Câu 1 Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông và thể tích khối hộp được tạo thành là 8 dm$^3$ Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế để diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất là
A. \(2\sqrt[3]{2}\)
B. 2
C. 4
D. Không có giá trị nhỏ nhất
Câu 2
Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?
A. \(\frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}(m)\)
B. \(\frac{{36\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
C. \(\frac{{12}}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
D. \(\frac{{18\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
Câu 3
Bạn A có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ. A muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó A phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?
A. \(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\)
B. \(\frac{\pi }{3}\)
C. \(\frac{\pi }{2}\)
D. \(\frac{\pi }{4}\)
Câu 4
Một người nông dân có 15.000.000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.
A. 6250 m2
B. 1250 m2
C. 3125 m2
D. 50 m2
Câu 5
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 200km. Vận tốc của dòng nước là 8km/h. nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong 1 giờ được cho bởi công thức:\(E(v) = c{v^3}t\) (trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun). Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
A. 12 km/h
B. 9 km/h
C. 6 km/h
D. 15 km/h
Câu 6
Một chất điểm chuyển động theo qui luật \(s = 6{t^2} - {t^3}\)(trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. t=2
B. t=4
C. t=1
D. t=3
Câu 7
Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x=x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V0. Tìm V0?
A. V0=48
B. V0=16
C. V0=64
D. \(V_{0}=\frac{64}{3}\)
Câu 8
Một người có một dải ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
A. \(4000\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
B. \(3200\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
C. \(1000\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
D. \(1600\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
Câu 9
Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12m3 để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhận có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể) ( làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
A. Dài 2,42m và rộng 1,82m
B. Dài 2,74 m và rộng 1,71 m
C. Dài 2,26 m và rộng 1,88 m
D. Dài 2,19 m và rộng 1,91 m
Câu 10:
Một khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là một hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32. Hỏi thể tích lớn nhất V của khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là bao nhiêu?
A. \(V = \frac{{56\sqrt 3 }}{9}\)
B. \(V= \frac{{70\sqrt 3 }}{9}\)
C. \(V = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)
D. \(V = \frac{{80\sqrt 3 }}{9}\)
Câu 12
Ông A có cái ao có diện tích 50 m2 để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ \(20{\rm{ con/}}{m^2}\) và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, Ông A thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Vậy vụ tới ông A phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).
A. 488 con
B. 512 con
C. 460 con
D. 540 con
Câu 13
Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đát liền là BC=1km, khoảng cách từ A đến B là 4km. Người ta chọn một ví trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dưới đáy biển mất 5000 USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất?
A. 3,25 km
B. 1 km
C. 2 km
D. 1,5 km
Câu 14
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ nặng \(P( n ) = 480 - 20n\) (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 10
B. 12
C. 16
D. 24
Câu 15
Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.
A. \(80\,(c{m^2})\)
B. \(100\,(c{m^2})\)
C. \(160\,(c{m^2})\)
D. \(200\,(c{m^2})\)
Câu 16
Ông A định làm thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:
Tính khi đó chiều dài a, chiều rộng b của mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất.
A. a=35; b=25
B. a=40; b=20
C. a=50; b=10
D. a=30; b=30
Câu 17
Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nấp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3200 cm3, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích hố của đáy hố ga để khi xây dựng tiết kiệm nguyên liệu nhất?
A. 1200 cm2
B. 160 cm2
C. 1600 cm2
D. 120 cm2
Gọi \(x,y(x,y > 0)\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga (h>0). Ta có \(\frac{h}{x} = 2 \Rightarrow h = 2x\)
Suy ra thể tích của hố ga là: \(V = xyh = 3200 \Rightarrow y = \frac{{3200}}{{xh}} = \frac{{1600}}{{{x^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hố ga là:
\(S = 2xh + 2yh + xy = 4{x^2} + \frac{{6400}}{x} + \frac{{1600}}{x} = 4{x^2} + \frac{{8000}}{x} = f(x)\)
Khảo sát hàm số: \(y = f(x),x > 0\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1200 khi x=10.
Suy ra y=16.
Vậy diện tích đáy hố ga là: 10.16=160 cm2
Câu 18
Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m2 người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ có 2 đáy là hình tròn (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách giữa mép ao và mép mảnh đất là x mét. Biết chiều sâu của ao cũng là x mét. Tìm V là thể tích lớn nhất ao có thể đạt được.
A. \(V = 27\pi \left( {{m^3}} \right)\)
B. \(V = 13,5\pi \left( {{m^3}} \right)\)
C. \(V = 144\pi \left( {{m^3}} \right)\)
D. \(V = 72\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Câu 19
Một thợ xây muốn xây dựng một bể chứa nước hình trụ có thể tích 150 m2. Đáy bể được làm bằng bê tông, thành bể làm bằng tôn, nắp bể làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để làm bể chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m2, tôn 90 nghìn đồng một m2 và nhôm 120 nghìn đồng một m2.
A. 15037000 đồng
B. 15048000 đồng
C. 15038000 đồng
D. 15040000 đồng
Câu 20:
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{3}{t^{\rm{3}}}{\rm{ + 9}}{t^{\rm{2}}},\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 216 (m/s).
B. 30 (m/s).
C. 400 (m/s).
D. 54 (m/s).
A. \(2\sqrt[3]{2}\)
B. 2
C. 4
D. Không có giá trị nhỏ nhất
Gọi độ dài cạnh đáy là x.
Độ dài đường cao là y.
Thể tích khối hộp là: V=x2y = 8 (1)
Diện tích toàn phần: S=2x2 + 4xy (2)
Bài toàn trở thành tìm x,y sao cho S đạt GTNN.
Từ (1) suy ra: \(y = \frac{8}{{{x^2}}}\) thay vào (2) ta có:
\(S = 2{x^2} + 4x\frac{8}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{32}}{x}\)
Xét hàm số:
\(f(x) = 2{x^2} + \frac{{32}}{x}\,;x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(f'(x) = 4x - \frac{{32}}{{{x^2}}}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{{32}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 4{x^3} - 32 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng Biến thiên:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f(x) = 24\) tại x=2.
Vậy diện tích xung quanh đạt GTNN khi độ dài cạnh đáy bằng 2.
Độ dài đường cao là y.
Thể tích khối hộp là: V=x2y = 8 (1)
Diện tích toàn phần: S=2x2 + 4xy (2)
Bài toàn trở thành tìm x,y sao cho S đạt GTNN.
Từ (1) suy ra: \(y = \frac{8}{{{x^2}}}\) thay vào (2) ta có:
\(S = 2{x^2} + 4x\frac{8}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{32}}{x}\)
Xét hàm số:
\(f(x) = 2{x^2} + \frac{{32}}{x}\,;x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(f'(x) = 4x - \frac{{32}}{{{x^2}}}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{{32}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 4{x^3} - 32 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng Biến thiên:
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f(x) = 24\) tại x=2.
Vậy diện tích xung quanh đạt GTNN khi độ dài cạnh đáy bằng 2.
Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?
A. \(\frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}(m)\)
B. \(\frac{{36\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
C. \(\frac{{12}}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
D. \(\frac{{18\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\)
Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x (m) khi đó độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{{6 - 3x}}{4}\)
Tổng diện tích khi đó là:
\(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + {\left( {\frac{{6 - 3x}}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36} \right)\)
Xét hàm số:
\(f(x) = \left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36,\,\,x \in \left( {0;6} \right)\)
\(f'(x) = 2(9 + 4\sqrt 3 )x - 36\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Diện tích nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Lập bảng biến thiên ta có điều này xảy ra khi:
\(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Vậy diện tích Min khi \(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\).
Tổng diện tích khi đó là:
\(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + {\left( {\frac{{6 - 3x}}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36} \right)\)
Xét hàm số:
\(f(x) = \left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36,\,\,x \in \left( {0;6} \right)\)
\(f'(x) = 2(9 + 4\sqrt 3 )x - 36\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Diện tích nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Lập bảng biến thiên ta có điều này xảy ra khi:
\(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Vậy diện tích Min khi \(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\).
Bạn A có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ. A muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó A phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?
A. \(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\)
B. \(\frac{\pi }{3}\)
C. \(\frac{\pi }{2}\)
D. \(\frac{\pi }{4}\)
Độ dài cung tròn AB dùng làm phễu là: \(Rx = 2\pi r \Leftrightarrow r = \frac{{Rx}}{{2\pi }};\)
\(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} = \frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}}\)
Thể tích cái phễu là:
\(V = f\left( x \right) = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}}\) với \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}.\frac{{{x^2}\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\). Vì đây là BT trắc nghiệm nên ta có thể kết luận luôn rằng thể tích của cái phễu lớn nhất khi \(x= \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\). Vì ta đang xét trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) mà \(f'\left( x \right) = 0\) tại duy nhất một điểm thì ta có thể làm nhanh mà không vẽ BBT nữa.
\(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} = \frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}}\)
Thể tích cái phễu là:
\(V = f\left( x \right) = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}}\) với \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}.\frac{{{x^2}\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\). Vì đây là BT trắc nghiệm nên ta có thể kết luận luôn rằng thể tích của cái phễu lớn nhất khi \(x= \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\). Vì ta đang xét trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) mà \(f'\left( x \right) = 0\) tại duy nhất một điểm thì ta có thể làm nhanh mà không vẽ BBT nữa.
Một người nông dân có 15.000.000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.
A. 6250 m2
B. 1250 m2
C. 3125 m2
D. 50 m2
Ta đặt các kích thường hàng rào như hình vẽ.
Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau:
Do bác nông dân trả 15.000.000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ:
\(3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\)
\(\Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\)
\(\Leftrightarrow y = \frac{{150 - 15x}}{{12}} = \frac{{500 - 5x}}{4}\)
Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:
\(f\left( x \right) = 2.x.y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\)
Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích:
Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\) trên (0;100)
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( { - 10x + 500} \right),\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 50\)
Ta có BBT
Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau:
Do bác nông dân trả 15.000.000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ:
\(3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\)
\(\Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\)
\(\Leftrightarrow y = \frac{{150 - 15x}}{{12}} = \frac{{500 - 5x}}{4}\)
Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:
\(f\left( x \right) = 2.x.y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\)
Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích:
Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\) trên (0;100)
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( { - 10x + 500} \right),\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 50\)
Ta có BBT
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 200km. Vận tốc của dòng nước là 8km/h. nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong 1 giờ được cho bởi công thức:\(E(v) = c{v^3}t\) (trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun). Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
A. 12 km/h
B. 9 km/h
C. 6 km/h
D. 15 km/h
Ta có \(200 = \left( {v - 8} \right).t \Rightarrow t = \frac{{200}}{{v - 8}}\). Khi đó \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{200}}{{v - 8}}\).
Do c là hằng số nên để năng lượng tiêu hao ít nhất thì \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{200}}{{v - 8}}\) nhỏ nhất. Xét hàm số f(v) trên \(\left( {8; + \infty } \right)\)
\(f'\left( v \right) = 200.\frac{{3{v^2}\left( {v - 8} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 8} \right)}^2}}} = 200.\frac{{2{v^3} - 24{v^2}}}{{{{\left( {v - 8} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 12\)
Lập bảng biến thiên ta kiểm tra được hàm số \(f(v)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại v=12.
Do c là hằng số nên để năng lượng tiêu hao ít nhất thì \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{200}}{{v - 8}}\) nhỏ nhất. Xét hàm số f(v) trên \(\left( {8; + \infty } \right)\)
\(f'\left( v \right) = 200.\frac{{3{v^2}\left( {v - 8} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 8} \right)}^2}}} = 200.\frac{{2{v^3} - 24{v^2}}}{{{{\left( {v - 8} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 12\)
Lập bảng biến thiên ta kiểm tra được hàm số \(f(v)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại v=12.
Một chất điểm chuyển động theo qui luật \(s = 6{t^2} - {t^3}\)(trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. t=2
B. t=4
C. t=1
D. t=3
Phương trình vận tốc chính là phương trình đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động của vật nên ta có phương trình vận tốc của vật là \(v = s' = 12t - 3{t^2}\).
Xét hàm số \(f(t) = 12t - 3{t^2}\)
Ta dễ dàng kiểm tra được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t=2.
Xét hàm số \(f(t) = 12t - 3{t^2}\)
Ta dễ dàng kiểm tra được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t=2.
Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x=x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V0. Tìm V0?
A. V0=48
B. V0=16
C. V0=64
D. \(V_{0}=\frac{64}{3}\)
Đây là một dạng bài toán ứng dụng thực thế kết hợp cả phần tính thể tích khối đa diện ở hình học và phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đa thức đã học ở chương I phần giải tích.
Trước tiên ta nhận thấy:
\(V = \left( {6 - x} \right)\left( {12 - 2x} \right)x = 2x{\left( {x - 6} \right)^2}\)
\(= 2x\left( {{x^2} - 12x + 36} \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\) trên \(\left( {0;6} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 48x + 72;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 6\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 64\).
Đền đây cần cẩn thận đọc kĩ yêu cầu đề bài để tránh nhằm lẫn.
“Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất”.
Nên \({V_0} = \frac{3}{4}.64 = 48\).
Trước tiên ta nhận thấy:
\(V = \left( {6 - x} \right)\left( {12 - 2x} \right)x = 2x{\left( {x - 6} \right)^2}\)
\(= 2x\left( {{x^2} - 12x + 36} \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\) trên \(\left( {0;6} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 48x + 72;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 6\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 64\).
Đền đây cần cẩn thận đọc kĩ yêu cầu đề bài để tránh nhằm lẫn.
“Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất”.
Nên \({V_0} = \frac{3}{4}.64 = 48\).
Một người có một dải ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
A. \(4000\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
B. \(3200\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
C. \(1000\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
D. \(1600\pi {\rm{ }}c{m^3}\)
Dải ruy băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh cái hộp, do đó chiều dài của dải ruy băng chính là tổng chu vi của hai hình chữ nhật bằng nhau có đội dài các cạnh là 2r, h.
Với r là bán kính đáy hộp, h là chiều cao hộp.
Chiều dài ruy băng đã phải trừ đi phần duy băng dùng để thắt nơ, nghĩa là:
\(2.2.\left( {2r + h} \right) = 120 \Leftrightarrow h = 30 - 2r\)
Khi đó thể tích của hộp quà được tính bằng công thức:
\(V = S.h = \pi .{r^2}\left( {30 - 2r} \right) = \pi \left( { - 2{r^3} + 30{r^2}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( r \right) = - 2{r^3} + 30{r^2}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
\(f'\left( r \right) = - 6{r^2} + 60r;f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r = 0}\\ {r = 10} \end{array}} \right.\)
Khi đó vẽ BBT ta được \(\mathop {Max}\limits_{\left( {0;10} \right)} f\left( r \right) = f\left( {10} \right)\) .
Khi đó thể tích của hộp quà \(V = S.h = \pi {.10^2}.10 = 1000\pi\)
Với r là bán kính đáy hộp, h là chiều cao hộp.
Chiều dài ruy băng đã phải trừ đi phần duy băng dùng để thắt nơ, nghĩa là:
\(2.2.\left( {2r + h} \right) = 120 \Leftrightarrow h = 30 - 2r\)
Khi đó thể tích của hộp quà được tính bằng công thức:
\(V = S.h = \pi .{r^2}\left( {30 - 2r} \right) = \pi \left( { - 2{r^3} + 30{r^2}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( r \right) = - 2{r^3} + 30{r^2}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
\(f'\left( r \right) = - 6{r^2} + 60r;f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r = 0}\\ {r = 10} \end{array}} \right.\)
Khi đó vẽ BBT ta được \(\mathop {Max}\limits_{\left( {0;10} \right)} f\left( r \right) = f\left( {10} \right)\) .
Khi đó thể tích của hộp quà \(V = S.h = \pi {.10^2}.10 = 1000\pi\)
Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12m3 để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhận có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể) ( làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
A. Dài 2,42m và rộng 1,82m
B. Dài 2,74 m và rộng 1,71 m
C. Dài 2,26 m và rộng 1,88 m
D. Dài 2,19 m và rộng 1,91 m
Gọi chiều rộng và chiều sâu của bể lần lượt là 2t và 3t.
Suy ra chiều dài của bể là: \(\frac{{12}}{{2t.3t}} = \frac{2}{{{t^2}}}\)
Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phân của bể phải nhỏ nhất.
\({S_{tp}} = 2\left( {2t.3t + 2t.\frac{2}{{{t^2}}} + 3t.\frac{2}{{{t^2}}}} \right) = 2\left( {6{t^2} + \frac{{10}}{t}} \right)\)
Xét hàm số \(f(t) = 6{t^2} + \frac{{10}}{t},t > 0\)
\(\begin{array}{l} f'(t) = 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}}\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{12{t^3} - 10}}{{{t^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 12{t^3} - 10 = 0\,\,(do\,t > 0)\\ \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}} \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).
Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là: \(2t \approx 1,88(m);\,\frac{2}{{{t^2}}} \approx 2,26(m)\).
Suy ra chiều dài của bể là: \(\frac{{12}}{{2t.3t}} = \frac{2}{{{t^2}}}\)
Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phân của bể phải nhỏ nhất.
\({S_{tp}} = 2\left( {2t.3t + 2t.\frac{2}{{{t^2}}} + 3t.\frac{2}{{{t^2}}}} \right) = 2\left( {6{t^2} + \frac{{10}}{t}} \right)\)
Xét hàm số \(f(t) = 6{t^2} + \frac{{10}}{t},t > 0\)
\(\begin{array}{l} f'(t) = 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}}\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{12{t^3} - 10}}{{{t^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 12{t^3} - 10 = 0\,\,(do\,t > 0)\\ \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}} \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).
Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là: \(2t \approx 1,88(m);\,\frac{2}{{{t^2}}} \approx 2,26(m)\).
Một khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là một hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32. Hỏi thể tích lớn nhất V của khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là bao nhiêu?
A. \(V = \frac{{56\sqrt 3 }}{9}\)
B. \(V= \frac{{70\sqrt 3 }}{9}\)
C. \(V = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)
D. \(V = \frac{{80\sqrt 3 }}{9}\)
Gọi x là cạnh hình vuông đáy.
y là chiều cao hình hộp.
Diên tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\left( {{x^2} + 2xy} \right) = 32 \Leftrightarrow {x^2} + 2xy = 16 \Rightarrow xy = \frac{{16 - {x^2}}}{2} > 0\)
Thể tích hình hộp là:\(V = {x^2}y = x.xy = x.\frac{{16 - {x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\left( {16x - {x^3}} \right),x \in \left( {0;4} \right)\)
Xét hàm số: \(f(x) = 16x - {x^3}\) trên (0;4)
\(f'(x) = 16 - 3{x^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\,(Do\,x \in \left( {0;4)} \right)\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\); \(\mathop {\max f(x)}\limits_{x \in \left( {0;4} \right)} = \frac{{128\sqrt 3 }}{9}\)
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp là \(V = \frac{1}{2}.\frac{{128\sqrt 3 }}{9} = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)
y là chiều cao hình hộp.
Diên tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\left( {{x^2} + 2xy} \right) = 32 \Leftrightarrow {x^2} + 2xy = 16 \Rightarrow xy = \frac{{16 - {x^2}}}{2} > 0\)
Thể tích hình hộp là:\(V = {x^2}y = x.xy = x.\frac{{16 - {x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\left( {16x - {x^3}} \right),x \in \left( {0;4} \right)\)
Xét hàm số: \(f(x) = 16x - {x^3}\) trên (0;4)
\(f'(x) = 16 - 3{x^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\,(Do\,x \in \left( {0;4)} \right)\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\); \(\mathop {\max f(x)}\limits_{x \in \left( {0;4} \right)} = \frac{{128\sqrt 3 }}{9}\)
Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp là \(V = \frac{1}{2}.\frac{{128\sqrt 3 }}{9} = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)
Ông A có cái ao có diện tích 50 m2 để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ \(20{\rm{ con/}}{m^2}\) và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, Ông A thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Vậy vụ tới ông A phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).
A. 488 con
B. 512 con
C. 460 con
D. 540 con
Số cá ông A đã thả trong vụ vừa qua là 20.50=1000 con.
Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0,5kg/con.
Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg/con.
Suy ra: \(a = \frac{{0,5.x}}{8} = \frac{1}{{16}}\) kg/con.
Vậy sản lượng thu được trong năm tới của ông A sẽ là :
\(f\left( x \right) = \left( {1000 - x} \right)\left( {1,5 + \frac{1}{{16}}x} \right)\) kg
\(f\left( x \right) = - \frac{1}{{16}}{x^2} - \frac{3}{2}x + 1500 + \frac{{125}}{2}x\)
\(= - \frac{1}{{16}}{x^2} + 61x + 1500\)
Tìm GTLN của hàm số \(f(x) = - \frac{1}{{16}}{x^2} + 61x + 1500\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - \frac{1}{8}x + 61\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 488 \end{array}\)
Ta thấy hàm số \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất tại x=488.
Vậy số cá thả giảm đi là 488 con.
Vậy số cá cần phải thả là: 1000-488=512 con.
Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0,5kg/con.
Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg/con.
Suy ra: \(a = \frac{{0,5.x}}{8} = \frac{1}{{16}}\) kg/con.
Vậy sản lượng thu được trong năm tới của ông A sẽ là :
\(f\left( x \right) = \left( {1000 - x} \right)\left( {1,5 + \frac{1}{{16}}x} \right)\) kg
\(f\left( x \right) = - \frac{1}{{16}}{x^2} - \frac{3}{2}x + 1500 + \frac{{125}}{2}x\)
\(= - \frac{1}{{16}}{x^2} + 61x + 1500\)
Tìm GTLN của hàm số \(f(x) = - \frac{1}{{16}}{x^2} + 61x + 1500\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - \frac{1}{8}x + 61\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 488 \end{array}\)
Ta thấy hàm số \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất tại x=488.
Vậy số cá thả giảm đi là 488 con.
Vậy số cá cần phải thả là: 1000-488=512 con.
Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đát liền là BC=1km, khoảng cách từ A đến B là 4km. Người ta chọn một ví trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dưới đáy biển mất 5000 USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất?
A. 3,25 km
B. 1 km
C. 2 km
D. 1,5 km
Giả sử \(AS = x\,(0 < x < 4) \Rightarrow BS = 4 - x\).
Khi đó tổng chi phí mắc đường dây điện là: \(T = 3000x + 5000\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}}\)
Xét hàm số \(f(x) = 3000x + 5000\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} ,x \in \left( {0;4} \right)\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = 3000 + 5000.\frac{{ - (4 - x)}}{{\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} = 5(4 - x) \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{4}\,(Do\,x \in \left( {0;4} \right)). \end{array}\)
Khi đó tổng chi phí mắc đường dây điện là: \(T = 3000x + 5000\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}}\)
Xét hàm số \(f(x) = 3000x + 5000\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} ,x \in \left( {0;4} \right)\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = 3000 + 5000.\frac{{ - (4 - x)}}{{\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} = 5(4 - x) \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{4}\,(Do\,x \in \left( {0;4} \right)). \end{array}\)
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ nặng \(P( n ) = 480 - 20n\) (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 10
B. 12
C. 16
D. 24
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ (n>0). Khi đó:
Cân nặng của một con cá là: \(P( n ) = 480 - 20n\)
Cân nặng của n con cá là:\(nP( n ) = 480n - 20{n^2},n > 0\)
Xét hàm số:\(f( n ) = 480n - 20{n^2},n > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'( n ) = 480 - 40n\\ f'( n ) = 0 \Leftrightarrow n = 12 \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 12 con.
Cân nặng của một con cá là: \(P( n ) = 480 - 20n\)
Cân nặng của n con cá là:\(nP( n ) = 480n - 20{n^2},n > 0\)
Xét hàm số:\(f( n ) = 480n - 20{n^2},n > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'( n ) = 480 - 40n\\ f'( n ) = 0 \Leftrightarrow n = 12 \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 12 con.
Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.
A. \(80\,(c{m^2})\)
B. \(100\,(c{m^2})\)
C. \(160\,(c{m^2})\)
D. \(200\,(c{m^2})\)
Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm trên đường kính đường tròn 0<x<10.
Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm trên đường tròn là: \(2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\)
Diện tích hình chữ nhật: \(S = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\)
Đặt \(f(x) = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} ,0 < x < 10\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(x) = 2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} }} = {2.10^2} - 4{x^2}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\,(Do\,\,0 < x < 10) \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: \(S = 10\sqrt 2 .\sqrt {{{10}^2} - \frac{{{{10}^2}}}{2}} = 100\,(c{m^2})\)
Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm trên đường tròn là: \(2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\)
Diện tích hình chữ nhật: \(S = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\)
Đặt \(f(x) = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} ,0 < x < 10\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(x) = 2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} }} = {2.10^2} - 4{x^2}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\,(Do\,\,0 < x < 10) \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: \(S = 10\sqrt 2 .\sqrt {{{10}^2} - \frac{{{{10}^2}}}{2}} = 100\,(c{m^2})\)
Ông A định làm thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:
Tính khi đó chiều dài a, chiều rộng b của mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất.
A. a=35; b=25
B. a=40; b=20
C. a=50; b=10
D. a=30; b=30
Gọi x là độ dài một cạnh, khi đó độ dài cạnh còn lại 60-x
Giả sử quấn cạnh có độ dài là x lại thì bán kính đáy \(r = \frac{x}{{2\pi }};\,h = 60 - x\)
Ta có: \(V = \pi {r^2}h = \frac{{ - {x^3} + 60{x^2}}}{{4\pi }}\)
Xét hàm số: \(f(x) = - {x^3} + 60{x^2},x \in \left( {0;60} \right)\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - 3{x^2} + 120\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 40 \end{array} \right. \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x=40; 60-x=20.
Vậy chiều dài là a=40, chiều rộng b=20.
Giả sử quấn cạnh có độ dài là x lại thì bán kính đáy \(r = \frac{x}{{2\pi }};\,h = 60 - x\)
Ta có: \(V = \pi {r^2}h = \frac{{ - {x^3} + 60{x^2}}}{{4\pi }}\)
Xét hàm số: \(f(x) = - {x^3} + 60{x^2},x \in \left( {0;60} \right)\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - 3{x^2} + 120\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 40 \end{array} \right. \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x=40; 60-x=20.
Vậy chiều dài là a=40, chiều rộng b=20.
Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nấp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3200 cm3, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích hố của đáy hố ga để khi xây dựng tiết kiệm nguyên liệu nhất?
A. 1200 cm2
B. 160 cm2
C. 1600 cm2
D. 120 cm2
Gọi \(x,y(x,y > 0)\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga (h>0). Ta có \(\frac{h}{x} = 2 \Rightarrow h = 2x\)
Suy ra thể tích của hố ga là: \(V = xyh = 3200 \Rightarrow y = \frac{{3200}}{{xh}} = \frac{{1600}}{{{x^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hố ga là:
\(S = 2xh + 2yh + xy = 4{x^2} + \frac{{6400}}{x} + \frac{{1600}}{x} = 4{x^2} + \frac{{8000}}{x} = f(x)\)
Khảo sát hàm số: \(y = f(x),x > 0\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1200 khi x=10.
Suy ra y=16.
Vậy diện tích đáy hố ga là: 10.16=160 cm2
Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m2 người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ có 2 đáy là hình tròn (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách giữa mép ao và mép mảnh đất là x mét. Biết chiều sâu của ao cũng là x mét. Tìm V là thể tích lớn nhất ao có thể đạt được.
A. \(V = 27\pi \left( {{m^3}} \right)\)
B. \(V = 13,5\pi \left( {{m^3}} \right)\)
C. \(V = 144\pi \left( {{m^3}} \right)\)
D. \(V = 72\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m2, suy ra độ dài cạnh là 9 m2.
Gọi r là bán kính ao, độ sâu của ao h=x.
Khi đó thể tích ao là: \(V = \pi {r^2}x\)
Mặt khác ta có: \(r = \frac{{9 - 2x}}{2} = \frac{9}{2} - x \Rightarrow V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x,\,\,0 < x < \frac{9}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(x) = 3{x^2} - 18x + \frac{{81}}{4}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\left( {Do\,\,0 < x < \frac{9}{2}} \right) \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{3}{2}\)
Vậy thể tích lớn nhất có thể của ao là: \(V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} \right)^2}.\frac{3}{2} = \frac{{27}}{2}\pi = 13,5\pi\)
Gọi r là bán kính ao, độ sâu của ao h=x.
Khi đó thể tích ao là: \(V = \pi {r^2}x\)
Mặt khác ta có: \(r = \frac{{9 - 2x}}{2} = \frac{9}{2} - x \Rightarrow V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x,\,\,0 < x < \frac{9}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(x) = 3{x^2} - 18x + \frac{{81}}{4}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\left( {Do\,\,0 < x < \frac{9}{2}} \right) \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{3}{2}\)
Vậy thể tích lớn nhất có thể của ao là: \(V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} \right)^2}.\frac{3}{2} = \frac{{27}}{2}\pi = 13,5\pi\)
Một thợ xây muốn xây dựng một bể chứa nước hình trụ có thể tích 150 m2. Đáy bể được làm bằng bê tông, thành bể làm bằng tôn, nắp bể làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để làm bể chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m2, tôn 90 nghìn đồng một m2 và nhôm 120 nghìn đồng một m2.
A. 15037000 đồng
B. 15048000 đồng
C. 15038000 đồng
D. 15040000 đồng
Gọi r,h (m2) lần lần lượt là bán kính đường tròn đáy v̀ đường cao của hình trụ. Theo đề ta có:
\(\pi {r^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {r^2}}}.\)
Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm số:
\(f(r) = 100\pi {r^2} + 120\pi {r^2} + 90.2\pi r\frac{{150}}{{\pi {r^2}}} = 220\pi {r^2} + \frac{{27000}}{r}\) (nghìn đồng)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(r) = 440\pi r - \frac{{27000}}{{{r^2}}}\\ f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}} = a \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất là:
\(f(a) = f\left( {\sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}} \right) \approx 15038,38797\) hay 15038000 (đồng)
\(\pi {r^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {r^2}}}.\)
Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm số:
\(f(r) = 100\pi {r^2} + 120\pi {r^2} + 90.2\pi r\frac{{150}}{{\pi {r^2}}} = 220\pi {r^2} + \frac{{27000}}{r}\) (nghìn đồng)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(r) = 440\pi r - \frac{{27000}}{{{r^2}}}\\ f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}} = a \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất là:
\(f(a) = f\left( {\sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}} \right) \approx 15038,38797\) hay 15038000 (đồng)
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{3}{t^{\rm{3}}}{\rm{ + 9}}{t^{\rm{2}}},\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 216 (m/s).
B. 30 (m/s).
C. 400 (m/s).
D. 54 (m/s).
Ta có \(v = s' = \frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 18t\)
Do cần tìm \(v_{max}\) trong 10 giây đầu tiên nên cần tìm GTLN của \(v\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) trên [0;10]
Ta có: \(v'\left( t \right) = - 3t + 18\)
\(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6\)
Do v(t) liên tục và \(v\left( 0 \right) = 0,v\left( {10} \right) = 30,v\left( 6 \right) = 54\)
Do đó \({v_{\max }} = 54\,(m/s).\)
Do cần tìm \(v_{max}\) trong 10 giây đầu tiên nên cần tìm GTLN của \(v\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) trên [0;10]
Ta có: \(v'\left( t \right) = - 3t + 18\)
\(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6\)
Do v(t) liên tục và \(v\left( 0 \right) = 0,v\left( {10} \right) = 30,v\left( 6 \right) = 54\)
Do đó \({v_{\max }} = 54\,(m/s).\)