau m giây mức nước của bể là:
\(h(m)=\int_{0}^{m}h'(t)dt=\int_{0}^{m}\frac{1}{500}\sqrt[3]{t+3}dt =\frac{3\sqrt[3]{(t+3)^4}}{2000}\bigg|^m_0=\frac{3}{2000} \left [ \sqrt[3]{(m+3)^4}-3\sqrt[3]{3} \right ]\)
Yêu cầu bài toán, ta có: \(\frac{3}{2000}\left [ \sqrt[3]{(m+3)^4}-3\sqrt[3]{3} \right ]=\frac{3}{4}.280\)
Suy ra: \(\sqrt[3]{(m+3)^4}=140000+3\sqrt[3]{3} \Leftrightarrow \sqrt[4]{(140000+3\sqrt[3]{3})}-3=7234,8\)
\(h(m)=\int_{0}^{m}h'(t)dt=\int_{0}^{m}\frac{1}{500}\sqrt[3]{t+3}dt =\frac{3\sqrt[3]{(t+3)^4}}{2000}\bigg|^m_0=\frac{3}{2000} \left [ \sqrt[3]{(m+3)^4}-3\sqrt[3]{3} \right ]\)
Yêu cầu bài toán, ta có: \(\frac{3}{2000}\left [ \sqrt[3]{(m+3)^4}-3\sqrt[3]{3} \right ]=\frac{3}{4}.280\)
Suy ra: \(\sqrt[3]{(m+3)^4}=140000+3\sqrt[3]{3} \Leftrightarrow \sqrt[4]{(140000+3\sqrt[3]{3})}-3=7234,8\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|,\)\(x = - 1.\).
A. \(S = \frac{{107}}{6}.\)
B. \(S = \frac{{109}}{6}.\)
C. \(S = \frac{{109}}{7}.\)
D. \(S = \frac{{109}}{8}.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
\(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = x + 3\\{x^2} - 4x + 3 = - \left( {x + 3} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| \le x + 3,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).
Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_0^5 {\left( {x + 3 - \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \int\limits_0^1 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {x + 3 + {x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} } \)
\( = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x + 6} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} } \)
\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^5 = \frac{{109}}{6}.\)