Câu 1:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Hàm số \(y = {2^{3 - x}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
B. Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
C. Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đạt cực đại tại x=0.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^x} + {2^{2 - x}}\) bằng 4.
Câu 2:
Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức \({L_M} = \log \frac{k}{{{R^2}}}\)(Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B là Ben và LB =5 Ben. Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 3,59 Ben
B. 3,06 Ben
C. 3,69 Ben
D. 4 Ben
Câu 3:
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số có tập xác định là \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 0 \right\}\)
B. \(y' = - \frac{1}{{x\ln 5}}.\)
C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
D. Đồ thị hàm số nhận tiệm cận đứng là trục Oy.
Câu 4:
Cho \({\log _2}3 = a,{\log _3}5 = b\). Biểu diễn \({\log _{12}}90\) tính theo a, b.
A. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab - 2a + 1}}{{a + 2}}\)
B. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab + 2a + 1}}{{a - 2}}\)
C. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab - 2a - 1}}{{a + 2}}\)
D. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab + 2a + 1}}{{a + 2}}\)
Câu 5:
Tính đạo hàm hàm số \(y = x{\rm{ln}}x.\)
A. \(y' = {\rm{ln}}x\)
B. \(y' = {\rm{ln}}x{\rm{ }} + 1\)
C. \(y' = {\rm{ln}}x-1\)
D. \(y' = x{\rm{ln}}x + {\rm{ln}}x\)
Câu 6:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \ln \left( { - {x^2} + 5x - 6} \right).\)
A. \(D = (0; + \infty )\)
B. \(D=(-\infty ;0)\)
C. \(D=(2;3)\)
D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Câu 7:
Cho \(0{\rm{ }} < a,b \ne 1,\,\,\,x\) và y là hai số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\)
B. \({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\)
C. \({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
D. \({\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x\)
Câu 8:
Với các số thực dương a, b bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2 + 2\log {}_2a - 3{\log _2}b.\)
B. \(\ln \frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2\ln 3 + 2\ln b - 3\ln b.\)
C. \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2\log 3 + 2\log a - 3\log b.\)
D. \({\log _3}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2 + 2\log {}_3a - 3{\log _3}b.\)
Câu 9:
Với các số thực dương a, b bất kỳ và \(a \ne 1.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({b^{{{\log }_b}a}} = b.\)
B. \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}.\)
C. \({\log _a}b = \ln a + \ln b.\)
D. \({\log _a}b = \frac{{\log a}}{{\log b}}.\)
Câu 10:
Cho \({\log _2}3 = a;{\log _3}5 = b.\) Tính \({\log _5}30\) theo a, b?
A. \({\log _5}30 = \frac{{ab - b + 1}}{{ab}}.\)
B. \(\frac{{ab + a + 1}}{{ab}}.\)
C. \({\log _5}30 = \frac{{ab + b + 1}}{{ab}}.\)
D. \({\log _5}30 = \frac{{ab - a + 1}}{{ab}}.\)
Câu 11:
Cho \(a = {\log _{25}}7;b = {\log _2}5\) . Tính \({\log _5}\frac{{49}}{8}\) theo a, b.
A. \(\frac{{5ab - 3}}{b}\)
B. \(\frac{{4ab + 3}}{b}\)
C. \(\frac{{4ab - 3}}{b}\)
D. \(\frac{{4ab - 5}}{b}\)
Câu 12:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \frac{{x - 1}}{{x + 2}}.\)
A. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
B. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
C. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
D. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Câu 13:
Với các số thực dương a, b bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\)
B. \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\)
C. \(\log \frac{a}{b} = \log b - \log a\)
D. \(\log \left( {ab} \right) = \log a.\log b\)
Câu 14:
Số nào dưới đây lớn hơn 1?
A. \({\log _\pi }e.\)
B. \({\log _3}2.\)
C. \({\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}.\)
D. \(\ln 3.\)
Câu 15:
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2 + {3^x}} \right).\)
A. \(y = \frac{{{3^x}\ln 3}}{{2 + {3^x}}}.\)
B. \(y = \frac{{{3^x}}}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}}.\)
C. \(y = \frac{{{3^x}}}{{2 + {3^x}}}.\)
D. \(y = \frac{1}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}}.\)
Câu 16:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)} .\)
A. \(D = \left[ {1; + \infty } \right).\)
B. \(D = \left( {1; + \infty } \right).\)
C. C. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right).\)
D. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right].\)
Câu 17:
Cho \({\log _7}12 = x;\,\,{\log _{12}}24 = y;\,\,{\log _{54}}168 = \frac{{{\rm{ax}}y + {\rm{1}}}}{{b{\rm{x}}y + c{\rm{x}}}},\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(S = a + 2b + 3c.\)
A. \(S = 4.\)
B. \(S = 10.\)
C. \(S = 19.\)
D. \(S = 15.\)
Câu 18:
Cho hai số thực dương x, y bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = 2{\log _2}x + {\log _2}y\)
B. \({\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) = 2{\log _2}x.{\log _2}y\)
C. \({\log _2}\frac{{{x^2}}}{y} = \frac{{2{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}\)
D. \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = {\log _2}x + 2{\log _2}y\)
Câu 19:
Tập xác định của hàm số \(y = \ln \left( {1 - \sqrt {x + 1} } \right)\)
A. \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - 1;0} \right)\)
C. \(\left[ { - 1;0} \right]\)
D. \(\left[ { - 1;0} \right)\)
Câu 20:
Cho hàm số \(y = {\log _2}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tập xác định của hàm số là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B. Tập giá trị của hàm số là \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
C. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = x\)
D. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = x - 1\) tại hai điểm phân biệt
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Hàm số \(y = {2^{3 - x}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
B. Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
C. Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đạt cực đại tại x=0.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^x} + {2^{2 - x}}\) bằng 4.
+ \(\left( {{2^{3 - x}}} \right)' = - {2^{3 - x}}.\ln 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) hàm số \(y=2^{3-x}\) nghịch biến trên
+ \(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow\) hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
+ \(\left[ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = - \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\) nên y’ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x=0 nên hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đạt cực đại tại x=0.
+ \(y = {2^x} + {3^{2 - x}} = {2^x} + \frac{4}{{{2^x}}} \ge 2\sqrt {{2^x}.\frac{4}{{{2^x}}}} = 4 \Rightarrow \min y = 4 \Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^x} + {2^{2 - x}}\) bằng 4.
+ \(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow\) hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
+ \(\left[ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = - \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}\) nên y’ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x=0 nên hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) đạt cực đại tại x=0.
+ \(y = {2^x} + {3^{2 - x}} = {2^x} + \frac{4}{{{2^x}}} \ge 2\sqrt {{2^x}.\frac{4}{{{2^x}}}} = 4 \Rightarrow \min y = 4 \Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^x} + {2^{2 - x}}\) bằng 4.
Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức \({L_M} = \log \frac{k}{{{R^2}}}\)(Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B là Ben và LB =5 Ben. Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 3,59 Ben
B. 3,06 Ben
C. 3,69 Ben
D. 4 Ben
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_A} = \log \frac{k}{{O{A^2}}} = 3}\\ {{L_B} = \log \frac{k}{{O{B^2}}} = 5} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {OA = \frac{{\sqrt {10k} }}{{100}}}\\ {OB = \frac{{\sqrt {10k} }}{{1000}}} \end{array}} \right. \Rightarrow AB = \frac{{\sqrt {10k} }}{{100}} + \frac{{\sqrt {10k} }}{{1000}} = \frac{{11\sqrt {10k} }}{{1000}}} \right.\)
Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow ON = \frac{{AB}}{2} - OB = \frac{{11\sqrt {10k} }}{{2000}} - \frac{{\sqrt {10k} }}{{1000}} = \frac{{9\sqrt {10k} }}{{2000}}\)
Suy ra mức cường độ âm tại N bằng \({L_N} = \log \frac{k}{{O{N^2}}} = \log \frac{{{{2000}^2}k}}{{81.10k}} \approx 3,69\) Ben.
Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow ON = \frac{{AB}}{2} - OB = \frac{{11\sqrt {10k} }}{{2000}} - \frac{{\sqrt {10k} }}{{1000}} = \frac{{9\sqrt {10k} }}{{2000}}\)
Suy ra mức cường độ âm tại N bằng \({L_N} = \log \frac{k}{{O{N^2}}} = \log \frac{{{{2000}^2}k}}{{81.10k}} \approx 3,69\) Ben.
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số có tập xác định là \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 0 \right\}\)
B. \(y' = - \frac{1}{{x\ln 5}}.\)
C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
D. Đồ thị hàm số nhận tiệm cận đứng là trục Oy.
Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty ).\)
Cho \({\log _2}3 = a,{\log _3}5 = b\). Biểu diễn \({\log _{12}}90\) tính theo a, b.
A. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab - 2a + 1}}{{a + 2}}\)
B. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab + 2a + 1}}{{a - 2}}\)
C. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab - 2a - 1}}{{a + 2}}\)
D. \({\log _{12}}90 = \frac{{ab + 2a + 1}}{{a + 2}}\)
Ta có: \({\log _2}3.{\log _3}5 = {\log _2}5 = ab\)
Ta có: \({\log _{12}}90 = \frac{{{{\log }_2}90}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}{3^2} + {{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2a + ab}}{{a + 2}}.\)
Ta có: \({\log _{12}}90 = \frac{{{{\log }_2}90}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}{3^2} + {{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2a + ab}}{{a + 2}}.\)
Tính đạo hàm hàm số \(y = x{\rm{ln}}x.\)
A. \(y' = {\rm{ln}}x\)
B. \(y' = {\rm{ln}}x{\rm{ }} + 1\)
C. \(y' = {\rm{ln}}x-1\)
D. \(y' = x{\rm{ln}}x + {\rm{ln}}x\)
\(y = x{\rm{ln}}x \Rightarrow y' = (x\ln x)' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1.\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \ln \left( { - {x^2} + 5x - 6} \right).\)
A. \(D = (0; + \infty )\)
B. \(D=(-\infty ;0)\)
C. \(D=(2;3)\)
D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Điều kiện: \(- {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3\)
Cho \(0{\rm{ }} < a,b \ne 1,\,\,\,x\) và y là hai số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}\)
B. \({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\)
C. \({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\)
D. \({\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x\)
Với \(0{\rm{ }} < a,b \ne 1,\) x và y là hai số dương ta có: \({\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}} = {\log _a}x.{\log _b}a\)
A, B, C là các công thức sai.
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y.\)
\({\log _a}\frac{1}{x} = - {\log _a}x.\)
A, B, C là các công thức sai.
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y.\)
\({\log _a}\frac{1}{x} = - {\log _a}x.\)
Với các số thực dương a, b bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2 + 2\log {}_2a - 3{\log _2}b.\)
B. \(\ln \frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2\ln 3 + 2\ln b - 3\ln b.\)
C. \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2\log 3 + 2\log a - 3\log b.\)
D. \({\log _3}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = 2 + 2\log {}_3a - 3{\log _3}b.\)
Ta có \({\log _2}\frac{{9{a^2}}}{{{b^3}}} = {\log _2}(9{a^2}) - {\log _2}({b^3}) = 2{\log _2}3 + 2{\log _2}a - 3{\log _2}b\) nên A sai.
Với các số thực dương a, b bất kỳ và \(a \ne 1.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({b^{{{\log }_b}a}} = b.\)
B. \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}.\)
C. \({\log _a}b = \ln a + \ln b.\)
D. \({\log _a}b = \frac{{\log a}}{{\log b}}.\)
Ta có \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}\) là công thức đúng.
A, C, D sai vì:
\({b^{{{\log }_b}a}} = a.\)
\({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}.\)
\({\log _a}b = \frac{{{\mathop{\rm logb}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm loga}\nolimits} }}.\)
A, C, D sai vì:
\({b^{{{\log }_b}a}} = a.\)
\({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}.\)
\({\log _a}b = \frac{{{\mathop{\rm logb}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm loga}\nolimits} }}.\)
Cho \({\log _2}3 = a;{\log _3}5 = b.\) Tính \({\log _5}30\) theo a, b?
A. \({\log _5}30 = \frac{{ab - b + 1}}{{ab}}.\)
B. \(\frac{{ab + a + 1}}{{ab}}.\)
C. \({\log _5}30 = \frac{{ab + b + 1}}{{ab}}.\)
D. \({\log _5}30 = \frac{{ab - a + 1}}{{ab}}.\)
Ta có \({\log _5}30 = \frac{{{{\log }_3}30}}{{{{\log }_3}5}} = \frac{{{{\log }_3}3 + {{\log }_3}10}}{b} = \frac{{1 + {{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}}{b} = \frac{{1 + \frac{1}{a} + b}}{b} = \frac{{ab + a + 1}}{{ab}}.\)
Cho \(a = {\log _{25}}7;b = {\log _2}5\) . Tính \({\log _5}\frac{{49}}{8}\) theo a, b.
A. \(\frac{{5ab - 3}}{b}\)
B. \(\frac{{4ab + 3}}{b}\)
C. \(\frac{{4ab - 3}}{b}\)
D. \(\frac{{4ab - 5}}{b}\)
\({\log _{25}}7 = \frac{1}{2}{\log _5}7 = a \Rightarrow {\log _5}7 = 2a\); \({\log _2}5 = b \Rightarrow {\log _5}2 = \frac{1}{b}\)
\({\log _5}\frac{{49}}{8} = {\log _5}49 - {\log _5}8 = 2{\log _5}7 - 3{\log _5}2 = 4a - \frac{3}{b} = \frac{{4ab - 3}}{b}.\)
\({\log _5}\frac{{49}}{8} = {\log _5}49 - {\log _5}8 = 2{\log _5}7 - 3{\log _5}2 = 4a - \frac{3}{b} = \frac{{4ab - 3}}{b}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \frac{{x - 1}}{{x + 2}}.\)
A. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
B. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
C. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
D. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\( y' = \left( {\ln \frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)' = \frac{{\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)'}}{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}}}} = \frac{{\frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}}{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}}}} = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}. \)
Với các số thực dương a, b bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\)
B. \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\)
C. \(\log \frac{a}{b} = \log b - \log a\)
D. \(\log \left( {ab} \right) = \log a.\log b\)
Quy tắc tính logarit một tích, một thương:
\({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\)
\({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\)
\({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\)
\({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\)
Số nào dưới đây lớn hơn 1?
A. \({\log _\pi }e.\)
B. \({\log _3}2.\)
C. \({\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}.\)
D. \(\ln 3.\)
\({\log _a}b > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 < a < b\\
0 < b < a < 1
\end{array} \right..\)
1 < a < b\\
0 < b < a < 1
\end{array} \right..\)
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2 + {3^x}} \right).\)
A. \(y = \frac{{{3^x}\ln 3}}{{2 + {3^x}}}.\)
B. \(y = \frac{{{3^x}}}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}}.\)
C. \(y = \frac{{{3^x}}}{{2 + {3^x}}}.\)
D. \(y = \frac{1}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}}.\)
Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2 + {3^x}} \right)'}}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}} = \frac{{{3^x}\ln 3}}{{\left( {2 + {3^x}} \right)\ln 3}} = \frac{{{3^x}}}{{2 + {3^x}}}.\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)} .\)
A. \(D = \left[ {1; + \infty } \right).\)
B. \(D = \left( {1; + \infty } \right).\)
C. C. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right).\)
D. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right].\)
Hàm số xác định khi: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 1 > 0\\{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\2{\rm{x}} - 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \le 1.\)
Cho \({\log _7}12 = x;\,\,{\log _{12}}24 = y;\,\,{\log _{54}}168 = \frac{{{\rm{ax}}y + {\rm{1}}}}{{b{\rm{x}}y + c{\rm{x}}}},\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(S = a + 2b + 3c.\)
A. \(S = 4.\)
B. \(S = 10.\)
C. \(S = 19.\)
D. \(S = 15.\)
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\left\{ \begin{array}{l}{\log _7}12 = x\\{\log _{12}}24 = y\end{array} \right. \Rightarrow xy = {\log _7}12.{\log _{12}}24 = {\log _7}24\\ \Rightarrow {\log _{54}}168 = \frac{{{{\log }_7}168}}{{{{\log }_7}54}} = \frac{{{{\log }_7}\left( {24.7} \right)}}{{{{\log }_7}54}} = \frac{{{{\log }_7}24 + {{\log }_7}7}}{{{{\log }_7}54}} = \frac{{xy + 1}}{{{{\log }_7}54}} \Rightarrow a = 1.\\ \bullet \,\,b{\rm{x}}y + c{\rm{x}} = {\log _7}54 \Leftrightarrow b{\log _7}24 + c{\log _7}12 = {\log _7}54 \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{{24}^b}{{.12}^c}} \right) = {\log _7}54\\ \Leftrightarrow {24^b}{.12^c} = 54 \Leftrightarrow c = {\log _{12}}\frac{{54}}{{{{24}^b}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\c = 8\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b + 3c = 1 + 2.\left( { - 5} \right) + 3.8 = 15.\end{array}\)
Cho hai số thực dương x, y bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = 2{\log _2}x + {\log _2}y\)
B. \({\log _2}\left( {{x^2} + y} \right) = 2{\log _2}x.{\log _2}y\)
C. \({\log _2}\frac{{{x^2}}}{y} = \frac{{2{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}\)
D. \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = {\log _2}x + 2{\log _2}y\)
Ta có \({\log _2}\left( {{x^2}y} \right) = {\log _2}{x^2} + {\log _2}y = 2{\log _2}x + {\log _2}y\)
Tập xác định của hàm số \(y = \ln \left( {1 - \sqrt {x + 1} } \right)\)
A. \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - 1;0} \right)\)
C. \(\left[ { - 1;0} \right]\)
D. \(\left[ { - 1;0} \right)\)
Hàm số đã cho xác định khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0}\\{1 - \sqrt {x + 1} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{\sqrt {x + 1} < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x + 1 < 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x < 0\)
Cho hàm số \(y = {\log _2}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tập xác định của hàm số là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B. Tập giá trị của hàm số là \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
C. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = x\)
D. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = x - 1\) tại hai điểm phân biệt
Hàm số \(y = {\log _2}x\) có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) nên A đúng.
Hàm số \(y = {\log _2}x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R} \Rightarrow \) B đúng
Xét \({\log _2}x = x - 1 \Leftrightarrow x = {2^{x - 1}} \Leftrightarrow 2x = {2^x},\) phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x = 1,x = 2 \Rightarrow D\) đúng.
Vậy C là khẳng định sai. Thật vậy: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta dễ dàng chứng mình được \({2^x} > x,\forall x \Rightarrow x = {\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^x}\) vô nghiệm.
Hàm số \(y = {\log _2}x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R} \Rightarrow \) B đúng
Xét \({\log _2}x = x - 1 \Leftrightarrow x = {2^{x - 1}} \Leftrightarrow 2x = {2^x},\) phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x = 1,x = 2 \Rightarrow D\) đúng.
Vậy C là khẳng định sai. Thật vậy: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta dễ dàng chứng mình được \({2^x} > x,\forall x \Rightarrow x = {\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^x}\) vô nghiệm.