Câu 1:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo.
B. Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số ảo.
C. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\).
D. Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\).
Câu 2:
Cho \(z = x + iy;z' = x' + iy'{\rm{ }}\left( {x,y,x',y' \in R} \right)\) Khẳng định sau đây là khẳng định sai?
A. \(z \pm z' = \left( {x \pm x'} \right) + i\left( {y \pm y'} \right)\)
B. \(z.z' = xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\)
C. \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\)
D. B và C
Câu 3:
Số \({{i^2} + {i^3} + {i^4} + {i^5}}\) bằng số nào dưới đây?
A. 0
B. i
C. -i
D. 2i
Câu 4:
Cho số phức \(${z_1} = 3 + 2i;{z_2} = 5 + 6i.\) Tính \(A = {z_1}{z_2} + 5{z_1} + 6{z_2}\).
A. \(A = 48 + 74i\)
B. \(A = 18 + 54i\)
C. \(A = - 42 - 18i\)
D. \(42 + 18i\)
Câu 5:
Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).
A. i
B. -i
C. 1
D. -1
Câu 6:
Số nào sau đây là số thực?
A. \(\left( {\sqrt 3 + 2i} \right) - \left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\)
B. \(\left( {3 + 2i} \right) + \left( {3 - 2i} \right)\)
C. \(\left( {1 + 2i} \right) + \left( { - 1 + 2i} \right)\)
D. \(\left( {5 + 2i} \right) - \left( {\sqrt 5 - 2i} \right)\)
Câu 7:
Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.
A. m=1.
B. m=2.
C. m=-2.
D. \(m = \pm 1\)
Câu 8:
Tìm môđun của số phức \(z = {(1 + 2i)^2}(1 - i)\).
A. \(\left| z \right| = 5\sqrt 2\)
B. \(\left| z \right| = 50\)
C. \(\left| z \right| = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\
) D. \(\left| z \right| = \frac{{10}}{3}\)
Câu 9:
Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\).
A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
B. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)
D. \(z = - \frac{1}{2}i\)
Câu 10:
Cho số phức \(z=3+6i\) . Tìm phần thực và phần ảo của số phức \({z_1} = 5\overline z\).
A. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(-30i\)
B. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(30\)
C. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(-30\)
D. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(30i\)
Câu 11:
Tìm các số thực x,y biết:
\(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)
A. \(x = \frac{9}{{11}};y = \frac{4}{{11}}\)
B. \(x = - 3;y = - \frac{5}{2}\)
C. \(x = \frac{{ - 9}}{{11}};y = \frac{{ - 4}}{{11}}\)
D. \(x = 3;y = \frac{5}{2}\)
Câu 12:
Cho số phức z=2–3i. Tìm môđun của số phức \(\omega = 2z + \left( {1 + i} \right)\overline z\).
A. \(\left| \omega \right| = 4\)
B. \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 2\)
C. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\)
D. \(\left| \omega \right| = 2\)
Câu 13:
Cho số phức z=a – bi với \(a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}\), thỏa mãn \((1 + 3i)z-3+2i= 2+7i\).
Tính tổng a+b.
A. \(a + b = \frac{{11}}{5}\)
B. \(a + b = \frac{{19}}{5}\)
C. \(a + b = 1\)
D. \(a + b = -1\)
Câu 14:
Tìm môđun của số phức \(z = \left( {4 - 7i} \right) + \left( { - 5i + 7} \right)\).
A. \(\left| z \right| = \sqrt {265}\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt {2}\)
C. \(\left| z \right| = \sqrt {263}\)
D. \(\left| z \right| = \sqrt {5}\)
Câu 15:
Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau \(\left( {4 - i} \right) + \left( {2 + 3i} \right) - \left( {5 + i} \right)\).
A. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là i.
B. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là -1
C. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là 1
D. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là -i
Câu 16:
Tính P=\(i^{2009}\).
A. P=-1
B. P=1
C. P=-i
D. P=i
Câu 17:
Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).
A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\)
B. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\)
C. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i\)
D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\)
Câu 18:
Cặp số phức nào sau đây không phải là số phức liên hợp của nhau:
A. \(x + \overline y\) và \(\overline x + y\)
B. \(x\overline y\) và \(\overline x y\)
C. \(x - \overline y\) và \(\overline x - y\)
D. \(\frac{x}{{\overline y }}\) và \(\frac{{\overline y }}{x}\)
Câu 19:
Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có phần biểu diễn là phần gạch chéo trong hình vẽ (kể cả biên) ?
A. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Ox, phần ảo thuộc đoạn [1;3] trên trục Oy.
B. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [1;3] trên trục Ox, phần ảo thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Oy.
C. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Oy, phần ảo thuộc đoạn [1;3] trên trục Ox.
D. Số phức z có phần thực thuộc khoảng (-3;-2) trên trục Ox, phần ảo thuộc khoảng (1;3) trên trục Oy.
Câu 20:
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = (1 - i)(3 + 2i).\)
A. \(\overline z = 1 + i\)
B. \(\overline z = 1 - i\)
C. \(\overline z = 5- i\)
D. \(\overline z = 5+ i\)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo.
B. Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số ảo.
C. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\).
D. Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\).
Với mệnh đề A: ta có \(z- \overline z = \left( {a + bi} \right) - \left( {a - bi} \right) = 2bi\) đây là một số thuần ảo. Vậy đáp án A đúng.
Với mệnh đề B: ta có
\(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} - {b^2}.{i^2} = {a^2} + {b^2}\) (do \({i^2} = - 1).\) Đây là số thực, vậy mệnh đề này sai.
C và D là các mệnh đề đúng.
Với mệnh đề B: ta có
\(z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} - {b^2}.{i^2} = {a^2} + {b^2}\) (do \({i^2} = - 1).\) Đây là số thực, vậy mệnh đề này sai.
C và D là các mệnh đề đúng.
Cho \(z = x + iy;z' = x' + iy'{\rm{ }}\left( {x,y,x',y' \in R} \right)\) Khẳng định sau đây là khẳng định sai?
A. \(z \pm z' = \left( {x \pm x'} \right) + i\left( {y \pm y'} \right)\)
B. \(z.z' = xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\)
C. \(\frac{z}{{z'}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\)
D. B và C
Với phương án A:
Nhận thấy \(z \pm z' = \left( {x + iy} \right) \pm \left( {x' + iy'} \right)\)
\(= \left( {x \pm x'} \right) + \left( {y \pm y'} \right)i\).
Vậy đây là mệnh đề đúng.
* Với phương án B. Ta có:
\(\begin{array}{l} z.z' = \left( {x + iy} \right).\left( {x' + iy'} \right)\\ = xx' + ixy' + ix'y + {i^2}yy' \end{array}\)
\(= xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\).
Vậy đây là mệnh đề đúng.
* Với phương án C: Nhận thấy ở phần phương án mẫu số có dạng \(x{'^2} + y{'^2}\) nên ta sẽ nhân thêm số phức liên hợp vào để tạo ra \(x{'^2} + y{'^2}\)
\(\frac{z}{{z'}} = \frac{{x + iy}}{{x' + iy'}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}{{\left( {x' + iy'} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}\)
\(= \frac{{xx' - ixy' + iyx' - {i^2}yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i.\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\)
Đây là mệnh đề đúng.
Vậy D là đáp án cần tìm.
Nhận thấy \(z \pm z' = \left( {x + iy} \right) \pm \left( {x' + iy'} \right)\)
\(= \left( {x \pm x'} \right) + \left( {y \pm y'} \right)i\).
Vậy đây là mệnh đề đúng.
* Với phương án B. Ta có:
\(\begin{array}{l} z.z' = \left( {x + iy} \right).\left( {x' + iy'} \right)\\ = xx' + ixy' + ix'y + {i^2}yy' \end{array}\)
\(= xx' - yy' + i\left( {xy' + x'y} \right)\).
Vậy đây là mệnh đề đúng.
* Với phương án C: Nhận thấy ở phần phương án mẫu số có dạng \(x{'^2} + y{'^2}\) nên ta sẽ nhân thêm số phức liên hợp vào để tạo ra \(x{'^2} + y{'^2}\)
\(\frac{z}{{z'}} = \frac{{x + iy}}{{x' + iy'}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}{{\left( {x' + iy'} \right)\left( {x' - iy'} \right)}}\)
\(= \frac{{xx' - ixy' + iyx' - {i^2}yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} = \frac{{xx' + yy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}} + i.\frac{{x'y - xy'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}\)
Đây là mệnh đề đúng.
Vậy D là đáp án cần tìm.
Số \({{i^2} + {i^3} + {i^4} + {i^5}}\) bằng số nào dưới đây?
A. 0
B. i
C. -i
D. 2i
Áp dụng công thức: \({i^2} = - 1\).
Khi đó \({i^2} + {i^3} + {i^4} + {i^5} = - 1 - 1.i + 1 + i = 0\).
Vậy đáp án của ta là A.
Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm kết quả trong bài toán này.
Khi đó \({i^2} + {i^3} + {i^4} + {i^5} = - 1 - 1.i + 1 + i = 0\).
Vậy đáp án của ta là A.
Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm kết quả trong bài toán này.
Cho số phức \(${z_1} = 3 + 2i;{z_2} = 5 + 6i.\) Tính \(A = {z_1}{z_2} + 5{z_1} + 6{z_2}\).
A. \(A = 48 + 74i\)
B. \(A = 18 + 54i\)
C. \(A = - 42 - 18i\)
D. \(42 + 18i\)
\(A = \left( {3 + 2i} \right)\left( {5 + 6i} \right) + 5\left( {3 + 2i} \right) + 6\left( {5 + 6i} \right)\)
\(= 12{i^2} + 28i + 15 + 15 + 10i + 30 + 36i = 48 + 74i\)
Ngoài ra có thể dùng máy tính bỏ túi.
\(= 12{i^2} + 28i + 15 + 15 + 10i + 30 + 36i = 48 + 74i\)
Ngoài ra có thể dùng máy tính bỏ túi.
Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\).
A. i
B. -i
C. 1
D. -1
\(z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{2} = i\)
\({z^{2016}} = {i^{2016}} = {i^{4.504}} = {\left( {i{}^4} \right)^{504}} = 1\)
\({z^{2016}} = {i^{2016}} = {i^{4.504}} = {\left( {i{}^4} \right)^{504}} = 1\)
Số nào sau đây là số thực?
A. \(\left( {\sqrt 3 + 2i} \right) - \left( {\sqrt 3 - 2i} \right)\)
B. \(\left( {3 + 2i} \right) + \left( {3 - 2i} \right)\)
C. \(\left( {1 + 2i} \right) + \left( { - 1 + 2i} \right)\)
D. \(\left( {5 + 2i} \right) - \left( {\sqrt 5 - 2i} \right)\)
iểm tra phương án B: \(\left( {3 + 2i} \right) + \left( {3 - 2i} \right) = 6\) là số thực.
Kiểm tra tương tự với các phương án khác.
Kiểm tra tương tự với các phương án khác.
Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.
A. m=1.
B. m=2.
C. m=-2.
D. \(m = \pm 1\)
z là số thuần ảo và khác 0 khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} {m^2} + m - 2 = 0\\ {m^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {m^2} + m - 2 = 0\\ {m^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2.\)
Tìm môđun của số phức \(z = {(1 + 2i)^2}(1 - i)\).
A. \(\left| z \right| = 5\sqrt 2\)
B. \(\left| z \right| = 50\)
C. \(\left| z \right| = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\
) D. \(\left| z \right| = \frac{{10}}{3}\)
\(z = {\left( {1 + 2i} \right)^2}(1 - i) = (1 + 4i + 4{i^2})(1 - i) = ( - 3 + 4i)(1 - i) = 1 + 7i\)
\(\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2\)
\(\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2\)
Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\).
A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
B. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)
D. \(z = - \frac{1}{2}i\)
Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in R)\)
\(z + z.\overline z = \frac{i}{2} \Leftrightarrow x + iy + {x^2} + {y^2} = \frac{i}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + {x^2} + {y^2} = 0\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
\(z + z.\overline z = \frac{i}{2} \Leftrightarrow x + iy + {x^2} + {y^2} = \frac{i}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + {x^2} + {y^2} = 0\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
Cho số phức \(z=3+6i\) . Tìm phần thực và phần ảo của số phức \({z_1} = 5\overline z\).
A. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(-30i\)
B. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(30\)
C. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(-30\)
D. Số phức \(z_1\) có phần thực là 15, phần ảo là \(30i\)
Ta có \({z_1} = 5\overline z = 5\left( {3 - 6i} \right) = 15 - 30i\)
Vậy phần thực của là 15 và phần ảo là -30.
Vậy phần thực của là 15 và phần ảo là -30.
Tìm các số thực x,y biết:
\(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)
A. \(x = \frac{9}{{11}};y = \frac{4}{{11}}\)
B. \(x = - 3;y = - \frac{5}{2}\)
C. \(x = \frac{{ - 9}}{{11}};y = \frac{{ - 4}}{{11}}\)
D. \(x = 3;y = \frac{5}{2}\)
Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)
Cho số phức z=2–3i. Tìm môđun của số phức \(\omega = 2z + \left( {1 + i} \right)\overline z\).
A. \(\left| \omega \right| = 4\)
B. \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 2\)
C. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\)
D. \(\left| \omega \right| = 2\)
\({\rm{w}} = 2z + (1 + i)\overline z = 2(2 - 3i) + (1 + i)(2 + 3i)\)
\(= 4 - 6i + 2 + 3i + 2i + 3{i^2} = 4 - 6i + 2 + 3i + 2i - 3 = 3 - i\)
\(\Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10}\)
\(= 4 - 6i + 2 + 3i + 2i + 3{i^2} = 4 - 6i + 2 + 3i + 2i - 3 = 3 - i\)
\(\Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10}\)
Cho số phức z=a – bi với \(a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}\), thỏa mãn \((1 + 3i)z-3+2i= 2+7i\).
Tính tổng a+b.
A. \(a + b = \frac{{11}}{5}\)
B. \(a + b = \frac{{19}}{5}\)
C. \(a + b = 1\)
D. \(a + b = -1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} (1 + 3i)z - 3 + 2i = 2 + 7i \Rightarrow (1 + 3i)(a + bi) - 3 + 2i = 2 + 7i\\ \Leftrightarrow a + bi + 3ai - 3b - 3 + 2i - 2 - 7i = 0 \end{array}\)
\(\Rightarrow a - 3b - 5 + (3a + b - 5)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 3b - 5 = 0\\ (3a + b - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} (1 + 3i)z - 3 + 2i = 2 + 7i \Rightarrow (1 + 3i)(a + bi) - 3 + 2i = 2 + 7i\\ \Leftrightarrow a + bi + 3ai - 3b - 3 + 2i - 2 - 7i = 0 \end{array}\)
\(\Rightarrow a - 3b - 5 + (3a + b - 5)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 3b - 5 = 0\\ (3a + b - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right.\)
Tìm môđun của số phức \(z = \left( {4 - 7i} \right) + \left( { - 5i + 7} \right)\).
A. \(\left| z \right| = \sqrt {265}\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt {2}\)
C. \(\left| z \right| = \sqrt {263}\)
D. \(\left| z \right| = \sqrt {5}\)
\(\begin{array}{l} z = \left( {4 - 7i} \right) + \left( { - 5i + 7} \right) = 11 - 12i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{11}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} = \sqrt {265} \end{array}\)
Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau \(\left( {4 - i} \right) + \left( {2 + 3i} \right) - \left( {5 + i} \right)\).
A. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là i.
B. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là -1
C. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là 1
D. Số phức trên có phần thực là 1, phần ảo là -i
Ta có : \(\left( {4 - i} \right) + \left( {2 + 3i} \right) - \left( {5 + i} \right)\)\(= 1 + i\).
Chú ý: Phần ảo không chứa i.
Chú ý: Phần ảo không chứa i.
Tính P=\(i^{2009}\).
A. P=-1
B. P=1
C. P=-i
D. P=i
Ta có: \({i^{2009}} = {i^{2008}}.i\) \(= {\left( {{i^2}} \right)^{1004}}.i = 1.i = i\).
Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).
A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\)
B. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\)
C. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i\)
D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\)
\(\frac{1}{{{{\left( {1 + i} \right)}^3}}} = \frac{1}{{{i^3} + 3{i^2} + 3i + 1}}\)\(= \frac{1}{{ - i - 3 + 3i + 1}} = \frac{1}{{ - 2 + 2i}}\)\(= \frac{{2 + 2i}}{{ - 8}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\)
Cặp số phức nào sau đây không phải là số phức liên hợp của nhau:
A. \(x + \overline y\) và \(\overline x + y\)
B. \(x\overline y\) và \(\overline x y\)
C. \(x - \overline y\) và \(\overline x - y\)
D. \(\frac{x}{{\overline y }}\) và \(\frac{{\overline y }}{x}\)
Đặt: \(x = a + bi;\) \(y = c + di\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó:
Với mệnh đề A:
\(x + \overline y = a + bi + c - di = a + c + \left( {b - d} \right)i\) ,
\(\overline x + y = a - bi + c + di = a + c + \left( {d - b} \right)i\)
Là hai số phức liên hợp của nhau.
Với mệnh đề B:
\(x.\overline y = \left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right) = ac - adi + bci + bd\)\(= ac + bd + \left( {bc - ad} \right)i\)
\(\overline x .y = \left( {a - bi} \right)\left( {c + di} \right) = ac + bd + \left( {ad - bc} \right)i\)
Vậy đây là cặp số phức liên hợp của nhau.
Tương tự mệnh đề A thì C là mệnh đề đúng.
Vậy D là mệnh đề sai.
Với mệnh đề A:
\(x + \overline y = a + bi + c - di = a + c + \left( {b - d} \right)i\) ,
\(\overline x + y = a - bi + c + di = a + c + \left( {d - b} \right)i\)
Là hai số phức liên hợp của nhau.
Với mệnh đề B:
\(x.\overline y = \left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right) = ac - adi + bci + bd\)\(= ac + bd + \left( {bc - ad} \right)i\)
\(\overline x .y = \left( {a - bi} \right)\left( {c + di} \right) = ac + bd + \left( {ad - bc} \right)i\)
Vậy đây là cặp số phức liên hợp của nhau.
Tương tự mệnh đề A thì C là mệnh đề đúng.
Vậy D là mệnh đề sai.
Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có phần biểu diễn là phần gạch chéo trong hình vẽ (kể cả biên) ?
A. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Ox, phần ảo thuộc đoạn [1;3] trên trục Oy.
B. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [1;3] trên trục Ox, phần ảo thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Oy.
C. Số phức z có phần thực thuộc đoạn [-3;-2] trên trục Oy, phần ảo thuộc đoạn [1;3] trên trục Ox.
D. Số phức z có phần thực thuộc khoảng (-3;-2) trên trục Ox, phần ảo thuộc khoảng (1;3) trên trục Oy.
Ta có số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in\mathbb{R} } \right)\) khi đó điểm \(M(x;y)\) trong hệ tọa độ phẳng vuông góc là điểm biểu diễn số phức z.
Vậy khi đó ta thấy khi chiếu xuống trục Ox thì \(- 3 \le x \le - 2\) tức là phần thực của z nằm trong đoạn [-3;-2] , và ta thấy \(1 \le y \le 3\) , khi đó phần ảo của z nằm trong đoạn [1;3].
Vậy khi đó ta thấy khi chiếu xuống trục Ox thì \(- 3 \le x \le - 2\) tức là phần thực của z nằm trong đoạn [-3;-2] , và ta thấy \(1 \le y \le 3\) , khi đó phần ảo của z nằm trong đoạn [1;3].
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = (1 - i)(3 + 2i).\)
A. \(\overline z = 1 + i\)
B. \(\overline z = 1 - i\)
C. \(\overline z = 5- i\)
D. \(\overline z = 5+ i\)
\(z = (1 - i)(3 + 2i) = 3 + 2i - 3i - 2{i^2} = 5 - i \Rightarrow \overline z = 5 + i\)