Câu 1:
Cho \(z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}}.\) Tìm phần thực và phần ảo của số phức \({z^{2017}}.\)
A. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 0
B. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng -1
C. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng \(-i\)
D. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng -1
Câu 2:
Số phức z thỏa mãn \({\left( {1 + 2i} \right)^2}z + \bar z = 4i - 20.\) Tìm môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = 4\)
C. \(\left| z \right| = 5\)
D. \(\left| z \right| = 6\)
Câu 3:
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(w = {z^2} + iz.\)
A. Phần thực là -2 và phần ảo là 2.
B. Phần thực là -2 và phần ảo là -10
C. Phần thực là 2 và phần ảo là 10.
D.Phần thực là 2 và phần ảo là -2
Câu 4:
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z\left( {5 - i} \right) = 5 + \sqrt 2 + \left( {5\sqrt 2 - 1} \right)i\)
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt{3}\)
C. \(\left| z \right| = 2\)
D. \(\left| z \right| = 4\)
Câu 5:
Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\) thỏa mãn \left( {1 + 2i} \right)z + 2\bar z = 14 + 5i. Tính P = {a^2} + b.
A. 1
B. 3
C. -1
D. -2
Câu 6:
Cho hai số phức \({z_1} = 1 - 2i,{\rm{ }}{z_2} = 3 + i.\) Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z=z_1z_2\)
A. Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là-5i
B. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i
C. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i
D. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i
Câu 7:
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \frac{{2 - i}}{{1 + 2i}}.\)
A. \(\bar z = 1\)
B. \(\bar z = i\)
C. \(\bar z =- i\)
D. \(\bar z =1+ i\)
Câu 8:
Cho số phức \(z = 1 - 3i.\) Tính môđun của số phức \(w = \overline z + {z^2}.\)
A. \(\left| w \right| = \sqrt {202}\)
B. \(\left| w \right| = \sqrt {130}\)
C. \(\left| w \right| = \sqrt {58}\)
D. \(\left| w \right| = 7\)
Câu 9:
Cho hai số phức \(z=-2+5i\) và \(z'=a+bi(a,b\in \mathbb{R})\). Xác định a,b để z + z' là một số thuần ảo.
A. \(a=2;b=-5\)
B. \(a\neq 2;b=-5\)
C. \(a\neq 2;b\neq -5\)
D. \(a= 2;b\neq -5\)
Câu 10:
Cho số phức z = a + bi khác 0 \((a,b\in \mathbb{R})\). Tìm phần ảo của số phức \(z^{-1}\).
A. \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
B. \(\frac{{a - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
C. b
D. \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Câu 11:
Tính \(a + b\) biết rằng a, b là các số thực thỏa mãn \(a + bi = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^{2017}}.\)
A. \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{672}}\)
B. \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{671}}\)
C. \(a + b = \left( {\sqrt 3 - 1} \right){.8^{672}}\)
D. \(a + b = \left( {\sqrt 3 - 1} \right){.8^{671}}\)
Câu 12:
Cho số phức z=x+yi. Tìm phần ảo của số phức \frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}}.
A. \(\frac{{ - 2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
B. \(\frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
C. \(\frac{{{y^2} + {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
D. \(\frac{{{y^2} + {x^2} + 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
Câu 13:
Cho số phức z thỏa mãn \(2z = i(\overline z + 3).\) Tính môđun của z.
A. \(\left| z \right| = \sqrt 5\)
B. \(\left| z \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{4}\)
C. \(\left| z \right| = 5\)
D. \(\left| z \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\)
Câu 14:
Cho số phức \(z = 1 + \sqrt 3 i.\) Tìm số phức \(\frac{1}{z}\).
A. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
B. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
C. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
D. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Câu 15:
Cho số phức thỏa mãn 3iz + 3 + 4i = 4z. Tính môđun của số phức {\rm{w}} = 3z + 4.
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 25\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = 1\)
Câu 16:
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = 32\)
B. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = - 32\)
C. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = 32i\)
D. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = - 32i\)
Câu 17:
Cho số phức \(z = a + bi.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(z + \overline z = 2bi\)
B. \(z - \overline z = 2a\)
C. \(z.\overline z = {a^2} - {b^2}\)
D. \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\)
Câu 18:
Cho số phức \(z=a+bi\). Tìm phần thực của số phức \(z^{-1}.\)
A. \(a + b\)
B. \(a - b\)
C. \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}\)
D. \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Câu 19:
Cho số phức \(z = 1 + 3i.\) Tìm phần thực của số phức \(z^2.\)
A. -8
B. 10
C. 8+6i
D. -8+6i
Câu 20:
Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn z + 2(z + \overline z ) = 2 - 6i.
A. \(-6\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(-1\)
D. \(\frac{3}{4}\)
Cho \(z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}}.\) Tìm phần thực và phần ảo của số phức \({z^{2017}}.\)
A. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 0
B. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng -1
C. Phần thực bằng 0 và phần ảo bằng \(-i\)
D. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng -1
Ta có: \(z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{{{(1 - i)}^2}}}{{1 + i}} = - i\)
Suy ra \({z^{2017}} = {( - i)^{2017}} = {( - i)^{504.4 + 1}} = - i.\)
Suy ra \({z^{2017}} = {( - i)^{2017}} = {( - i)^{504.4 + 1}} = - i.\)
Số phức z thỏa mãn \({\left( {1 + 2i} \right)^2}z + \bar z = 4i - 20.\) Tìm môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = 4\)
C. \(\left| z \right| = 5\)
D. \(\left| z \right| = 6\)
Gọi \(z = a = bi\left( {a,b \in } \right) \Rightarrow \bar z = a - bi\)
\({\left( {1 + 2i} \right)^2}z + \bar z = 4i - 20 \Leftrightarrow \left( {1 + 4i + 4{i^2}} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {a - bi} \right) = 4i - 20\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( { - 3 + 4i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {a - bi} \right) = 4i - 20\\ \Leftrightarrow - 3a - 3bi + 4ai + 4b{i^2} + a - bi = - 20 + 4i \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b = - 20\\ 4a - 4b = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\)
\({\left( {1 + 2i} \right)^2}z + \bar z = 4i - 20 \Leftrightarrow \left( {1 + 4i + 4{i^2}} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {a - bi} \right) = 4i - 20\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( { - 3 + 4i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {a - bi} \right) = 4i - 20\\ \Leftrightarrow - 3a - 3bi + 4ai + 4b{i^2} + a - bi = - 20 + 4i \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b = - 20\\ 4a - 4b = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\)
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(w = {z^2} + iz.\)
A. Phần thực là -2 và phần ảo là 2.
B. Phần thực là -2 và phần ảo là -10
C. Phần thực là 2 và phần ảo là 10.
D.Phần thực là 2 và phần ảo là -2
Ta có điểm M biểu diễn
\(z = - 2 + 2i \Rightarrow w = {\left( { - 2 + 2i} \right)^2} + i\left( { - 2 + 2i} \right) = - 8i - 2i - 2 = - 2 - 10i\)
\(z = - 2 + 2i \Rightarrow w = {\left( { - 2 + 2i} \right)^2} + i\left( { - 2 + 2i} \right) = - 8i - 2i - 2 = - 2 - 10i\)
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z\left( {5 - i} \right) = 5 + \sqrt 2 + \left( {5\sqrt 2 - 1} \right)i\)
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt{3}\)
C. \(\left| z \right| = 2\)
D. \(\left| z \right| = 4\)
Ta có
\(z\left( {5 - i} \right) = 5 + \sqrt 2 + \left( {5\sqrt 2 - 1} \right)i \Rightarrow z = \frac{{5 + \sqrt 2 + \left( {5\sqrt 2 - 1} \right)i}}{{5 - i}}\)
\(= 1 + i\sqrt 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 3\)
\(z\left( {5 - i} \right) = 5 + \sqrt 2 + \left( {5\sqrt 2 - 1} \right)i \Rightarrow z = \frac{{5 + \sqrt 2 + \left( {5\sqrt 2 - 1} \right)i}}{{5 - i}}\)
\(= 1 + i\sqrt 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 3\)
Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\) thỏa mãn \left( {1 + 2i} \right)z + 2\bar z = 14 + 5i. Tính P = {a^2} + b.
A. 1
B. 3
C. -1
D. -2
Đặt \(z = a + bi\,\left( {a,b \in } \right) \Rightarrow \bar z = a - bi\) ta có:
\(\left( {1 + 2i} \right)z + 2\bar z = 14 + 5i \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 14 + 5i\)
\(\Leftrightarrow a + bi + 2ai - 2b + 2a - 2bi = 14 + 5i \Leftrightarrow 3a - 2b - 14 + \left( {2a - b - 5} \right)i = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 2b = 14\\ 2a - b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 14\\ b = - 13 \end{array} \right.\)
Khi đó \(P = {a^3} + b = 16 - 13 = 3\)
\(\left( {1 + 2i} \right)z + 2\bar z = 14 + 5i \Leftrightarrow \left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 14 + 5i\)
\(\Leftrightarrow a + bi + 2ai - 2b + 2a - 2bi = 14 + 5i \Leftrightarrow 3a - 2b - 14 + \left( {2a - b - 5} \right)i = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 2b = 14\\ 2a - b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 14\\ b = - 13 \end{array} \right.\)
Khi đó \(P = {a^3} + b = 16 - 13 = 3\)
Cho hai số phức \({z_1} = 1 - 2i,{\rm{ }}{z_2} = 3 + i.\) Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z=z_1z_2\)
A. Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là-5i
B. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i
C. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i
D. Số phức z có phần thực là 5, phần ảo là -5i
\({z_1}{z_2} = \left( {1 - 2i} \right)\left( {3 + i} \right) = 5 - 5i\)
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \frac{{2 - i}}{{1 + 2i}}.\)
A. \(\bar z = 1\)
B. \(\bar z = i\)
C. \(\bar z =- i\)
D. \(\bar z =1+ i\)
\(z = \frac{{2 - i}}{{1 + 2i}} = - i \Rightarrow \overline z = i.\)
Cho số phức \(z = 1 - 3i.\) Tính môđun của số phức \(w = \overline z + {z^2}.\)
A. \(\left| w \right| = \sqrt {202}\)
B. \(\left| w \right| = \sqrt {130}\)
C. \(\left| w \right| = \sqrt {58}\)
D. \(\left| w \right| = 7\)
\(\overline z = 1 + 3i \Rightarrow w = \left( {1 + 3i} \right) + {\left( {1 - 3i} \right)^2} = - 7 - 3i\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {58} .\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {58} .\)
Cho hai số phức \(z=-2+5i\) và \(z'=a+bi(a,b\in \mathbb{R})\). Xác định a,b để z + z' là một số thuần ảo.
A. \(a=2;b=-5\)
B. \(a\neq 2;b=-5\)
C. \(a\neq 2;b\neq -5\)
D. \(a= 2;b\neq -5\)
Ta có \(z + z' = \left( { - 2 + a} \right) + \left( {5 + b} \right)i\) để z + z' là một số thuần ảo thì:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - 2 = 0}\\ {5 + b \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b \ne - 5} \end{array}} \right.} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - 2 = 0}\\ {5 + b \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b \ne - 5} \end{array}} \right.} \right.\)
Cho số phức z = a + bi khác 0 \((a,b\in \mathbb{R})\). Tìm phần ảo của số phức \(z^{-1}\).
A. \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
B. \(\frac{{a - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
C. b
D. \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Ta có: \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{\left( {a + bi} \right) \left( {a - bi} \right)}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Do đó phần ảo của số phức: \(z^{-1}\) là \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)
Do đó phần ảo của số phức: \(z^{-1}\) là \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}.\)
Tính \(a + b\) biết rằng a, b là các số thực thỏa mãn \(a + bi = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^{2017}}.\)
A. \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{672}}\)
B. \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{671}}\)
C. \(a + b = \left( {\sqrt 3 - 1} \right){.8^{672}}\)
D. \(a + b = \left( {\sqrt 3 - 1} \right){.8^{671}}\)
Ta có: \({\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^3} = - 8\)và \(2017 = 3.672 + 1\) suy ra: \(a + b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right){.8^{672}}.\)
Cho số phức z=x+yi. Tìm phần ảo của số phức \frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}}.
A. \(\frac{{ - 2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
B. \(\frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
C. \(\frac{{{y^2} + {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
D. \(\frac{{{y^2} + {x^2} + 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
Ta có:
\(z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow w = \frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}} = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{i\left( {x + yi} \right) - 1}}\)
\(\Rightarrow w = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{ - y - 1 + xi}} = \frac{{\left[ {x + \left( {1 - y} \right)i} \right]\left( {y + 1 + xi} \right)}}{{{{\left( {xi} \right)}^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{x\left( {y + 1} \right) - x\left( {1 - y} \right) + \left( {{x^2} - {y^2} + 1} \right)i}}{{ - {x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}i\)
\(z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow w = \frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}} = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{i\left( {x + yi} \right) - 1}}\)
\(\Rightarrow w = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{ - y - 1 + xi}} = \frac{{\left[ {x + \left( {1 - y} \right)i} \right]\left( {y + 1 + xi} \right)}}{{{{\left( {xi} \right)}^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{x\left( {y + 1} \right) - x\left( {1 - y} \right) + \left( {{x^2} - {y^2} + 1} \right)i}}{{ - {x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}i\)
Cho số phức z thỏa mãn \(2z = i(\overline z + 3).\) Tính môđun của z.
A. \(\left| z \right| = \sqrt 5\)
B. \(\left| z \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{4}\)
C. \(\left| z \right| = 5\)
D. \(\left| z \right| = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\)
Gọi \(z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} 2z = i(\overline z + 3)\\ \Leftrightarrow 2(x + yi) = i(x - yi + 3)\\ \Leftrightarrow 2x + 2yi = ix + y + 3i\\ \Leftrightarrow 2x - y + (2y - x)i = 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 0\\ 2y - x = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy: \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} 2z = i(\overline z + 3)\\ \Leftrightarrow 2(x + yi) = i(x - yi + 3)\\ \Leftrightarrow 2x + 2yi = ix + y + 3i\\ \Leftrightarrow 2x - y + (2y - x)i = 3i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 0\\ 2y - x = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy: \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\)
Cho số phức \(z = 1 + \sqrt 3 i.\) Tìm số phức \(\frac{1}{z}\).
A. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
B. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
C. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
D. \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
Ta có: \(z = 1 + \sqrt 3 i\) suy ra: \(\frac{1}{z} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)
Cho số phức thỏa mãn 3iz + 3 + 4i = 4z. Tính môđun của số phức {\rm{w}} = 3z + 4.
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 25\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = 1\)
\(z = \frac{{3 + 4i}}{{4 - 3i}} = i \Rightarrow 3z + 4 = 3i + 4 \Rightarrow \left| {3z + 4} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\)
Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = 32\)
B. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = - 32\)
C. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = 32i\)
D. \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = - 32i\)
Ta có: \({\left( {1 + i} \right)^{10}} = {\left[ {{{(1 + i)}^2}} \right]^5} = {\left( {2i} \right)^5} = 32i.\)
Cho số phức \(z = a + bi.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(z + \overline z = 2bi\)
B. \(z - \overline z = 2a\)
C. \(z.\overline z = {a^2} - {b^2}\)
D. \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} z = a + bi \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\\ \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = \sqrt {\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + {{(2ab)}^2}} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} z = a + bi \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\\ \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = \sqrt {\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + {{(2ab)}^2}} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}. \end{array}\)
Cho số phức \(z=a+bi\). Tìm phần thực của số phức \(z^{-1}.\)
A. \(a + b\)
B. \(a - b\)
C. \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}\)
D. \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow {z^{ - 1}} = {(a + bi)^{ - 1}} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i.\)
Cho số phức \(z = 1 + 3i.\) Tìm phần thực của số phức \(z^2.\)
A. -8
B. 10
C. 8+6i
D. -8+6i
Ta có: \(z = 1 + 3i \Rightarrow {z^2} = {(1 + 3i)^2} = - 8 + 6i.\)
Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn z + 2(z + \overline z ) = 2 - 6i.
A. \(-6\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(-1\)
D. \(\frac{3}{4}\)
Gọi \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} z + 2(z + \overline z ) = 2 - 6i \Leftrightarrow x + yi + 2(x + yi + x - yi) = 2 - 6i\\ \Leftrightarrow 5x + yi = 2 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = 2\\ y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{5}\\ y = - 6 \end{array} \right.. \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} z + 2(z + \overline z ) = 2 - 6i \Leftrightarrow x + yi + 2(x + yi + x - yi) = 2 - 6i\\ \Leftrightarrow 5x + yi = 2 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = 2\\ y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{5}\\ y = - 6 \end{array} \right.. \end{array}\)