Câu 1:
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x\), biết rằng \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\pi .\)
A. \(F\left( x \right) = \sin x + 2\pi \)
B. \(F\left( x \right) = 2x + 2\pi \)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2\pi \)
D. \(F\left( x \right) = x + \sin 2x + \frac{{3\pi }}{2}\)
Câu 2:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2{\rm{x}}}}?\)
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}} + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}}}} + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}}\ln 2 + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2{e^{2{\rm{x}}}} + C.\)
Câu 3:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\)
A. \(\int {{e^{2x}}dx} = - \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
B. \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
C. \(\int {{e^{2x}}dx} = 2{e^{2x}} + C\).
D. \(\int {{e^{2x}}dx} = - 2{e^{2x}} + C\).
Câu 4:
Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} \) bằng bao nhiêu?
A. \(I = 1\).
B. \(I = - 2\).
C. \(I = 0\).
D. \(I = - 1\).
Câu 5:
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2x+1\) và \(F(1)=3.\) Tính \(F\left( 0 \right)\).
A. \(F\left( 0 \right) = 0.\)
B. \(F\left( 0 \right) = 5.\)
C. \(F(0)=1\)
D. \(F(0)=2\).
Câu 6:
Cho \(\int_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7\,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính \(S = a + 4b - c\)
A. \(1.\)
B. \(\frac{4}{3}.\)
C. \(\frac{7}{3}.\)
D. \(2.\)
Câu 7:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\left( {2 + {e^{3x}}} \right)^2}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
B. \(\int {f(x)dx} = 3x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
C. \(\int {f(x)dx} = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} - \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
D. .\(\int {f(x)dx} = 3x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{5}{6}{e^{6x}} + C\).
Câu 8:
Biết hàm số \(F\left( x \right) = a{x^3} + \left( {a + b} \right){x^2} + \left( {2a - b + c} \right)x + 1\) là một nguyên hàm hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + 2\). Tính tổng \(a + b + c.\)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Câu 9:
Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {4^x}\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{{\ln 2}}.\) Khi đó giá trị \(F\left( 2 \right)\)bằng:
A. \(\frac{9}{{\ln 2}}.\)
B. \(\frac{3}{{\ln 2}}.\)
C. \(\frac{8}{{\ln 2}}.\)
D. \(\frac{7}{{\ln 2}}.\)
Câu 10:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x.\)
A. \(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C\)
B. \(\int {\cos 3xdx} = \sin 3x + C\)
C. \(\int {\cos 3xdx} = 3\sin 3x + C\)
D. \(\int {\cos 3xdx} = - \frac{1}{3}\sin 3x + C\)
Câu 11:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tính \(f\left( 5 \right).\)
A. \(f\left( 5 \right) = 2\ln 2\)
B. \(f\left( 5 \right) = \ln 4 + 1\)
C. \(f\left( 5 \right) = - 2\ln 2 + 1\)
D. \(f\left( 5 \right) = - 2\ln 2\)
Câu 12:
Tìm một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{3x + 1}}.\)
A. \({e^{3x + 1}}\)
B. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{2}\)
C. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{4}\)
D. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{3}\)
Câu 13:
Cho tích phân \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^3} + {x^2}}}dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c} \) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(S = a + b + c.\)
A. \(S = - \frac{2}{3}\)
B. \(S = - \frac{7}{6}\)
C. \(S = \frac{2}{3}\)
D. \(S = \frac{7}{6}\)
Câu 14:
Tính \(\int {\frac{1}{{4 - 2x}}d{\rm{x}}} .\)
A. \( - 2\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\)
B. \(\frac{1}{2}\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\)
C. \(\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\)
D. \( - \frac{1}{2}\ln \left| {x - 2} \right| + C.\)
Câu 15:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{2}.\)
A. \(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x - 1}}}}{4} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x}} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{4} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x + 1}} + C\)
Câu 16:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 2x + 1\) và F(2) = 2 thì F(x) là hàm số nào sau đây?
A. \(F(x) = - {x^2} + x - 1\).
B. \(F(x) = {x^2} + x - 2\) .
C. \(F(x) = {x^2} + x - 3\).
D. \(F(x) = {x^2} + x - 4\).
Câu 17:
Cho \(\int {\frac{x}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}d{\rm{x}}} = a.\ln \left| {x + 2} \right| + \frac{b}{{x + 2}} + C,\) trong đó a, b là các số nguyên. Tính \({a^2} + {b^2}.\)
A. \({a^2} + {b^2} = 5.\)
B. \({a^2} + {b^2} = 3.\)
C. \({a^2} + {b^2} = 2.\)
D. \({a^2} + {b^2} = 7.\)
Câu 18:
Biết \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}dx = \frac{{{e^a} - 1}}{b}} \) với \(a,b \in Z;b \ne 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(a < b\)
B. \(a = b\)
C. \(a + b = 10\)
D. \(a = 2b\)
Câu 19:
Biết rằng \(\int {\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx = a\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{b}{{x + 1}} + C} \) với \(a,b \in Z\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(\frac{a}{{2b}} = - \frac{1}{2}\)
B. \(\frac{b}{a} = 2\)
C. \(\frac{{2a}}{b} = 1\)
D. \(\frac{b}{a} = - 2\)
Câu 20:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - {\cot ^2}x.\)
A. \(y = \frac{1}{{\sin x}} - \frac{1}{{\cos x}}\)
B. \(y = \tan x - \cot x\)
C. \(y = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}\)
D. \(y = \tan x + \cot x\)
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x\), biết rằng \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\pi .\)
A. \(F\left( x \right) = \sin x + 2\pi \)
B. \(F\left( x \right) = 2x + 2\pi \)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2\pi \)
D. \(F\left( x \right) = x + \sin 2x + \frac{{3\pi }}{2}\)
\(\int {\cos 2xdx = \frac{{\sin 2x}}{2} + C} \) \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\sin \pi }}{2} + C = 2\pi \Rightarrow C = 2\pi \) \( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2\pi .\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2{\rm{x}}}}?\)
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}} + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}}}} + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}}}}\ln 2 + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2{e^{2{\rm{x}}}} + C.\)
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}}}} + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\)
A. \(\int {{e^{2x}}dx} = - \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
B. \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
C. \(\int {{e^{2x}}dx} = 2{e^{2x}} + C\).
D. \(\int {{e^{2x}}dx} = - 2{e^{2x}} + C\).
Theo công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\). Suy ra \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} \) bằng bao nhiêu?
A. \(I = 1\).
B. \(I = - 2\).
C. \(I = 0\).
D. \(I = - 1\).
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} = \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\frac{\pi }{2} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in0}} = 1\).
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2x+1\) và \(F(1)=3.\) Tính \(F\left( 0 \right)\).
A. \(F\left( 0 \right) = 0.\)
B. \(F\left( 0 \right) = 5.\)
C. \(F(0)=1\)
D. \(F(0)=2\).
Ta có\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^2} + x + C = F\left( x \right)\).
Do \(F\left( 1 \right) = 3 \Leftrightarrow 1 + 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 1\).
Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} + x + 1\).
Vậy\(F\left( 0 \right) = 1\).
Do \(F\left( 1 \right) = 3 \Leftrightarrow 1 + 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 1\).
Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} + x + 1\).
Vậy\(F\left( 0 \right) = 1\).
Cho \(\int_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7\,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính \(S = a + 4b - c\)
A. \(1.\)
B. \(\frac{4}{3}.\)
C. \(\frac{7}{3}.\)
D. \(2.\)
Ta có \(\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{1}{3}\left[ {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}}} \right]\).
Do đó:
\(\begin{array}{l}\int_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 4}}} \right|\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{3}\left( {\ln \frac{4}{7} - \ln \frac{2}{5}} \right)\\ = \frac{1}{3}\left( {\ln 2 + \ln 5 - \ln 7} \right) = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 5 - \frac{1}{3}\ln 7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy: \(S = \frac{1}{3} + 4.\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}\int_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 4}}} \right|\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{3}\left( {\ln \frac{4}{7} - \ln \frac{2}{5}} \right)\\ = \frac{1}{3}\left( {\ln 2 + \ln 5 - \ln 7} \right) = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 5 - \frac{1}{3}\ln 7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy: \(S = \frac{1}{3} + 4.\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\left( {2 + {e^{3x}}} \right)^2}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
B. \(\int {f(x)dx} = 3x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
C. \(\int {f(x)dx} = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} - \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
D. .\(\int {f(x)dx} = 3x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{5}{6}{e^{6x}} + C\).
\(\int {f(x)} dx = \int {{{\left( {2 + {e^{3x}}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {4 + 4{e^{3x}} + {e^{6x}}} \right)} {\rm{d}}x = 4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\).
Biết hàm số \(F\left( x \right) = a{x^3} + \left( {a + b} \right){x^2} + \left( {2a - b + c} \right)x + 1\) là một nguyên hàm hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + 2\). Tính tổng \(a + b + c.\)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} + 6x + 2} \right)} dx = {x^3} + 3{x^2} + 2x + C\)
Mặt khác \(F\left( x \right) = a{x^3} + \left( {a + b} \right){x^2} + \left( {2a - b + c} \right)x + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{a + b = 3}\\{2a - b + c = 2}\\{C = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{C = 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow a + b + c = 5\).
Mặt khác \(F\left( x \right) = a{x^3} + \left( {a + b} \right){x^2} + \left( {2a - b + c} \right)x + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{a + b = 3}\\{2a - b + c = 2}\\{C = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{C = 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow a + b + c = 5\).
Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {4^x}\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{3}{{\ln 2}}.\) Khi đó giá trị \(F\left( 2 \right)\)bằng:
A. \(\frac{9}{{\ln 2}}.\)
B. \(\frac{3}{{\ln 2}}.\)
C. \(\frac{8}{{\ln 2}}.\)
D. \(\frac{7}{{\ln 2}}.\)
Ta có: \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_1^2 {{4^x}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}}} \right|_1^2 = \frac{6}{{\ln 2}} = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) \Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \frac{6}{{\ln 2}} = \frac{9}{{\ln 2}}.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x.\)
A. \(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C\)
B. \(\int {\cos 3xdx} = \sin 3x + C\)
C. \(\int {\cos 3xdx} = 3\sin 3x + C\)
D. \(\int {\cos 3xdx} = - \frac{1}{3}\sin 3x + C\)
Ta có: \(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tính \(f\left( 5 \right).\)
A. \(f\left( 5 \right) = 2\ln 2\)
B. \(f\left( 5 \right) = \ln 4 + 1\)
C. \(f\left( 5 \right) = - 2\ln 2 + 1\)
D. \(f\left( 5 \right) = - 2\ln 2\)
\(\int {f'\left( x \right)} dx = \int {\frac{1}{{1 - x}}} dx = - \ln \left| {1 - x} \right| + C\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \ln \left| {1 - x} \right| + C;f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - \ln \left| {1 - 0} \right| + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) = - \ln \left| {1 - 5} \right| + 1 = - \ln 4 + 1 = - 2\ln 2 + 1\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \ln \left| {1 - x} \right| + C;f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - \ln \left| {1 - 0} \right| + C = 1 \Rightarrow C = 1\)
\( \Rightarrow f\left( 5 \right) = - \ln \left| {1 - 5} \right| + 1 = - \ln 4 + 1 = - 2\ln 2 + 1\)
Tìm một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{3x + 1}}.\)
A. \({e^{3x + 1}}\)
B. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{2}\)
C. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{4}\)
D. \(\frac{{{e^{3x + 1}}}}{3}\)
Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {{e^{3x + 1}}} dx = \frac{{{e^{3x + 1}}}}{3} + C.\)
Cho tích phân \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^3} + {x^2}}}dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c} \) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(S = a + b + c.\)
A. \(S = - \frac{2}{3}\)
B. \(S = - \frac{7}{6}\)
C. \(S = \frac{2}{3}\)
D. \(S = \frac{7}{6}\)
Ta có \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^3} + {x^2}}}} dx = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx = \left( { - \frac{1}{x} - \ln \left| x \right| + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = - 2\ln 3 + 3\ln 2 + \frac{1}{6}\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2,b = 3}\\{c = \frac{1}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \frac{7}{6}.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2,b = 3}\\{c = \frac{1}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \frac{7}{6}.\)
Tính \(\int {\frac{1}{{4 - 2x}}d{\rm{x}}} .\)
A. \( - 2\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\)
B. \(\frac{1}{2}\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\)
C. \(\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\)
D. \( - \frac{1}{2}\ln \left| {x - 2} \right| + C.\)
Ta có: \(\int {\frac{1}{{4 - 2{\rm{x}}}}d{\rm{x}}} = \int {\frac{1}{{ - 2{\rm{x + 4}}}}d{\rm{x}}} = - \frac{1}{2}\ln \left| {4 - 2x} \right| + C = - \frac{1}{2}\ln \left| {x - 2} \right| + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{2}.\)
A. \(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x - 1}}}}{4} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x}} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{4} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x + 1}} + C\)
Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{4} + C.\) \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
Nếu F(x) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 2x + 1\) và F(2) = 2 thì F(x) là hàm số nào sau đây?
A. \(F(x) = - {x^2} + x - 1\).
B. \(F(x) = {x^2} + x - 2\) .
C. \(F(x) = {x^2} + x - 3\).
D. \(F(x) = {x^2} + x - 4\).
Ta có: \(\int {f(x)dx} = {x^2} + x + C\)
Khi đó, để \(F\left( 2 \right) = 2\) điều kiện là:
\(2 = 4 + 2 + C \Leftrightarrow C = - 4 \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} + x - 4\), ứng với đáp án D.
Khi đó, để \(F\left( 2 \right) = 2\) điều kiện là:
\(2 = 4 + 2 + C \Leftrightarrow C = - 4 \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} + x - 4\), ứng với đáp án D.
Cho \(\int {\frac{x}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}d{\rm{x}}} = a.\ln \left| {x + 2} \right| + \frac{b}{{x + 2}} + C,\) trong đó a, b là các số nguyên. Tính \({a^2} + {b^2}.\)
A. \({a^2} + {b^2} = 5.\)
B. \({a^2} + {b^2} = 3.\)
C. \({a^2} + {b^2} = 2.\)
D. \({a^2} + {b^2} = 7.\)
\(\begin{array}{l}\int {\frac{x}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + x}}d{\rm{x}}} = \int {\left[ {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]d{\rm{x}}} = \ln \left| {x + 2} \right| + \frac{2}{{x + 2}} + C.\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5.\end{array}\)
Biết \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}dx = \frac{{{e^a} - 1}}{b}} \) với \(a,b \in Z;b \ne 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(a < b\)
B. \(a = b\)
C. \(a + b = 10\)
D. \(a = 2b\)
Ta có \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^6} - 1}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a = 2b.\)
Biết rằng \(\int {\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx = a\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{b}{{x + 1}} + C} \) với \(a,b \in Z\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(\frac{a}{{2b}} = - \frac{1}{2}\)
B. \(\frac{b}{a} = 2\)
C. \(\frac{{2a}}{b} = 1\)
D. \(\frac{b}{a} = - 2\)
\(\begin{array}{l}\int {\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} = \int {\frac{{\left( {x + 1} \right) + 2}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx = \int {\left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \right)} = \ln \left| {x + 1} \right| - \frac{2}{{x + 1}} + C\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{2a}}{b} = - 1\end{array}\)
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - {\cot ^2}x.\)
A. \(y = \frac{1}{{\sin x}} - \frac{1}{{\cos x}}\)
B. \(y = \tan x - \cot x\)
C. \(y = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}\)
D. \(y = \tan x + \cot x\)
Ta có: \(\int {\left( {{{\tan }^2}x - {{\cot }^2}x} \right)} dx = \int {\left( {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
\( = \tan x + \cot x + C\)
\( = \tan x + \cot x + C\)