Câu 1:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log ({x^2} - x).\)
A. \(y' = \frac{1}{{({x^2} - x)\ln 10}}.\)
B. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}.\)
C. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{({x^2} - x)\log e}}.\)
D. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}.loge.\)
Câu 2:
Cho \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\) và \({\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(a > 1;\,\,\,b > 1\)
B. \(a > 1;\,\,\,0 < b < 1\)
C. \(0 < a < 1;\,\,b > 1\)
D. \(0 < a < 1;\,\,0 < b < 1\)
Câu 3:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \ln \left( {\ln \left( {5 - {x^2}} \right)} \right).\)
A. \(D = \left( {5; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ;5} \right)\)
C. \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)
D. \(D = \left( { - 2;2} \right)\)
Câu 4:
Cho các số thực dương a, b với \(a \ne 1.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = 6 + \frac{3}{2}{\log _a}b\)
B. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6}{\log _a}b\)
C. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{3}{2}{\log _a}b\)
D. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{1}{6}{\log _a}b\)
Câu 5:
Cho \(a = {\log _{27}}5;b = {\log _8}7;c = {\log _2}3.\) Biểu diễn \({\log _6}35\) theo a,b,c.
A. \({\log _6}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{a + c}}\)
B. \({\log _6}35 = \frac{{2\left( {b + ac} \right)}}{{1 + c}}\)
C. \({\log _6}35 = \frac{{b + ac}}{{1 + c}}\)
D. \({\log _6}35 = \frac{{b + ac}}{{2\left( {1 + c} \right)}}\)
Câu 6:
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\) (với \(0 < a \ne 1;\,0 < b \ne 1\)).
A. P=2.
B. P=1.
C. \(P=\sqrt 3\).
D. \(P=\sqrt 2\).
Câu 7:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {x + 1} \right) - 2\ln \left( {x - 1} \right) + 2x\) tại điểm x=2.
A. \(y'(2) = \frac{1}{3}\).
B. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}} + 2\).
C. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}} - 1\).
D. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}}\).
Câu 8:
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x} \right)\). Tìm tập nghiệm của bất phương trình y'>0.
A. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
B. \(\left( { - \infty ;0} \right).\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right).\)
D. \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Câu 9:
Cho hai số dương a, b thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Chọn đẳng thức đúng?
A. \(\log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\)
B. \(\log a + \log b = \frac{1}{2}\log \left( {7ab} \right).\)
C. \(\log {a^2} + \log {b^2} = \log \left( {7ab} \right).\)
D. \(\log a + \log b = \frac{1}{7}\log \left( {{a^2} + {b^2}} \right).\)
Câu 10:
Cho \(a = {\log _2}3;\;\,\,b = {\log _3}5;\;\,\,c = {\log _7}2.\) Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo a, b, c.
A. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}.\)
B. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c -1}}.\)
C. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc - 2c + 1}}.\)
D. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac - 1}}{{abc + 2c + 1}}.\)
Câu 11:
Cho các số thực dương a, b, c với \(c\neq 1\). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \({\log _c}\frac{a}{b} = {\log _c}a - {\log _c}b.\)
B. \({\log _c}\frac{a}{b} = \frac{{\ln a - \ln b}}{{\ln c}}.\)
C. \(\log _c^2{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = 4\left( {{{\log }_c}a - {{\log }_c}b} \right).\)
D. \({\log _{{c^2}}}\frac{a}{{{b^2}}} = \frac{1}{2}{\log _c}a - {\log _c}b.\)
Câu 12:
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)} .\)
A. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right].\)
B. \(D = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
C. \(D = \left[ {\frac{1}{2};1} \right].\)
D. \(D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Câu 13:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log {}_{\sqrt 3 }\left| {2x - 5} \right|.\)
A. \(y' = \frac{4}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\)
B. \(y' = \frac{4}{{\left| {2x - 5} \right|\ln 3}}.\)
C. \(y' = \frac{1}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\)
D. \(y' = \frac{2}{{\left| {2x - 5} \right|\ln 3}}.\)
Câu 14:
Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. \({\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\)
B. \({\log _2}\sqrt {xy} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\)
C. \({\log _2}xy = {\log _2}x + {\log _2}y\)
D. \({\log _2}\frac{x}{y} = {\log _2}x - {\log _2}y\)
Câu 15:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right).\)
A. \(y' = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}\)
C. \(y' = \frac{{4\ln 3}}{{4x + 1}}\)
D. \(y' = \frac{{\ln 3}}{{4x + 1}}\)
Câu 16:
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x=7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) lần lượt tại H, M và N. Biết rằng HM=HN. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a=7b\)
B. \(a=b^2\)
C. \(a=b^7\)
D. \(a=2b\)
Câu 17:
Cho \({\log _2}3 = a,{\log _2}5 = b.\) Tính \({\log _6}45\) theo a, b.
A. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2b}}{{2\left( {1 + a} \right)}}\)
B. \({\log _6}45 = 2a + b\)
C. \({\log _6}45 = \frac{{2a + b}}{{1 + a}}\)
D. \({\log _6}45 = a + b - 1\)
Câu 18:
Với các số thực dương a, b bất kì. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(\log \left( {ab} \right) = \log \left( {a + b} \right)\)
B. \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\)
C. \(\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = \log \left( {a - b} \right)\)
D. \(\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = {\log _b}a\)
Câu 19:
Cho các số thực a, b, c thỏa \(0 < a \ne 1\) và b>0, c>0. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)
B. \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b\)
C. \({a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}} = c \Leftrightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right){\log _a}b = {\log _a}c\)
D. \({\log _a}f\left( x \right) < g\left( x \right) \Leftrightarrow 0 < f\left( x \right) < {a^{g\left( x \right)}}\)
Câu 20:
Tìm tập xác định D cuả hàm số \(y = \sqrt {3 - {2^{x + 1}} - {4^x}} .\)
A. \(D=\mathbb{R}\)
B. \(D = \left[ {0; + \infty } \right).\)
C. \(D = \left( { - \infty ;0} \right].\)
D. \(D = \left[ { - 3;1} \right].\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log ({x^2} - x).\)
A. \(y' = \frac{1}{{({x^2} - x)\ln 10}}.\)
B. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}.\)
C. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{({x^2} - x)\log e}}.\)
D. \(y' = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}.loge.\)
Ta có \(y' = \left[ {\log ({x^2} - x)} \right]' = \frac{{({x^2} - x)'}}{{({x^2} - x)\ln 10}} = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x}}\log e.\)
Cho \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}\) và \({\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(a > 1;\,\,\,b > 1\)
B. \(a > 1;\,\,\,0 < b < 1\)
C. \(0 < a < 1;\,\,b > 1\)
D. \(0 < a < 1;\,\,0 < b < 1\)
Do \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5},\,\,{a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}} \Rightarrow 0 < a < 1.\)
Và \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3};\,{\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3} \Rightarrow b > 1.\)
Và \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3};\,{\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3} \Rightarrow b > 1.\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \ln \left( {\ln \left( {5 - {x^2}} \right)} \right).\)
A. \(D = \left( {5; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ;5} \right)\)
C. \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)
D. \(D = \left( { - 2;2} \right)\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} \ln \left( {5 - {x^2}} \right) > 0\\ 5 - {x^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 5 - {x^2} > 1 \Leftrightarrow {x^2} < 4 \Leftrightarrow \left| x \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\) Vậy hàm số đã cho có tập xác định là \(D = \left( { - 2;2} \right).\)
Cho các số thực dương a, b với \(a \ne 1.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = 6 + \frac{3}{2}{\log _a}b\)
B. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6}{\log _a}b\)
C. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{3}{2}{\log _a}b\)
D. \({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = \frac{1}{6}{\log _a}b\)
\({\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {{a^2}\sqrt b } \right) = {\log _{{a^{\frac{1}{3}}}}}\left( {{a^2}{b^{\frac{1}{2}}}} \right) = 3{\log _a}\left( {{a^2}{b^{\frac{1}{2}}}} \right) = 3\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\)
\(= 3\left( {2 + \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right) = 6 + \frac{3}{2}{\log _a}b.\)
\(= 3\left( {2 + \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right) = 6 + \frac{3}{2}{\log _a}b.\)
Cho \(a = {\log _{27}}5;b = {\log _8}7;c = {\log _2}3.\) Biểu diễn \({\log _6}35\) theo a,b,c.
A. \({\log _6}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{a + c}}\)
B. \({\log _6}35 = \frac{{2\left( {b + ac} \right)}}{{1 + c}}\)
C. \({\log _6}35 = \frac{{b + ac}}{{1 + c}}\)
D. \({\log _6}35 = \frac{{b + ac}}{{2\left( {1 + c} \right)}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 3a = {\log _3}5\\ 3b = {\log _2}7\\ c = {\log _2}3 \end{array} \right.\)
Suy ra: \({\log _2}3.{\log _3}5 = {\log _2}5 = 3ac\)
Khi đó: \({\log _6}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {7.5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{1 + c}}.\)
Suy ra: \({\log _2}3.{\log _3}5 = {\log _2}5 = 3ac\)
Khi đó: \({\log _6}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {7.5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{1 + c}}.\)
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\) (với \(0 < a \ne 1;\,0 < b \ne 1\)).
A. P=2.
B. P=1.
C. \(P=\sqrt 3\).
D. \(P=\sqrt 2\).
\(\begin{array}{l} P = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {\log _{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}{b^{ - 2}}\\ \,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left[ {{{\log }_a}{a^{10}} + {{\log }_a}{b^2}} \right] + 2\left[ {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right] + 3.\left( { - 2} \right){\log _b}b\\ \,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left[ {10 + 2{{\log }_a}b} \right] + 2\left[ {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right] - 6 = 1. \end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {x + 1} \right) - 2\ln \left( {x - 1} \right) + 2x\) tại điểm x=2.
A. \(y'(2) = \frac{1}{3}\).
B. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}} + 2\).
C. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}} - 1\).
D. \(y'(2) = \frac{1}{{3\ln 3}}\).
Ta có: \(y' = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 3}} - 2.\frac{1}{{x - 1}} + 2 \Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{3\ln 3}} - 2 + 2 = \frac{1}{{3\ln 3}}.\)
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x} \right)\). Tìm tập nghiệm của bất phương trình y'>0.
A. \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
B. \(\left( { - \infty ;0} \right).\)
C. \(\left( {1; + \infty } \right).\)
D. \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < 0} \end{array} \Rightarrow D = \left( { - \infty ;0} \right)} \right. \cup \left( {2; + \infty } \right)\) (1)
Khi đó \(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]' > 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln \frac{1}{3}}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 0}\\ {1 < x < 2} \end{array}} \right.\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow S = \left( { - \infty ;0} \right).\)
Khi đó \(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]' > 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln \frac{1}{3}}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 0}\\ {1 < x < 2} \end{array}} \right.\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow S = \left( { - \infty ;0} \right).\)
Cho hai số dương a, b thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 7ab\). Chọn đẳng thức đúng?
A. \(\log \frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).\)
B. \(\log a + \log b = \frac{1}{2}\log \left( {7ab} \right).\)
C. \(\log {a^2} + \log {b^2} = \log \left( {7ab} \right).\)
D. \(\log a + \log b = \frac{1}{7}\log \left( {{a^2} + {b^2}} \right).\)
Ta có \({a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab \Leftrightarrow a + b = 3\sqrt {ab} .\) Khi đó:
\(\log \frac{{a + b}}{3} = \log \sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\)
\(\log a + \log b = \log \left( {ab} \right)\)
\(\log {a^2} + \log {b^2} = \log {\left( {ab} \right)^2}\)
\(\log a + \log b = \log ab = \log \frac{{{a^2} + {b^2}}}{7} = \log \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \log 7.\)
\(\log \frac{{a + b}}{3} = \log \sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right)\)
\(\log a + \log b = \log \left( {ab} \right)\)
\(\log {a^2} + \log {b^2} = \log {\left( {ab} \right)^2}\)
\(\log a + \log b = \log ab = \log \frac{{{a^2} + {b^2}}}{7} = \log \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \log 7.\)
Cho \(a = {\log _2}3;\;\,\,b = {\log _3}5;\;\,\,c = {\log _7}2.\) Hãy tính \({\log _{140}}63\) theo a, b, c.
A. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}.\)
B. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c -1}}.\)
C. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac + 1}}{{abc - 2c + 1}}.\)
D. \({\log _{140}}63 = \frac{{2ac - 1}}{{abc + 2c + 1}}.\)
Ta có: \({\log _{140}}63 = {\log _{140}}9 + {\log _{140}}7 = 2{\log _{140}}9 + {\log _{140}}7\)
\(2{\log _{140}}3 = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} = \frac{2}{{{{\log }_3}7 + 2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}}\)
\(= \frac{2}{{{{\log }_3}2.{{\log }_2}7 + \frac{2}{a} + b}} = \frac{2}{{\frac{1}{{ca}} + \frac{2}{a} + b}} = \frac{{2ca}}{{1 + 2c + abc}}\)
\({\log _{140}}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}140}} = \frac{1}{{{{\log }_7}7 + 2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5}}\)
\(= \frac{1}{{1 + 2c + {{\log }_7}2.{{\log }_2}3.{{\log }_3}5}} = \frac{1}{{1 + 2c + abc}}\)
Vậy: \({\log _{140}}63 = \frac{{2ca}}{{1 + 2c + abc}} + \frac{1}{{1 + 2c + abc}} = \frac{{2ac + 1}}{{1 + 2c + abc}}.\)
\(2{\log _{140}}3 = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} = \frac{2}{{{{\log }_3}7 + 2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}}\)
\(= \frac{2}{{{{\log }_3}2.{{\log }_2}7 + \frac{2}{a} + b}} = \frac{2}{{\frac{1}{{ca}} + \frac{2}{a} + b}} = \frac{{2ca}}{{1 + 2c + abc}}\)
\({\log _{140}}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}140}} = \frac{1}{{{{\log }_7}7 + 2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5}}\)
\(= \frac{1}{{1 + 2c + {{\log }_7}2.{{\log }_2}3.{{\log }_3}5}} = \frac{1}{{1 + 2c + abc}}\)
Vậy: \({\log _{140}}63 = \frac{{2ca}}{{1 + 2c + abc}} + \frac{1}{{1 + 2c + abc}} = \frac{{2ac + 1}}{{1 + 2c + abc}}.\)
Cho các số thực dương a, b, c với \(c\neq 1\). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \({\log _c}\frac{a}{b} = {\log _c}a - {\log _c}b.\)
B. \({\log _c}\frac{a}{b} = \frac{{\ln a - \ln b}}{{\ln c}}.\)
C. \(\log _c^2{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = 4\left( {{{\log }_c}a - {{\log }_c}b} \right).\)
D. \({\log _{{c^2}}}\frac{a}{{{b^2}}} = \frac{1}{2}{\log _c}a - {\log _c}b.\)
\(\log _c^2{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = {\left[ {2\left( {{{\log }_c}a - {{\log }_c}b} \right)} \right]^2} = 4{\left( {{{\log }_c}a - {{\log }_c}b} \right)^2}.\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)} .\)
A. \(D = \left( {\frac{1}{2};1} \right].\)
B. \(D = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
C. \(D = \left[ {\frac{1}{2};1} \right].\)
D. \(D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ 2x - 1 \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ x \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \le 1.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ 2x - 1 \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \frac{1}{2}\\ x \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \le 1.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log {}_{\sqrt 3 }\left| {2x - 5} \right|.\)
A. \(y' = \frac{4}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\)
B. \(y' = \frac{4}{{\left| {2x - 5} \right|\ln 3}}.\)
C. \(y' = \frac{1}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\)
D. \(y' = \frac{2}{{\left| {2x - 5} \right|\ln 3}}.\)
Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^\prime }}}{{\left( {2x - 5} \right).\ln \sqrt 3 }} = \frac{2}{{\frac{1}{2}.\left( {2x - 5} \right)\ln 3}} = \frac{4}{{\left( {2x - 5} \right)\ln 3}}.\)
Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. \({\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\)
B. \({\log _2}\sqrt {xy} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)\)
C. \({\log _2}xy = {\log _2}x + {\log _2}y\)
D. \({\log _2}\frac{x}{y} = {\log _2}x - {\log _2}y\)
Ta có \({\log _2}x + {\log _2}y = {\log _2}\left( {xy} \right)\) nên A sai.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right).\)
A. \(y' = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}\)
C. \(y' = \frac{{4\ln 3}}{{4x + 1}}\)
D. \(y' = \frac{{\ln 3}}{{4x + 1}}\)
Ta có \(y' = \frac{{\left( {4x + 1} \right)'}}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}.\)
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x=7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) lần lượt tại H, M và N. Biết rằng HM=HN. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a=7b\)
B. \(a=b^2\)
C. \(a=b^7\)
D. \(a=2b\)
Ta có: \(HM = MN \Rightarrow NH = 2MH \Rightarrow {\log _b}7 = 2{\log _a}7\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_7}b}} = \frac{2}{{{{\log }_7}a}} \Rightarrow a = {b^2}.\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_7}b}} = \frac{2}{{{{\log }_7}a}} \Rightarrow a = {b^2}.\)
Cho \({\log _2}3 = a,{\log _2}5 = b.\) Tính \({\log _6}45\) theo a, b.
A. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2b}}{{2\left( {1 + a} \right)}}\)
B. \({\log _6}45 = 2a + b\)
C. \({\log _6}45 = \frac{{2a + b}}{{1 + a}}\)
D. \({\log _6}45 = a + b - 1\)
Ta có \({\log _6}45 = {\log _6}9 + {\log _6}5 = \frac{2}{{{{\log }_3}6}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}6}}\)
\(= \frac{2}{{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}}}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{b}{{1 + a}} = \frac{{2a + b}}{{1 + a}}\)
\(= \frac{2}{{1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}}}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{b}{{1 + a}} = \frac{{2a + b}}{{1 + a}}\)
Với các số thực dương a, b bất kì. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(\log \left( {ab} \right) = \log \left( {a + b} \right)\)
B. \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\)
C. \(\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = \log \left( {a - b} \right)\)
D. \(\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = {\log _b}a\)
Với các số thực dương a, b bất kì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b}\\ {\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = \log a - \log b} \end{array}} \right.\)
Cho các số thực a, b, c thỏa \(0 < a \ne 1\) và b>0, c>0. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)
B. \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b\)
C. \({a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}} = c \Leftrightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right){\log _a}b = {\log _a}c\)
D. \({\log _a}f\left( x \right) < g\left( x \right) \Leftrightarrow 0 < f\left( x \right) < {a^{g\left( x \right)}}\)
Dễ thấy A và B đúng.
C đúng vì:
\(\begin{array}{l} {a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}} = c \Leftrightarrow {\log _a}({a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}}) = {\log _a}c\\ \Leftrightarrow {\log _a}({a^{f\left( x \right)}}) + {\log _a}({b^{g(x)}}) = {\log _a}c\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right){\log _a}b = {\log _a}c \end{array}\)
\(log_f(x) < g(x)\Leftrightarrow 0 < f(x)< a^{g(x)}\) chỉ đúng khi cơ số a>1.
Vậy với \(0<a\neq 1\) thì đẳng thức \(log_f(x) < g(x)\Leftrightarrow 0 < f(x)< a^{g(x)}\) chưa chắc đúng.
C đúng vì:
\(\begin{array}{l} {a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}} = c \Leftrightarrow {\log _a}({a^{f\left( x \right)}}{b^{g\left( x \right)}}) = {\log _a}c\\ \Leftrightarrow {\log _a}({a^{f\left( x \right)}}) + {\log _a}({b^{g(x)}}) = {\log _a}c\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right){\log _a}b = {\log _a}c \end{array}\)
\(log_f(x) < g(x)\Leftrightarrow 0 < f(x)< a^{g(x)}\) chỉ đúng khi cơ số a>1.
Vậy với \(0<a\neq 1\) thì đẳng thức \(log_f(x) < g(x)\Leftrightarrow 0 < f(x)< a^{g(x)}\) chưa chắc đúng.
Tìm tập xác định D cuả hàm số \(y = \sqrt {3 - {2^{x + 1}} - {4^x}} .\)
A. \(D=\mathbb{R}\)
B. \(D = \left[ {0; + \infty } \right).\)
C. \(D = \left( { - \infty ;0} \right].\)
D. \(D = \left[ { - 3;1} \right].\)
Hàm số đã cho xác định khi \(3 - {2.2^x} - {4^x} > 0.\)
Đặt \(t = {2^x}\left( {t > 0} \right).\)
Khi đó: \(- {t^2} - 2t + 3 > 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < t < 1 \Leftrightarrow {2^x} < 1 \Leftrightarrow x < 0.\)
Đặt \(t = {2^x}\left( {t > 0} \right).\)
Khi đó: \(- {t^2} - 2t + 3 > 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < t < 1 \Leftrightarrow {2^x} < 1 \Leftrightarrow x < 0.\)