Câu 1:
Với các số thực dương x,y bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _2}\left( {\frac{x}{y}} \right) = \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}.\)
B. \({\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y.\)
C. \({\log _2}\left( {\frac{{{x^2}}}{y}} \right) = 2{\log _2}x - {\log _2}y.\)
D. \({\log _2}\left( {xy} \right) = {\log _2}x.{\log _2}y.\)
Câu 2:
Biết \({\log _{27}}5 = a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b,{\rm{ }}{\log _2}3 = c.\) Biểu diễn \({\log _{12}}35\) theo a,b,c.
A. \({\log _{12}}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 2}}.\)
B. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 1}}.\)
C. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}.\)
D. \({\log _{12}}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 1}}.\)
Câu 3:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số \(y = \ln \left| x \right|\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne0\) và \({\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{\left| x \right|}}.\)
B. \({\log _{0,02}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{0,02}}x \Leftrightarrow x - 1 < x.\)
C. Đồ thị của hàm số \(y =\log_2x\) nằm phía bên trái trục tung.
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _2}x = - \infty .\)
Câu 4:
Cho \({\left( {0,1a} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {0,1a} \right)^{\sqrt 2 }}\) và \({\log _b}\frac{2}{3} < {\log _b}\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 10\\ b < 1 \end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 10\\ 0 < b < 1 \end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 10\\ b > 1 \end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 10\\ 0 < b < 1 \end{array} \right..\)
Câu 5:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\)
A. \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
B. \(y' = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C. \(y' = \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
D. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Câu 6:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{10}}{3}\)
B. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{14}}{3}\)
C. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{15}}{3}\)
D. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = 4\)
Câu 7:
Cho \(0 < a < b < 1,\) mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \({\log _b}a > {\log _a}b\)
B. \({\log _b}a < 0\)
C. \({\log _b}a < {\log _a}b\)
D. \({\log _a}b > 1\)
Câu 8:
Cho các số thực dương a,b với \(a\neq 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
B. \({\log _{{a^4}}}(ab) = 4 + 4{\log _a}b\)
C. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
D. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b\)
Câu 9:
Cho các phát biểu sau:
(1). Hàm số \(\dpi{100} y= \ln x\) là hàm số nghịch biến trên \left( {0; + \infty } \right)
(2). Trên khoảng (1;3) hàm số y = {\log _{\frac{1}{2}}}x nghịch biến.
(3). Nếu {\log _a}3 < 0 thì 0 < a < 1
Đâu là những phát biểu đúng?
A. (1)
B. (2) (3)
C. (1) (3)
D. (2)
Câu 10:
Cho \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b.\) Biểu diễn \({\log _3}135\) theo a và b.
A. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{b}\)
B. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{b}\)
C. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{a}\)
D. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{a}\)
Câu 11:
Để đảm bảo điều kiện sinh sống của người dân tại thành phố X, một nhóm các nhà khoa học cho biết với các điều kiện y tế, giáo dục, cơ sở hạ tầng,…của thành phố thì chỉ nên có tối đa 60.000 người dân sinh sống. Các nhà khoa học cũng chỉ ra rằng dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{ni}},\) trong đó A là dân số của năm được lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm và i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Giả sử vào thời điểm hiện tại thành phố X có 50.000 người dân và tỉ lệ tăng dân số là 1,3%/năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì dân số thành phố bắt đầu vượt ngưỡng cho phép, biết rằng số liệu chỉ được lấy vào đầu mỗi năm và giả thiết tỉ lệ tăng dân số không thay đổi?
A. 13 năm
B. 14 năm
C. 15 năm
D. 16 năm
Câu 12:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{{{(x - 1)}^{\sqrt 3 }}}}{{\log (9 - x)}}.\)
A. D=(1;9)
B. \(D = (1;9)\backslash \left\{ 8 \right\}\)
C. \(D = \left[ {1;9} \right]\backslash \left\{ 8 \right\}\)
D. \(D = \left[ {1;9} \right)\backslash \left\{ 8 \right\}\)
Câu 13:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} ).\)
A. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\)
B. \(y' = \frac{2}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
D. \(y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Câu :
Cho a,b > 0;a,b \ne 1 và x y, là hai số dương. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\log _{\frac{1}{a}}^2{x^2} = - 4.\log _a^2x\)
B. \(\log _a(xy) = \log _a^{}x + {\log _a}y\)
C. \({\log _a}{x^{2016}} = 2016.{\log _a}x\)
D. \({\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}\)
Câu 15:
Cho x>0 thỏa mãn \({\log _2}({\log _8}x) = {\log _8}({\log _2}x).\) Tính \({({\log _2}x)^2}.\)
A. \({({\log _2}x)^2} = 3\)
B. \({({\log _2}x)^2} = 3\sqrt 3\)
C. \({({\log _2}x)^2} = 27\)
D. \({({\log _2}x)^2} = 9\)
Câu 16:
Cho \(a,b>0\) và \(a,b\neq 1\). Đặt \({\log _a}b=\alpha\) = a , tính theo a giá trị biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3}.\)
A. \(P = \frac{{2 - 5{\alpha ^2}}}{\alpha }\)
B. \(P = \frac{{{\alpha ^2} - 12}}{{2\alpha }}\)
C. \(P = \frac{{4{\alpha ^2} - 3}}{{2\alpha }}\)
D. \(P = \frac{{{\alpha ^2} - 3}}{\alpha }\)
Câu 17:
Cho hai số thực dương a và b với \(a\neq 1\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b\)
B. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
C. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + 2{\log _a}b.\)
D. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\)
Câu 18:
Đặt \(a = {\log _3}4,{\rm{ }}b = {\log _5}4\) Hãy biểu diễn \({\log _{12}}80\) theo a và b.
A. \({\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)
B. \({\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}\)
C. \({\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
D. \({\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)
Câu 19:
Xét a và b là hai số thực dương tùy ý. Đặt \(x = \ln {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^{1000}},{\rm{ }}y = 1000\ln a - \ln \frac{1}{{{b^{1000}}}}.\)
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. x<y.
B. x>y.
C. \(x\leq y\)
D. \(x\geq y\)
Câu 20:
Năm 1992, người ta đã biết số \(p = {2^{756839}} - 1\) là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của khi viết trong hệ thập phân.
A. 227830 chữ số
B. 227834 chữ số.
C. 227832 chữ số.
D. 227831 chữ số.
Với các số thực dương x,y bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _2}\left( {\frac{x}{y}} \right) = \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}.\)
B. \({\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y.\)
C. \({\log _2}\left( {\frac{{{x^2}}}{y}} \right) = 2{\log _2}x - {\log _2}y.\)
D. \({\log _2}\left( {xy} \right) = {\log _2}x.{\log _2}y.\)
\({\log _2}\left( {\frac{{{x^2}}}{y}} \right) = {\log _2}{x^2} - {\log _2}y = 2{\log _2}x - {\log _2}y.\)
Biết \({\log _{27}}5 = a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b,{\rm{ }}{\log _2}3 = c.\) Biểu diễn \({\log _{12}}35\) theo a,b,c.
A. \({\log _{12}}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 2}}.\)
B. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 1}}.\)
C. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}.\)
D. \({\log _{12}}35 = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 1}}.\)
Ta có: \({\log _{27}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5 = a \Leftrightarrow {\log _3}5 = 3a\), \({\log _8}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 = b \Leftrightarrow {\log _2}7 = 3b.\)
Mà:
\(\begin{array}{l} {\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}\left( {7.5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}\\ = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 2}}. \end{array}\)
Mà:
\(\begin{array}{l} {\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}\left( {7.5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}\\ = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3\left( {b + ac} \right)}}{{c + 2}}. \end{array}\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số \(y = \ln \left| x \right|\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne0\) và \({\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{\left| x \right|}}.\)
B. \({\log _{0,02}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{0,02}}x \Leftrightarrow x - 1 < x.\)
C. Đồ thị của hàm số \(y =\log_2x\) nằm phía bên trái trục tung.
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _2}x = - \infty .\)
A sai, đúng là Hàm số \(y = \ln \left| x \right|\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne 0\) và \({\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{x}.\)
B sai, đúng là: \({\log _{0,02}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{0,02}}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 < x\\ x - 1 > 0 \end{array} \right..\)
C sai, đúng là đồ thị hàm số \(y=\log_2x\) nằm phía bên phải trục tung vì TXĐ của hàm số là \((0; + \infty ).\)
D đúng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _2}x = - \infty .\)
B sai, đúng là: \({\log _{0,02}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{0,02}}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 < x\\ x - 1 > 0 \end{array} \right..\)
C sai, đúng là đồ thị hàm số \(y=\log_2x\) nằm phía bên phải trục tung vì TXĐ của hàm số là \((0; + \infty ).\)
D đúng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _2}x = - \infty .\)
Cho \({\left( {0,1a} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {0,1a} \right)^{\sqrt 2 }}\) và \({\log _b}\frac{2}{3} < {\log _b}\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 10\\ b < 1 \end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 10\\ 0 < b < 1 \end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 10\\ b > 1 \end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 10\\ 0 < b < 1 \end{array} \right..\)
Do \(\sqrt 3 > \sqrt 2\) nên ta có \({\left( {0,1.a} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {0,1.a} \right)^{\sqrt 2 }} \Rightarrow 0,1.a < 1 \Rightarrow 0 < a < 10.\)
Do \(\frac{2}{3} < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên ta có \({\log _b}\frac{2}{3} < {\log _b}\frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow b > 1.\)
Do \(\frac{2}{3} < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên ta có \({\log _b}\frac{2}{3} < {\log _b}\frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow b > 1.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\)
A. \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
B. \(y' = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C. \(y' = \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
D. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(y' = \frac{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)'}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{10}}{3}\)
B. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{14}}{3}\)
C. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = \frac{{15}}{3}\)
D. \({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = 4\)
\({e^{\ln 2}} + \ln \left( {{e^2}.\sqrt[3]{e}} \right) = 2 + \ln {e^{\frac{7}{3}}} = 2 + \frac{7}{3} = \frac{{13}}{3}.\)
Cho \(0 < a < b < 1,\) mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \({\log _b}a > {\log _a}b\)
B. \({\log _b}a < 0\)
C. \({\log _b}a < {\log _a}b\)
D. \({\log _a}b > 1\)
Với \(0 < a < b < 1\) thì \({\log _b}a > 1,{\log _a}b < 1\) nên: \({\log _b}a > {\log _a}b.\)
Vậy A đúng.
Vậy A đúng.
Cho các số thực dương a,b với \(a\neq 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
B. \({\log _{{a^4}}}(ab) = 4 + 4{\log _a}b\)
C. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
D. \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b\)
Ta có: \({\log _{{a^4}}}(ab) = \frac{1}{4}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}({\log _a}a + {\log _a}b) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b\)
Cho các phát biểu sau:
(1). Hàm số \(\dpi{100} y= \ln x\) là hàm số nghịch biến trên \left( {0; + \infty } \right)
(2). Trên khoảng (1;3) hàm số y = {\log _{\frac{1}{2}}}x nghịch biến.
(3). Nếu {\log _a}3 < 0 thì 0 < a < 1
Đâu là những phát biểu đúng?
A. (1)
B. (2) (3)
C. (1) (3)
D. (2)
+ Vì cơ số e>1 nên hàm số y=lnx là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên (1) sai.
+ Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) có cơ số \(a = \frac{1}{2} \in \left( {0;1} \right)\) nên nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;3) nên (2) đúng.
+ Ta có \({\log _a}3 < 0 \Leftrightarrow {\log _a}3 < {\log _a}1\), mà 3>1. Từ đó suy ra hàm đặc trưng \(y = {\log _a}x\) nghịch biến nên \(0 < a < 1\) nên (3) đúng.
+ Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\) có cơ số \(a = \frac{1}{2} \in \left( {0;1} \right)\) nên nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;3) nên (2) đúng.
+ Ta có \({\log _a}3 < 0 \Leftrightarrow {\log _a}3 < {\log _a}1\), mà 3>1. Từ đó suy ra hàm đặc trưng \(y = {\log _a}x\) nghịch biến nên \(0 < a < 1\) nên (3) đúng.
Cho \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b.\) Biểu diễn \({\log _3}135\) theo a và b.
A. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{b}\)
B. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{b}\)
C. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{a}\)
D. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{a}\)
\({\log _3}135 = {\log _3}27 + {\log _3}5 = 3 + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 3 + \frac{a}{b}.\)
Để đảm bảo điều kiện sinh sống của người dân tại thành phố X, một nhóm các nhà khoa học cho biết với các điều kiện y tế, giáo dục, cơ sở hạ tầng,…của thành phố thì chỉ nên có tối đa 60.000 người dân sinh sống. Các nhà khoa học cũng chỉ ra rằng dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{ni}},\) trong đó A là dân số của năm được lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm và i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Giả sử vào thời điểm hiện tại thành phố X có 50.000 người dân và tỉ lệ tăng dân số là 1,3%/năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì dân số thành phố bắt đầu vượt ngưỡng cho phép, biết rằng số liệu chỉ được lấy vào đầu mỗi năm và giả thiết tỉ lệ tăng dân số không thay đổi?
A. 13 năm
B. 14 năm
C. 15 năm
D. 16 năm
Theo công thức, ta thấy số dân qua mỗi năm tăng. Gọi n1 là năm dân số bắt đầu vượt ngưỡng cho phép, n0 là số năm ở thời điểm hiện tại, khi đó:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {50000 = A.{e^{{n_0} \times 1,3\% }}}\\ {60000 = A.{e^{{n_1} \times 1,3\% }}} \end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{60000}}{{50000}}\)
\(= \frac{{A.{e^{{n_1} \times 1,3\% }}}}{{A.{e^{{n_0} \times 1,3\% }}}} \Leftrightarrow \frac{6}{5} = {e^{\left( {{n_1} - {n_0}} \right) \times 1,3\% }} \Rightarrow {n_1} - {n_0} = \frac{{\ln \frac{6}{5}}}{{1,3\% }} \approx 14,02\)
Vậy phải ít nhất 15 năm thì số dân mới vượt ngưỡng cho phép.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {50000 = A.{e^{{n_0} \times 1,3\% }}}\\ {60000 = A.{e^{{n_1} \times 1,3\% }}} \end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{60000}}{{50000}}\)
\(= \frac{{A.{e^{{n_1} \times 1,3\% }}}}{{A.{e^{{n_0} \times 1,3\% }}}} \Leftrightarrow \frac{6}{5} = {e^{\left( {{n_1} - {n_0}} \right) \times 1,3\% }} \Rightarrow {n_1} - {n_0} = \frac{{\ln \frac{6}{5}}}{{1,3\% }} \approx 14,02\)
Vậy phải ít nhất 15 năm thì số dân mới vượt ngưỡng cho phép.
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{{{(x - 1)}^{\sqrt 3 }}}}{{\log (9 - x)}}.\)
A. D=(1;9)
B. \(D = (1;9)\backslash \left\{ 8 \right\}\)
C. \(D = \left[ {1;9} \right]\backslash \left\{ 8 \right\}\)
D. \(D = \left[ {1;9} \right)\backslash \left\{ 8 \right\}\)
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0;9 - x > 0\\ \log (9 - x) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 > x \ge 1\\ 9 - x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 > x \ge 1\\ x \ne 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in [1;9)\backslash \left\{ 8 \right\}.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0;9 - x > 0\\ \log (9 - x) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 > x \ge 1\\ 9 - x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 > x \ge 1\\ x \ne 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in [1;9)\backslash \left\{ 8 \right\}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} ).\)
A. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\)
B. \(y' = \frac{2}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C. \(y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
D. \(y' = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Ta có: \(y = \ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right) \Rightarrow y' = \frac{{\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)'}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(= \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
\(= \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Cho a,b > 0;a,b \ne 1 và x y, là hai số dương. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\log _{\frac{1}{a}}^2{x^2} = - 4.\log _a^2x\)
B. \(\log _a(xy) = \log _a^{}x + {\log _a}y\)
C. \({\log _a}{x^{2016}} = 2016.{\log _a}x\)
D. \({\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}\)
Ta có: \(\log _{\frac{1}{a}}^2{x^2} = \log _{{a^{ - 1}}}^2{x^2} = 4.{({\log _a}x)^2} \Rightarrow\)A là khẳng định sai.
Cho x>0 thỏa mãn \({\log _2}({\log _8}x) = {\log _8}({\log _2}x).\) Tính \({({\log _2}x)^2}.\)
A. \({({\log _2}x)^2} = 3\)
B. \({({\log _2}x)^2} = 3\sqrt 3\)
C. \({({\log _2}x)^2} = 27\)
D. \({({\log _2}x)^2} = 9\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\) ta có \({\log _8}x = {\log _{{2^3}}}x = \frac{1}{3}.{\log _2}x = \frac{t}{3}\)
suy ra \({\log _2}\frac{t}{3} = {\log _8}t \Leftrightarrow {\log _2}\frac{t}{3} = \frac{1}{3}{\log _2}t\)
\({\log _2}\frac{t}{3} = {\log _2}\sqrt[3]{t} \Leftrightarrow \frac{t}{3} = \sqrt[3]{t} \Leftrightarrow t = 3\sqrt 3 \Rightarrow {({\log _2}x)^2} = {t^2} = 27.\)
suy ra \({\log _2}\frac{t}{3} = {\log _8}t \Leftrightarrow {\log _2}\frac{t}{3} = \frac{1}{3}{\log _2}t\)
\({\log _2}\frac{t}{3} = {\log _2}\sqrt[3]{t} \Leftrightarrow \frac{t}{3} = \sqrt[3]{t} \Leftrightarrow t = 3\sqrt 3 \Rightarrow {({\log _2}x)^2} = {t^2} = 27.\)
Cho \(a,b>0\) và \(a,b\neq 1\). Đặt \({\log _a}b=\alpha\) = a , tính theo a giá trị biểu thức \(P = {\log _{{a^2}}}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3}.\)
A. \(P = \frac{{2 - 5{\alpha ^2}}}{\alpha }\)
B. \(P = \frac{{{\alpha ^2} - 12}}{{2\alpha }}\)
C. \(P = \frac{{4{\alpha ^2} - 3}}{{2\alpha }}\)
D. \(P = \frac{{{\alpha ^2} - 3}}{\alpha }\)
\(\begin{array}{l} P = {\log _{{a^2}}}b - {\log _{\sqrt b }}{a^3} = \frac{1}{2}.{\log _a}b - 2{\log _b}{a^3} = \frac{1}{2}.{\log _a}b - 6.{\log _b}a\\ = \frac{1}{2}.{\log _a}b - \frac{6}{{{{\log }_a}b}} = \frac{{{\alpha ^2} - 12}}{{2\alpha }}. \end{array}\)
Cho hai số thực dương a và b với \(a\neq 1\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b\)
B. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
C. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + 2{\log _a}b.\)
D. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\)
Với a,b > 0 và \(a\neq 1\) ta có
\({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b.\)
Với a,b > 0 và \(a\neq 1\) ta có
\({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b.\)
\({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b.\)
Với a,b > 0 và \(a\neq 1\) ta có
\({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b.\)
Đặt \(a = {\log _3}4,{\rm{ }}b = {\log _5}4\) Hãy biểu diễn \({\log _{12}}80\) theo a và b.
A. \({\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)
B. \({\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}\)
C. \({\log _{12}}80 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
D. \({\log _{12}}80 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)
Ta có
\({\log _{12}}80 = {\log _{12}}\left( {{4^2}.5} \right) = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5 = 2{\log _{12}}4 + \frac{1}{{{{\log }_5}12}}\)
\(= \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}4 + {{\log }_5}3}} = \frac{2}{{{{\log }_4}4 + {{\log }_4}3}} + \frac{1}{{b + {{\log }_5}3}}\)
Từ \(a = {\log _3}4 \Rightarrow {\log _4}3 = \frac{1}{a} \Rightarrow {\log _5}3 = {\log _5}4.{\log _4}3 = b.\frac{1}{a} = \frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow {\log _{12}}80 = \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{1}{{b + \frac{b}{a}}} = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}.\)
\({\log _{12}}80 = {\log _{12}}\left( {{4^2}.5} \right) = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5 = 2{\log _{12}}4 + \frac{1}{{{{\log }_5}12}}\)
\(= \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}4 + {{\log }_5}3}} = \frac{2}{{{{\log }_4}4 + {{\log }_4}3}} + \frac{1}{{b + {{\log }_5}3}}\)
Từ \(a = {\log _3}4 \Rightarrow {\log _4}3 = \frac{1}{a} \Rightarrow {\log _5}3 = {\log _5}4.{\log _4}3 = b.\frac{1}{a} = \frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow {\log _{12}}80 = \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{1}{{b + \frac{b}{a}}} = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}.\)
Xét a và b là hai số thực dương tùy ý. Đặt \(x = \ln {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^{1000}},{\rm{ }}y = 1000\ln a - \ln \frac{1}{{{b^{1000}}}}.\)
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. x<y.
B. x>y.
C. \(x\leq y\)
D. \(x\geq y\)
Với a, b>0 ta có \(x = \ln {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)^{1000}} = 1000\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\)
\(y = 1000\ln a - \ln \frac{1}{{{b^{1000}}}} = 1000\ln a + 1000\ln b = 1000\ln \left( {ab} \right).\)
Xét hiệu: \(x - y = 1000\left[ {\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - \ln \left( {ab} \right)} \right]\) (1)
Mặt khác: \(\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab = {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge ab > 0\)
Khi đó từ (1) \(\Rightarrow x - y \ge 0 \Rightarrow x \ge y,\) dấu "=" xảy ra khi a=b>0
\(y = 1000\ln a - \ln \frac{1}{{{b^{1000}}}} = 1000\ln a + 1000\ln b = 1000\ln \left( {ab} \right).\)
Xét hiệu: \(x - y = 1000\left[ {\ln \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - \ln \left( {ab} \right)} \right]\) (1)
Mặt khác: \(\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab = {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge ab > 0\)
Khi đó từ (1) \(\Rightarrow x - y \ge 0 \Rightarrow x \ge y,\) dấu "=" xảy ra khi a=b>0
Năm 1992, người ta đã biết số \(p = {2^{756839}} - 1\) là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của khi viết trong hệ thập phân.
A. 227830 chữ số
B. 227834 chữ số.
C. 227832 chữ số.
D. 227831 chữ số.
Khi viết trong hệ thập phân, số các chữ số của \(p = {2^{756839}} - 1\) bằng các chữ số của \({2^{756839}}\)
Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân là: \(\left[ {\log \left( {{2^{756839}}} \right)} \right] + 1 = 227831 + 1 = 227832.\)
Kí hiệu: [X]: phần nguyên của X.
Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân là: \(\left[ {\log \left( {{2^{756839}}} \right)} \right] + 1 = 227831 + 1 = 227832.\)
Kí hiệu: [X]: phần nguyên của X.