Câu 1:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Số phức -z được biểu diễn bởi điểm nào sau đây?
A. Điểm M’ đối xứng với M qua gốc tọa độ O
B. Điểm M’ đối xứng với M qua Oy
C. Điểm M’ đối xứng với M qua Ox
D.Không xác định được
Câu 2:
Cho các số phức z thỏa mãn phần thực thuộc [0;3] và phần ảo thuộc đoạn \left[ { - 2;4} \right]. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
A. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng x=3 và x=0
B. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng x=-2 và y=4
C. Miền ngoài của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x=0, x=3, y=-2, y=4 (kể cả biên)
D. Miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x=0, x=3, y=-2, y=4 (kể cả biên)
Câu 3:
Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - 1 + i} \right| = 1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng: \(x + y = 0\)
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\)
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\)
Câu 4:
Tìm số phức z thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z^2} + \overline z } \right| = 2\\ \left| z \right| = 2 \end{array} \right..\)
A. \(z = 3;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
B. \(z = - 2;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
C. \(z = - 1;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
D. \(z = - 2;z = 2 \pm \sqrt {3i}\)
Câu 5:
Biết \(M\left( {2; - 1} \right),N\left( {3;2} \right)\) lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) trên mặt phẳng phức. Tính môđun của số phức \(\omega = z_1^2 + {z_2}.\)
A. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\)
B. \(\left| \omega \right| = \sqrt {68}\)
C. \(\left| \omega \right| =2 \sqrt {10}\)
D. \(\left| \omega \right| =4 \sqrt {2}\)
Câu 6:
Gọi P là điểm biểu diễn của số phức \(a+bi\) trong mặt phẳng phức.
Cho các mệnh đề sau :
(1) Môđun của \(a+bi\) là bình phương độ dài OP.
(2) Nếu P là biểu diễn của số \(3+4i\) thì OP=7.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
C. (1), (2) đều đúng.
D. (1), (2) đều sai.
Câu 7:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|.\)
A. Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R=1.
B. Đường tròn tâm \(I\left( {\sqrt 3 ;0} \right),\) bán kính \(R=\sqrt3\).
C. Parapol \(y = \frac{{{x^2}}}{4}.\)
D. Parapol \(x = \frac{{{y^2}}}{4}.\)
Câu 8:
Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 25 = 0. Tính môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = 5\)
C. \(\left| z \right| = 2\)
D. \(\left| z \right| = 25\)
Câu 9:
Cho số phức z thỏa \(\left| z \right| = 3\). Biết rằng tập hợp biểu diễn số phức \(w = \bar z + i\) trên mặt phẳng phức là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.
A. \(I\left( {0;1} \right)\)
B. \(I\left( {0;-1} \right)\)
C. \(I\left( {-1;0} \right)\)
D. \(I\left( {1;0} \right)\)
Câu 10:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn biết phần thực của số phức \omega = \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0. Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn đó.
A. \(I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
B. \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right),R = \frac{1}{2}\)
C. \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{2}\)
D. \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Câu 12:
Tìm phương trình đường thẳng là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\bar z + 2i} \right|\) trên mặt phẳng phức.
A. \(4x - 2y + 1 = 0\)
B. \(4x - 6y - 1 = 0\)
C. \(4x +2y - 1 = 0\)
D. \(4x - 2y - 1 = 0\)
Câu 13:
Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|.\) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = \left( {2 - i} \right)z + 1\) trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
A. \(- x + 7y + 9 = 0\)
B. \(x + 7y - 9 = 0\)
C. \(x + 7y + 9 = 0\)
D. \(x - 7y + 9 = 0\)
Câu 14:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \(z\) thõa mãn \(\left| {\frac{{z + 2 - 3i}}{{\bar z + 4 - i}}} \right| = 1\) trong mặt phẳng phức.
A. Đường thẳng \(x + 2y + 1 = 0\)
B. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\)
C. Đường thẳng \(x - 2y - 1 = 0\)
D. Đường thẳng \({\left( {y - 2} \right)^2} + {x^2} = 1\)
Câu 15:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i + 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức \(z\).
A. \(\left| z \right| = \frac{1}{2}\)
B. \(\left| z \right| = \frac{1}{\sqrt2}\)
C. \(\left| z \right| = \sqrt2\)
D. \(\left| z \right| = 2\)
Câu 16:
Cho các số phức {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là A, B, C, D (như hình bên). Tính P = \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4}} \right|.
A. \(P=2\)
B. \(P=\sqrt5\)
C. \(P=\sqrt{17}\)
D. \(P=3\)
Câu 17:
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2i} \right| = \left| {\bar z + 2} \right|.\)
A. Là đường tròn tâm I(2;-2) bán kính R = 2
B. Là đường thẳng có phương trình x - y = 0
C. Là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0
D. Là đường thẳng có phương trình x + y = 0
Câu 18:
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn \left | z-2i \right |=3
A. Là đường tròn tâm I(0;-2) bán kính R = 3
B. Là đường tròn tâm I(0;2) bán kính \(R=\sqrt{3}\)
C. Là đường tròn tâm I(0;2) bán kính R = 3
D. Là đường tròn tâm I(2;0) bán kính R = 3
Câu 19:
Tìm số phức \(\overline{z}\) biết số phức z thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1\\ \left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \end{array} \right.\)
A. \(\overline{z}=1+i\)
B. \(\overline{z}=1-i\)
C. \(\overline{z}=-1-i\)
D. \(\overline{z}=-1+i\)
Câu 20:
Cho số phức z thỏa mãn \left( {3 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{ - 2 + 14i}}{z} + 1 - 3i. Tính môđun của số phức z.
Chọn giá trị gần đúng nhất trong các giá trị sau.
A. 1,2
B. 2,3
C. 3,7
D. 4,1
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Số phức -z được biểu diễn bởi điểm nào sau đây?
A. Điểm M’ đối xứng với M qua gốc tọa độ O
B. Điểm M’ đối xứng với M qua Oy
C. Điểm M’ đối xứng với M qua Ox
D.Không xác định được
Số phức -z được biểu diễn bởi điểm M’(-a;-b) đối xứng với M qua O.
Cho các số phức z thỏa mãn phần thực thuộc [0;3] và phần ảo thuộc đoạn \left[ { - 2;4} \right]. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
A. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng x=3 và x=0
B. Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng x=-2 và y=4
C. Miền ngoài của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x=0, x=3, y=-2, y=4 (kể cả biên)
D. Miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x=0, x=3, y=-2, y=4 (kể cả biên)
Gọi \(z = x + yi,z,y \in \mathbb{R}.\)
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ - 2 \le y \le 4 \end{array} \right.\) nên suy ra tập hợp rất cả các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao của bốn đường thẳng \(x = 0,x = 3,y = - 2,y - 4.\)
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ - 2 \le y \le 4 \end{array} \right.\) nên suy ra tập hợp rất cả các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình chữ nhật có bốn đỉnh là giao của bốn đường thẳng \(x = 0,x = 3,y = - 2,y - 4.\)
Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - 1 + i} \right| = 1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng: \(x + y = 0\)
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\)
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\)
Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - 1 + i} \right| = 1\)
Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in {\rm{R}}} \right)\) điểm biểu diễn M(x;y) trên mặt phẳng phức, ta có:
\(\left| {z - 1 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;0), bán kính R = 1
Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in {\rm{R}}} \right)\) điểm biểu diễn M(x;y) trên mặt phẳng phức, ta có:
\(\left| {z - 1 + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;0), bán kính R = 1
Tìm số phức z thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z^2} + \overline z } \right| = 2\\ \left| z \right| = 2 \end{array} \right..\)
A. \(z = 3;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
B. \(z = - 2;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
C. \(z = - 1;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
D. \(z = - 2;z = 2 \pm \sqrt {3i}\)
Giả sử \(z = x + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \left| z \right| = 2 \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 4\\ \left| {{z^2} + \overline z } \right| = 2 \Rightarrow \left( {{x^2} - {y^2} + x} \right) + {\left( {2xy - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 6x{y^2} + 2{x^3} = 4\\ \Leftrightarrow {4^2} + 4 - 6x\left( {4 - {x^2}} \right) + 2{x^3} = 4\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \to y = 1 \pm \sqrt 3 \\ x = - 2 \to y = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \(z = - 2;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
\(\begin{array}{l} \left| z \right| = 2 \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 4\\ \left| {{z^2} + \overline z } \right| = 2 \Rightarrow \left( {{x^2} - {y^2} + x} \right) + {\left( {2xy - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + \left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 6x{y^2} + 2{x^3} = 4\\ \Leftrightarrow {4^2} + 4 - 6x\left( {4 - {x^2}} \right) + 2{x^3} = 4\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \to y = 1 \pm \sqrt 3 \\ x = - 2 \to y = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \(z = - 2;z = 1 \pm \sqrt {3i}\)
Biết \(M\left( {2; - 1} \right),N\left( {3;2} \right)\) lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) trên mặt phẳng phức. Tính môđun của số phức \(\omega = z_1^2 + {z_2}.\)
A. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\)
B. \(\left| \omega \right| = \sqrt {68}\)
C. \(\left| \omega \right| =2 \sqrt {10}\)
D. \(\left| \omega \right| =4 \sqrt {2}\)
Ta có: \(z_1^2 + {z_2} = {(2 - i)^2} + 3 + 2i = 4 - 4i - 1 + 3 + 2i = 6 - 2i\)
Vậy: \(\left| \omega \right| = 2\sqrt {10} .\)
Vậy: \(\left| \omega \right| = 2\sqrt {10} .\)
Gọi P là điểm biểu diễn của số phức \(a+bi\) trong mặt phẳng phức.
Cho các mệnh đề sau :
(1) Môđun của \(a+bi\) là bình phương độ dài OP.
(2) Nếu P là biểu diễn của số \(3+4i\) thì OP=7.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
C. (1), (2) đều đúng.
D. (1), (2) đều sai.
Sửa lại như sau:
(1) Môđun của \(a+bi\) là khoảng cách OP
(2) Nếu P là biểu diễn của số \(3+4i\) thì khoảng cách từ O đến P bằng \(\left| {3 + 4i} \right| = 5.\)
(1) Môđun của \(a+bi\) là khoảng cách OP
(2) Nếu P là biểu diễn của số \(3+4i\) thì khoảng cách từ O đến P bằng \(\left| {3 + 4i} \right| = 5.\)
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|.\)
A. Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R=1.
B. Đường tròn tâm \(I\left( {\sqrt 3 ;0} \right),\) bán kính \(R=\sqrt3\).
C. Parapol \(y = \frac{{{x^2}}}{4}.\)
D. Parapol \(x = \frac{{{y^2}}}{4}.\)
Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in\mathbb{R} ),\) M(x,y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
Ta có: \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right| \Leftrightarrow 2\left| {2x + (y - 1)i} \right| = 2\left| {\left( {y + 1} \right)i} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{(y + 1)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4y \end{array}\)
Ta có: \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right| \Leftrightarrow 2\left| {2x + (y - 1)i} \right| = 2\left| {\left( {y + 1} \right)i} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{(y + 1)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4y \end{array}\)
Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 25 = 0. Tính môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 3\)
B. \(\left| z \right| = 5\)
C. \(\left| z \right| = 2\)
D. \(\left| z \right| = 25\)
Đường tròn (C) có tâm và bán kính lần lượt là \(I\left( {0;0} \right),R = 5\).
Gọi P là điểm biểu diễn số phức z thì P thuộc (C) suy ra OP=5.
Nên: \(\left| z \right| = 5.\)
Gọi P là điểm biểu diễn số phức z thì P thuộc (C) suy ra OP=5.
Nên: \(\left| z \right| = 5.\)
Cho số phức z thỏa \(\left| z \right| = 3\). Biết rằng tập hợp biểu diễn số phức \(w = \bar z + i\) trên mặt phẳng phức là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.
A. \(I\left( {0;1} \right)\)
B. \(I\left( {0;-1} \right)\)
C. \(I\left( {-1;0} \right)\)
D. \(I\left( {1;0} \right)\)
Đặt \(w = x + yi,\left( {x,y \in\mathbb{R} } \right)\) suy ra \(\bar z = x + \left( {y - 1} \right)i \Rightarrow z = x - \left( {y - 1} \right)i\).
Theo đề suy ra: \(\left| {x - \left( {y - 1} \right)i} \right| = 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9.\)
Vậy tập số phức cần tìm nằm trên đường tròn có tâm \(I(0;1).\)
Theo đề suy ra: \(\left| {x - \left( {y - 1} \right)i} \right| = 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9.\)
Vậy tập số phức cần tìm nằm trên đường tròn có tâm \(I(0;1).\)
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn biết phần thực của số phức \omega = \frac{{z - 1}}{{z - i}} bằng 0. Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn đó.
A. \(I\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
B. \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right),R = \frac{1}{2}\)
C. \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{2}\)
D. \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right),R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Gọi \(z = a + bi\)
\(\frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{a - 1 + bi}}{{a + \left( {b - 1} \right)i}} = \frac{{\left( {a - 1 + bi} \right)\left( {a - \left( {b - 1} \right)i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - b + ai}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}}\)
Ta có phần thực bằng 0 nên: \(\frac{{{a^2} + {b^2} - b}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - a - b = 0\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
\(\frac{{z - 1}}{{z - i}} = \frac{{a - 1 + bi}}{{a + \left( {b - 1} \right)i}} = \frac{{\left( {a - 1 + bi} \right)\left( {a - \left( {b - 1} \right)i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - b + ai}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}}\)
Ta có phần thực bằng 0 nên: \(\frac{{{a^2} + {b^2} - b}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - a - b = 0\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right);R = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Tìm phương trình đường thẳng là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\bar z + 2i} \right|\) trên mặt phẳng phức.
A. \(4x - 2y + 1 = 0\)
B. \(4x - 6y - 1 = 0\)
C. \(4x +2y - 1 = 0\)
D. \(4x - 2y - 1 = 0\)
Đặt \(z = a + bi\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó:
\(\begin{array}{l} \left| {a - 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {2 - b} \right)i} \right|\\ \Rightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} \Rightarrow 4a - 2b - 1 = 0 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \left| {a - 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {2 - b} \right)i} \right|\\ \Rightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} \Rightarrow 4a - 2b - 1 = 0 \end{array}\)
Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|.\) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w = \left( {2 - i} \right)z + 1\) trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
A. \(- x + 7y + 9 = 0\)
B. \(x + 7y - 9 = 0\)
C. \(x + 7y + 9 = 0\)
D. \(x - 7y + 9 = 0\)
Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\). Khi đó:
\(\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Rightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right|\)
\(\Rightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2}\)
\(\Rightarrow a = 3b + 2\)
\(w = \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi} \right) + 1 \Rightarrow w = 2a + b + 1 + \left( {2b - a} \right)i\)
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w có dạng \(M\left( {2a + b + 1;2b - a} \right)\) hay \(M\left( {7b + 5; - b - 2} \right).\)
Do đề bài đã cho biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức M là một đường thẳng nên ta chỉ cần tìm tọa độ 2 điểm M là có thể viết phương trình đường thẳng đó.
Với \({b_1} = 0 \Rightarrow {M_1}(5; - 2);\,{{\bf{b}}_2} = - 1 \Rightarrow {M_2}( - 2; - 1)\)
Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn số phức w là:
\((x + 2) + 7(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 7y + 9 = 0.\)
\(\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Rightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right|\)
\(\Rightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2}\)
\(\Rightarrow a = 3b + 2\)
\(w = \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi} \right) + 1 \Rightarrow w = 2a + b + 1 + \left( {2b - a} \right)i\)
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w có dạng \(M\left( {2a + b + 1;2b - a} \right)\) hay \(M\left( {7b + 5; - b - 2} \right).\)
Do đề bài đã cho biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức M là một đường thẳng nên ta chỉ cần tìm tọa độ 2 điểm M là có thể viết phương trình đường thẳng đó.
Với \({b_1} = 0 \Rightarrow {M_1}(5; - 2);\,{{\bf{b}}_2} = - 1 \Rightarrow {M_2}( - 2; - 1)\)
Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn số phức w là:
\((x + 2) + 7(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 7y + 9 = 0.\)
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \(z\) thõa mãn \(\left| {\frac{{z + 2 - 3i}}{{\bar z + 4 - i}}} \right| = 1\) trong mặt phẳng phức.
A. Đường thẳng \(x + 2y + 1 = 0\)
B. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\)
C. Đường thẳng \(x - 2y - 1 = 0\)
D. Đường thẳng \({\left( {y - 2} \right)^2} + {x^2} = 1\)
Giả sử \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R}).\)
Từ giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l} \overline z = a + bi\\ \left| {a + 2 + (b - 3)i} \right| = \left| {a + 4 - (b + 1)i} \right|\\ \Leftrightarrow {(a + 2)^2} + {(b - 3)^2} = {(a + 4)^2} + {(b + 1)^2}\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng có phương trình \(x + 2y + 1 = 0.\)
Từ giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l} \overline z = a + bi\\ \left| {a + 2 + (b - 3)i} \right| = \left| {a + 4 - (b + 1)i} \right|\\ \Leftrightarrow {(a + 2)^2} + {(b - 3)^2} = {(a + 4)^2} + {(b + 1)^2}\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng có phương trình \(x + 2y + 1 = 0.\)
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i + 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun số phức \(z\).
A. \(\left| z \right| = \frac{1}{2}\)
B. \(\left| z \right| = \frac{1}{\sqrt2}\)
C. \(\left| z \right| = \sqrt2\)
D. \(\left| z \right| = 2\)
Gọi số phức cần tìm là \(z = a + bi(a,b \in\mathbb{R} ).\)
Khi đó từ giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l} \left| {a + bi + i + 1} \right| = \left| {a - bi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b + 1)^2} = {a^2} + {(b + 2)^2}\\ \Leftrightarrow 2a - 2b - 2 = 0\\ a = b + 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {(b + 1)^2} = 2{b^2} + 2b + 1 \ge \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left| z \right| \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};b = \frac{{ - 1}}{2} \end{array}\)
Khi đó từ giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l} \left| {a + bi + i + 1} \right| = \left| {a - bi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b + 1)^2} = {a^2} + {(b + 2)^2}\\ \Leftrightarrow 2a - 2b - 2 = 0\\ a = b + 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {(b + 1)^2} = 2{b^2} + 2b + 1 \ge \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left| z \right| \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};b = \frac{{ - 1}}{2} \end{array}\)
Cho các số phức {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là A, B, C, D (như hình bên). Tính P = \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4}} \right|.
A. \(P=2\)
B. \(P=\sqrt5\)
C. \(P=\sqrt{17}\)
D. \(P=3\)
Dựa vào hình vẽ suy ra \({z_1} = 1 - 2i,{z_2} = 3i,{z_3} - 3 + i,{z_4} = 1 + 2i\)
Khi đó \({z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4} = - 1 + 4i \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4}} \right| = \sqrt {17} .\)
Khi đó \({z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4} = - 1 + 4i \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3} + {z_4}} \right| = \sqrt {17} .\)
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2i} \right| = \left| {\bar z + 2} \right|.\)
A. Là đường tròn tâm I(2;-2) bán kính R = 2
B. Là đường thẳng có phương trình x - y = 0
C. Là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0
D. Là đường thẳng có phương trình x + y = 0
Gọi \(z = x + yi\left( {x,y \in } \right) \Rightarrow \bar z = x - yi\)
Ta có: \(\left| {z - 2i} \right| = \left| {\bar z + 2} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2i} \right| = \left| {x - yi + 2} \right|\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} \Leftrightarrow x + y = 0.\)
Ta có: \(\left| {z - 2i} \right| = \left| {\bar z + 2} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2i} \right| = \left| {x - yi + 2} \right|\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} \Leftrightarrow x + y = 0.\)
Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn \left | z-2i \right |=3
A. Là đường tròn tâm I(0;-2) bán kính R = 3
B. Là đường tròn tâm I(0;2) bán kính \(R=\sqrt{3}\)
C. Là đường tròn tâm I(0;2) bán kính R = 3
D. Là đường tròn tâm I(2;0) bán kính R = 3
Đặt \(z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R})\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left| {z - 2i} \right| = 3 \Rightarrow \left| {a + (b - 2)i} \right| = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{(b - 2)}^2}} = 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 2)^2} = 9 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm \(I(0;2)\) bán kính \(R=3.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left| {z - 2i} \right| = 3 \Rightarrow \left| {a + (b - 2)i} \right| = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{(b - 2)}^2}} = 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 2)^2} = 9 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm \(I(0;2)\) bán kính \(R=3.\)
Tìm số phức \(\overline{z}\) biết số phức z thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1\\ \left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \end{array} \right.\)
A. \(\overline{z}=1+i\)
B. \(\overline{z}=1-i\)
C. \(\overline{z}=-1-i\)
D. \(\overline{z}=-1+i\)
Đặt \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\)Ta có:
\(\left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a - b = 0\)
.\(\left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.\)
Vậy \(\bar z = 1 - i\)
\(\left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a - b = 0\)
.\(\left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.\)
Vậy \(\bar z = 1 - i\)
Cho số phức z thỏa mãn \left( {3 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{ - 2 + 14i}}{z} + 1 - 3i. Tính môđun của số phức z.
Chọn giá trị gần đúng nhất trong các giá trị sau.
A. 1,2
B. 2,3
C. 3,7
D. 4,1
Ta có: \(\left( {3 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{ - 2 + 14i}}{z} + 1 - 3i \Leftrightarrow \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {\left| z \right| + 3} \right)i = \frac{{ - 2 + 14i}}{z}\)
Khi đó mođun của số phức bên trái biểu thức là \(\sqrt {{{\left( {3\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 3} \right)}^2}} = \sqrt {10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right)}\)
Mođun của số phức bên phải \(\left| {\frac{{ - 2 + 14i}}{z}} \right| = \frac{{\left| { - 2 + 14i} \right|}}{{\left| z \right|}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{{\left| z \right|}}\)
Do đó \(10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right) = \frac{{200}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\). Đặt \(a = \left| z \right| \Rightarrow {a^2} + 1 = \frac{{20}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2.\)
Khi đó mođun của số phức bên trái biểu thức là \(\sqrt {{{\left( {3\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 3} \right)}^2}} = \sqrt {10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right)}\)
Mođun của số phức bên phải \(\left| {\frac{{ - 2 + 14i}}{z}} \right| = \frac{{\left| { - 2 + 14i} \right|}}{{\left| z \right|}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{{\left| z \right|}}\)
Do đó \(10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right) = \frac{{200}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\). Đặt \(a = \left| z \right| \Rightarrow {a^2} + 1 = \frac{{20}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2.\)