Câu 1:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)
A. \(S = \left\{ {\sqrt 2 i;\sqrt 5 i} \right\}\)
B. \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ; - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right\}\)
C. \(S = \emptyset \)
D. \(S = \left\{ { - \sqrt 2 i;\sqrt 2 i; - \sqrt 5 i;\sqrt 5 i} \right\}\)
Câu 2:
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 - 3i} \right)z + 1 + i = - z\). Tìm môdun của số phức \({\rm{w}} = 13{\rm{z}} + 2i\).
A. |w|=-2
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = \frac{{\sqrt {26} }}{{13}}\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {10}\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = - \frac{4}{{13}}\)
Câu 3:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| { - 2 + i\left( {z - 1} \right)} \right| = 5. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai?
A. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1;-2).
B. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính R = 5.
C. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có đường kính bằng 10. D. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là một hình tròn.
Câu 4:
Cho số phức \(z = \left( {5 + 3i} \right)\left( {3 - 5i} \right)\). Tính môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 15\sqrt 2\)
B. \(\left| z \right| = 16\)
C. \(\left| z \right| = 25\)
D. \(\left| z \right| = 27\)
Câu 5:
Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
A. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\)
B. Đường thẳng y=2
C. Đường thẳng x=2
D. Hai đường thẳng x=2 và y=2
Câu 6:
Tìm số phức z biết rằng điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính bằng 5 và nằm trên đường thẳng \(d:x - 2y + 5 = 0\).
A. \(z = 3 - 4i\)
B. \(z = 3 + 4i\)
C. \(z = 4 + 3i\)
D. \(z = 4 - 3i\)
Câu 7:
Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo?
A. Số phức có phần thực nằm trong \(\left( { - 1;1} \right)\) và mô đun nhỏ hơn 2.
B. Số phức có phần thực nằm trong \(\left[ { - 1;1} \right]\) và mô đun nhỏ hơn 2
C. Số phức có phần thực nằm trong \(\left[ { - 1;1} \right]\) và mô đun không vượt quá 2.
D. Số phức có phần thực nằm trong \(\left( { - 1;1} \right)\) và mô đun không vượt quá 2.
Câu 7:
Gọi T là tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| = \left| {\overline z - 2 - 3i} \right|\). Gọi a là môđun nhỏ nhất của z với mọi \(z \in T\). Khi đó giá trị của a là?
A. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\)
B. \(\sqrt {13}\)
C. 1
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 8:
Trên mặt phẳng phức, tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\) là đường tròn có phương trình nào sau đây?
A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 1 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} - 2x + y - 1 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0\)
D. \({x^2} + {y^2} - 2y = 0\)
Câu 9:
Cho \({z_1} = 1 + i\); \({z_2} = - 1 - i\). Tìm \({z_3} \in C\) sao cho các điểm biểu diển của tạo thành tam giác đều.
A. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\).
B. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 - \sqrt 3 i\).
C. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = 2+2i\).
D. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = -2-2i\).
Câu 10:
Tìm số z phức biết phần thực bằng 12 và môđun của z bằng 13.
A. \(z = 5 \pm 12i\)
B. \(z = 1 \pm 12i\)
C. \(z = 12 \pm 5i\)
D. \(z = 12\pm i\)
Câu 11:
Cho (H) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = {z^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (H) gồm cả mặt phẳng.
B. (H) là một đường thẳng
C. (H) là một điểm
D. (H) là hai đường thẳng.
Câu 12:
Số phức z có điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong hình dưới đây (kể cả biên) ?
A. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), phần ảo nằm trong đoạn [1;2].
B. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), \(1 \le \left| z \right| \le 2\).
C. Số phức z có phần ảo nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), \(1 \le \left| z \right| \le 2\).
D. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), phần thực nằm trong đoạn [1;2].
Câu 13:
Cho số phức z =2+i. Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức \(\omega = (1 - i)z.\)
A. Điểm M
B. Điểm N
C. Điểm P
D. Điểm Q
Câu 14:
Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng phức là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
A. 4x + 6y – 3 = 0
B. 4x – 6y -3 = 0
C. 4x + 6y + 3 = 0
D. 4x – 6y+ 3 = 0
Câu 15:
Tìm tập hợp các điểm biểu diển số phức z thỏa mãn \(\left| {(1 + i)z + 1 - 7i} \right| \le \sqrt 2\) trên mặt phẳng phức.
A. Đường tròn tâm I(-3;-4), bán kính R=1.
B. Hình tròn tâm I(-3;-4), bán kính R=1 (kể cả biên)
C. Đường tròn tâm I(3;4), bán kính R=1.
D. Hình tròn tâm I(3;4), bán kính R=1 (kể cả biên)
Câu 16:
Cho số phức \(z = a + (a - 1)i\,(a \in\mathbb{R} )\). Tìm a để \(\left| z \right| = 1\).
A. \(a = \frac{1}{2}\)
B. \(a = \frac{2}{3}\)
C. \(a =0\) hoặc \(a =1\)
D. \(\left| a \right| = 1\)
Câu 17:
Cho số phức \(z = a + ai\,(a \in R)\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z khi a thay đổi.
A. Đường thẳng y=x
B. Đường thẳng y=ax
C. Đường thẳng y=ax-a
D. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = {a^2}\)
Câu 18:
Cho số phức z có môđun \(\sqrt {17}\) và phần thực hơn phần ảo 5 đợn vị. Biết z có phần thực nhỏ hơn 2. Tìm môđun của số phức \({\rm{w}} = 2 + z\).
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 4\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {15}\)
Câu 19:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\omega = (1 + i\sqrt 2 )z + 2\) biết rằng số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| \le 2\).
A. Hình tròn tâm \(I(3;\sqrt 3 )\), bán kính R=4.
B. Hình tròn tâm \(I(3;3 )\), bán kính R=4.
C. Hình tròn tâm \(I(1;\sqrt 3 )\), bán kính R=2.
D. Hình tròn tâm \(I(1;1 )\), bán kính R=2.
Câu 20:
Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp biểu diễn của số phức z thỏa mãn \left| {z - 2 + 3i} \right| = 7.
A. Đường tròn tâm I(2;-3), bán kính R=7.
B. Hình tròn tâm I(2;-3), bán kính R=7 (kể cả biên).
C. Đường tròn tâm I(-2;3), bán kính R=3.
D. Hình tròn tâm I(-2;3), bán kính R=3.
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)
A. \(S = \left\{ {\sqrt 2 i;\sqrt 5 i} \right\}\)
B. \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ; - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right\}\)
C. \(S = \emptyset \)
D. \(S = \left\{ { - \sqrt 2 i;\sqrt 2 i; - \sqrt 5 i;\sqrt 5 i} \right\}\)
\(\begin{array}{l}{z^4} + 7{z^2} + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2} \right)\left( {{z_2} + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - 2\\{z^2} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 i\\z = \pm \sqrt 5 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ { - \sqrt 2 i;\sqrt 2 i; - \sqrt 5 i;\sqrt 5 i} \right\}\end{array}\)
IV. Trắc nghiệm về Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức
IV. Trắc nghiệm về Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 - 3i} \right)z + 1 + i = - z\). Tìm môdun của số phức \({\rm{w}} = 13{\rm{z}} + 2i\).
A. |w|=-2
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = \frac{{\sqrt {26} }}{{13}}\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {10}\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = - \frac{4}{{13}}\)
Ta có: \(\left( {1 - 3i} \right)z + 1 + i = 5 - z \Leftrightarrow \left( {2 - 3i} \right)z = - 1 - i\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{ - 1 - i}}{{2 - 3i}} = \frac{{\left( { - 1 - i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{ - 2 - 3i - 2i - 3{i^2}}}{{13}} = \frac{{1 - 5i}}{{13}} \Rightarrow w = 13z + 2i = 1 - 3i\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {1 + 9} = \sqrt {10}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{ - 1 - i}}{{2 - 3i}} = \frac{{\left( { - 1 - i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{ - 2 - 3i - 2i - 3{i^2}}}{{13}} = \frac{{1 - 5i}}{{13}} \Rightarrow w = 13z + 2i = 1 - 3i\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {1 + 9} = \sqrt {10}\)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| { - 2 + i\left( {z - 1} \right)} \right| = 5. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai?
A. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1;-2).
B. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính R = 5.
C. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có đường kính bằng 10. D. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là một hình tròn.
Gọi \(z = x + yi,\,x,y \in R\). Ta có: \(\left| {zi - \left( {2 + i} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - y - 2 + \left( {x - 1} \right)i} \right| = 5\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; - 2), bán kính R
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; - 2), bán kính R
Cho số phức \(z = \left( {5 + 3i} \right)\left( {3 - 5i} \right)\). Tính môđun của số phức z.
A. \(\left| z \right| = 15\sqrt 2\)
B. \(\left| z \right| = 16\)
C. \(\left| z \right| = 25\)
D. \(\left| z \right| = 27\)
\(\begin{array}{l} z = \left( {5 + 3i} \right)\left( {3 - 5i} \right) = 30 - 16i\\ \Rightarrow \left| z \right| = 16 \end{array}\)
Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
A. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\)
B. Đường thẳng y=2
C. Đường thẳng x=2
D. Hai đường thẳng x=2 và y=2
\(\begin{array}{l} z = \left( {5 + 3i} \right)\left( {3 - 5i} \right) = 30 - 16i\\ \Rightarrow \left| z \right| = 16 \end{array}\)
Tìm số phức z biết rằng điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính bằng 5 và nằm trên đường thẳng \(d:x - 2y + 5 = 0\).
A. \(z = 3 - 4i\)
B. \(z = 3 + 4i\)
C. \(z = 4 + 3i\)
D. \(z = 4 - 3i\)
Ta đặt \(z = x + iy\,\,\left( {x,y \in R} \right)\). Khi đó từ đề bài ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 25\\ x - 2y + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {2y - 5} \right)^2} + {y^2} = 25\\ x = 2y - 5 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{y^2} - 20y = 0\\ x = 2y - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = 0\\ x = - 5 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} y = 4\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\).
Vậy ta chọn đáp án B.
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 25\\ x - 2y + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {2y - 5} \right)^2} + {y^2} = 25\\ x = 2y - 5 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{y^2} - 20y = 0\\ x = 2y - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = 0\\ x = - 5 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} y = 4\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\).
Vậy ta chọn đáp án B.
Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo?
A. Số phức có phần thực nằm trong \(\left( { - 1;1} \right)\) và mô đun nhỏ hơn 2.
B. Số phức có phần thực nằm trong \(\left[ { - 1;1} \right]\) và mô đun nhỏ hơn 2
C. Số phức có phần thực nằm trong \(\left[ { - 1;1} \right]\) và mô đun không vượt quá 2.
D. Số phức có phần thực nằm trong \(\left( { - 1;1} \right)\) và mô đun không vượt quá 2.
Vậy ở đây ta thấy nếu lấy một điểm bất kì trong phần gạch chéo là \(M\left( {a,b} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le a \le 1\\ OM \le 2 \end{array} \right.\)
Vậy đáp án là C.
Vậy đáp án là C.
Gọi T là tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| = \left| {\overline z - 2 - 3i} \right|\). Gọi a là môđun nhỏ nhất của z với mọi \(z \in T\). Khi đó giá trị của a là?
A. \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\)
B. \(\sqrt {13}\)
C. 1
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Đặt \(z = a + bi\) với \(a,b \in R\) thì ta có:
\(\left| {a + (b - 1)i} \right| = \left| {(a - 2) - (b + 3)i} \right|\)
\(\Leftrightarrow {a^2} + {(b - 1)^2} = {(a - 2)^2} + {(b + 3)^2}\)
\(\Leftrightarrow {a^2} + {{\bf{b}}^2} - 2b + 1 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} + 6b + 9\)
\(\Leftrightarrow a - 2b - 3 = 0\)
Suy ra z nằm trên đường thẳng d có phương trình: x-2y-3=0.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z có môđun nhỏ nhất trên mặt phẳng phức.
Khi đó \(\left| z \right|\min\) khia và chỉ khi \(OM\min\) hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d và ta tìm được \(M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{6}{5}} \right)\).
Vậy môđun nhỏ nhất cần tìm là: \(\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{6}{5}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
\(\left| {a + (b - 1)i} \right| = \left| {(a - 2) - (b + 3)i} \right|\)
\(\Leftrightarrow {a^2} + {(b - 1)^2} = {(a - 2)^2} + {(b + 3)^2}\)
\(\Leftrightarrow {a^2} + {{\bf{b}}^2} - 2b + 1 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} + 6b + 9\)
\(\Leftrightarrow a - 2b - 3 = 0\)
Suy ra z nằm trên đường thẳng d có phương trình: x-2y-3=0.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z có môđun nhỏ nhất trên mặt phẳng phức.
Khi đó \(\left| z \right|\min\) khia và chỉ khi \(OM\min\) hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d và ta tìm được \(M\left( {\frac{3}{5}; - \frac{6}{5}} \right)\).
Vậy môđun nhỏ nhất cần tìm là: \(\sqrt {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{6}{5}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).
Trên mặt phẳng phức, tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\) là đường tròn có phương trình nào sau đây?
A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 1 = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} - 2x + y - 1 = 0.\)
C. \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0\)
D. \({x^2} + {y^2} - 2y = 0\)
Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in R)\)
M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng phức
\(z - i = x + \left( {y - 1} \right)i \Rightarrow \left| {z - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = 1\)
\(\Rightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y = 0.\)
M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng phức
\(z - i = x + \left( {y - 1} \right)i \Rightarrow \left| {z - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = 1\)
\(\Rightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y = 0.\)
Cho \({z_1} = 1 + i\); \({z_2} = - 1 - i\). Tìm \({z_3} \in C\) sao cho các điểm biểu diển của tạo thành tam giác đều.
A. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\).
B. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 - \sqrt 3 i\).
C. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = 2+2i\).
D. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = -2-2i\).
Áp dụng công thức sau:
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 trên mặt phẳng phức.
N là điểm biểu diễn của số phức z2 trên mặt phẳng phức.
Khi đó khoảng cách giữa M và N tính bằng công thức sau:
\(MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)
Gọi \({z_3} = x + yi\), để các điểm \({z_1},{z_2},{z_3}\) tạo thành một tam giác đều thì:
\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right|\\ \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2} - {z_3}} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\ \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3\)
Với \(y = \sqrt 3 \Rightarrow x = - \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\)
Với \(y = - \sqrt 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\)
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 trên mặt phẳng phức.
N là điểm biểu diễn của số phức z2 trên mặt phẳng phức.
Khi đó khoảng cách giữa M và N tính bằng công thức sau:
\(MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)
Gọi \({z_3} = x + yi\), để các điểm \({z_1},{z_2},{z_3}\) tạo thành một tam giác đều thì:
\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right|\\ \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2} - {z_3}} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\ \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3\)
Với \(y = \sqrt 3 \Rightarrow x = - \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\)
Với \(y = - \sqrt 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\)
Tìm số z phức biết phần thực bằng 12 và môđun của z bằng 13.
A. \(z = 5 \pm 12i\)
B. \(z = 1 \pm 12i\)
C. \(z = 12 \pm 5i\)
D. \(z = 12\pm i\)
Gọi \(z = a + bi\,\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\) ta có: a=12.
\(\begin{array}{l} \left| z \right| = 13 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13\\ \Rightarrow \sqrt {{{12}^2} + {b^2}} = 13 \Leftrightarrow b = \pm 5 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \left| z \right| = 13 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13\\ \Rightarrow \sqrt {{{12}^2} + {b^2}} = 13 \Leftrightarrow b = \pm 5 \end{array}\)
Cho (H) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = {z^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (H) gồm cả mặt phẳng.
B. (H) là một đường thẳng
C. (H) là một điểm
D. (H) là hai đường thẳng.
Giả sử số phức \(z = a + bi\) khi đó ta có:
\({\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} + 2abi - {b^2}\) hay \(b = ai\) .
Khi đó: \(z = a + bi = a + ai.i = a - a = 0\).
\({\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} + 2abi - {b^2}\) hay \(b = ai\) .
Khi đó: \(z = a + bi = a + ai.i = a - a = 0\).
Số phức z có điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong hình dưới đây (kể cả biên) ?
A. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), phần ảo nằm trong đoạn [1;2].
B. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), \(1 \le \left| z \right| \le 2\).
C. Số phức z có phần ảo nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), \(1 \le \left| z \right| \le 2\).
D. Số phức z có phần thực nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\), phần thực nằm trong đoạn [1;2].
Ta nhận thấy phần gạch chéo được giới hạn bởi đường thẳng \(y=-\frac{1}{2}\) . Nghĩa là \(y\leq -\frac{1}{2}\).
Suy ra phần ảo nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\) .
Còn khoảng gạch chéo ta nhận thấy nó liên quan đến khoảng cách từ tâm O đến điểm biểu diễn.
Tức là mô đun của số phức. Vậy rõ ràng \(1 \le \left| z \right| \le 2\).
Suy ra phần ảo nhỏ hơn hoặc bằng \(-\frac{1}{2}\) .
Còn khoảng gạch chéo ta nhận thấy nó liên quan đến khoảng cách từ tâm O đến điểm biểu diễn.
Tức là mô đun của số phức. Vậy rõ ràng \(1 \le \left| z \right| \le 2\).
Cho số phức z =2+i. Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức \(\omega = (1 - i)z.\)
A. Điểm M
B. Điểm N
C. Điểm P
D. Điểm Q
\({\rm{w}} = (1 - i)z = (1 - i)(2 + i) = 2 + i - 2i - {i^2} = 3 - i\)
Vậy điểm biểu diễn số phức z có toạ độ (3;-1).
Vậy điểm biểu diễn số phức z có toạ độ (3;-1).
Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng phức là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.
A. 4x + 6y – 3 = 0
B. 4x – 6y -3 = 0
C. 4x + 6y + 3 = 0
D. 4x – 6y+ 3 = 0
Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ). Ta có
\(\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {(a + 1) + (b - 1)i} \right| = \left| {(a - 1) + (b + 2)i} \right|\)
\(\Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b - 1)^2} = {(a - 1)^2} + {(b + 2)^2}\)
\(\Leftrightarrow 4a - 6b - 3 = 0\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x – 6y – 3 = 0
\(\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {(a + 1) + (b - 1)i} \right| = \left| {(a - 1) + (b + 2)i} \right|\)
\(\Leftrightarrow {(a + 1)^2} + {(b - 1)^2} = {(a - 1)^2} + {(b + 2)^2}\)
\(\Leftrightarrow 4a - 6b - 3 = 0\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x – 6y – 3 = 0
Tìm tập hợp các điểm biểu diển số phức z thỏa mãn \(\left| {(1 + i)z + 1 - 7i} \right| \le \sqrt 2\) trên mặt phẳng phức.
A. Đường tròn tâm I(-3;-4), bán kính R=1.
B. Hình tròn tâm I(-3;-4), bán kính R=1 (kể cả biên)
C. Đường tròn tâm I(3;4), bán kính R=1.
D. Hình tròn tâm I(3;4), bán kính R=1 (kể cả biên)
Đặt z =x+yi (a, b ∈ ℝ).
Khi đó ta có:
\(\left| {(1 + i)(x + yi) + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 \Rightarrow \left| {(x - y + 1) + (x + y - 7)i} \right| \le \sqrt 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - y + 1)^2} + {(x + y - 7)^2} \le 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 24 \le 0\\ \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} \le 1 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diển số phức z là hình tròn tâm I(3;4), bán kính R=1 kể cả biên.
Khi đó ta có:
\(\left| {(1 + i)(x + yi) + 1 - 7i} \right| = \sqrt 2 \Rightarrow \left| {(x - y + 1) + (x + y - 7)i} \right| \le \sqrt 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - y + 1)^2} + {(x + y - 7)^2} \le 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 24 \le 0\\ \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} \le 1 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diển số phức z là hình tròn tâm I(3;4), bán kính R=1 kể cả biên.
Cho số phức \(z = a + (a - 1)i\,(a \in\mathbb{R} )\). Tìm a để \(\left| z \right| = 1\).
A. \(a = \frac{1}{2}\)
B. \(a = \frac{2}{3}\)
C. \(a =0\) hoặc \(a =1\)
D. \(\left| a \right| = 1\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {{(a - 1)}^2}} = \sqrt {2{a^2} - 2a + 1}\)
\(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 2a + 1} = 1 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = 1 \end{array} \right.\)
\(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 2a + 1} = 1 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = 1 \end{array} \right.\)
Cho số phức \(z = a + ai\,(a \in R)\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z khi a thay đổi.
A. Đường thẳng y=x
B. Đường thẳng y=ax
C. Đường thẳng y=ax-a
D. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = {a^2}\)
Số phức đã cho có điểm biểu diễn là M(a;a).
Do đó khi a thay đổi thì tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng có phương trình y=x.
Do đó khi a thay đổi thì tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng có phương trình y=x.
Cho số phức z có môđun \(\sqrt {17}\) và phần thực hơn phần ảo 5 đợn vị. Biết z có phần thực nhỏ hơn 2. Tìm môđun của số phức \({\rm{w}} = 2 + z\).
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 5\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 4\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {15}\)
Gọi \(z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R},a < 2)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 17\\ a - b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 4 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} a = 4\\ b = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Suy ra: \(z = 1 - 4i\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} {\rm{w}} = 2 + z = 3 - 4i\\ \Rightarrow \left| w \right| = 5 \end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 17\\ a - b = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 4 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} a = 4\\ b = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Suy ra: \(z = 1 - 4i\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} {\rm{w}} = 2 + z = 3 - 4i\\ \Rightarrow \left| w \right| = 5 \end{array}\)
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\omega = (1 + i\sqrt 2 )z + 2\) biết rằng số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| \le 2\).
A. Hình tròn tâm \(I(3;\sqrt 3 )\), bán kính R=4.
B. Hình tròn tâm \(I(3;3 )\), bán kính R=4.
C. Hình tròn tâm \(I(1;\sqrt 3 )\), bán kính R=2.
D. Hình tròn tâm \(I(1;1 )\), bán kính R=2.
Đặt \(z = a + bi,\,(a,b \in\mathbb{R} )\), \(\omega = x + yi,\,(x,y \in\mathbb{R} )\)
Ta có: \(\left| {z - 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} \le 4\,(1)\)
\(\begin{array}{l} \omega = (1 + i\sqrt 3 )z + 2 \Rightarrow x + yi = (1 + i\sqrt 3 )(a + bi) + 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a - b\sqrt 3 \\ y = \sqrt 3 a + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3 = a - 1 + b\sqrt 3 \\ y - \sqrt 3 = \sqrt 3 (a - 1) + b \end{array} \right. \end{array}\)
Từ đó ta có:
\({(x - 3)^2} + {(y - \sqrt 3 )^2} \le 4\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \right] \le 16\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\omega\) là hình tròn có phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {(y - \sqrt 3 )^2} \le 16\). Tâm \(I(3;\sqrt 3 )\), bán kính R=4.
Ta có: \(\left| {z - 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} \le 4\,(1)\)
\(\begin{array}{l} \omega = (1 + i\sqrt 3 )z + 2 \Rightarrow x + yi = (1 + i\sqrt 3 )(a + bi) + 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a - b\sqrt 3 \\ y = \sqrt 3 a + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3 = a - 1 + b\sqrt 3 \\ y - \sqrt 3 = \sqrt 3 (a - 1) + b \end{array} \right. \end{array}\)
Từ đó ta có:
\({(x - 3)^2} + {(y - \sqrt 3 )^2} \le 4\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \right] \le 16\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(\omega\) là hình tròn có phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {(y - \sqrt 3 )^2} \le 16\). Tâm \(I(3;\sqrt 3 )\), bán kính R=4.
Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp biểu diễn của số phức z thỏa mãn \left| {z - 2 + 3i} \right| = 7.
A. Đường tròn tâm I(2;-3), bán kính R=7.
B. Hình tròn tâm I(2;-3), bán kính R=7 (kể cả biên).
C. Đường tròn tâm I(-2;3), bán kính R=3.
D. Hình tròn tâm I(-2;3), bán kính R=3.
Đặt: \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})\)
\(\begin{array}{l} \left| {z - 2 + 3i} \right| = 7. \Rightarrow \left| {a + bi - 2 + 3i} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{(b + 3)}^2}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {(b + 3)^2} = 49 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn sô phức z là đường tròn có tâm I(2;-3), bán kính bằng 7.
\(\begin{array}{l} \left| {z - 2 + 3i} \right| = 7. \Rightarrow \left| {a + bi - 2 + 3i} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{(b + 3)}^2}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {(b + 3)^2} = 49 \end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn sô phức z là đường tròn có tâm I(2;-3), bán kính bằng 7.