Câu 1:
Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\) Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0.\)
A. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\)
B. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\)
C. \(F(x) = - \sqrt 3 - \cot x\)
D. \(F(x) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\)
Câu 2:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{{4^x}.\ln 4}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = {4^x} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = {4^x}.\ln 4 + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\)
Câu 3:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\sqrt {2x + 1} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = 2\sqrt {2x + 1} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \sqrt {2x + 1} + C\)
Câu 4:
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {1000^x}\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = {1000^x} + C\)
Câu 5:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f(x) = {\cos ^3}x.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x}}{x} + C.\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sin 3x}}{3} + 3\sin x} \right) + C.\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{12}}\sin 3x - \frac{3}{4}\sin x + C.\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x.\sin x}}{4} + C.\)
Câu 6:
Tìm nguyên hàm của hàm số y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}.
A. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C.\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C.\)
D. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)
Câu 7:
Biết hàm số f(x) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\left( {a,b \ne 0} \right),f\left( { - 1} \right) = 2,f\left( 1 \right) = 4,f'\left( x \right) = 0.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{x} + \frac{{11}}{2}\)
B. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}\)
C. \(f\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{4}{x} + 2\)
D. \(f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{2}{x} + 2\)
Câu 8:
Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\)?
A. \(F\left( x \right) = \ln \left| {2x + 1} \right| + 1.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {4x + 2} \right| + 3.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + 3\).
Câu 9:
Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5}\). Tính S=a+b+c.
A. S=1.
B. S=0.
C. S=-1.
D. S=2.
Câu 10:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}\).
A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}} + C} .\)
B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\tan 2x + C} .\)
C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\tan 2x + C} .\)
D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{\cos x}} + C} .\)
Câu 11:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C\)
B. \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = \frac{1}{x} + C}\)
C. \(\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} = \ln \left| x \right| + C\)
D. \(\int {{2^x}dx = {2^x} + C}\)
Câu 12:
Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \sin \left( {1 - 2x} \right)\) trên đoạn \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{3}{2}\)
B. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right)\)
C. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right) + 1\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}\)
Câu 13:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}.\)
A. \(\int {{e^{2x}}dx} = 2{e^{2x}} + C\)
B. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C}\)
C. \(\int {{e^{2x}}dx = {e^{2x}} + C}\)
D. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{{2x + 1}}} + C\)
Câu 14:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\int \frac{1}{cos^2x} = tan x + C.\)
B. \(\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}.e^{3x}+C\)
C. \(\int \frac{1}{x}dx = ln x + C.\)
D. \(\int \sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
Câu 15:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x - \sin 2x.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + C\)
Câu 16:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {2{e^x}{\rm{d}}x} .\)
A. \(I = 2e + 1\)
B. \(I = 2e -2\)
C. \(I = 2e\)
D. \(I = 2e-1\)
Câu 17:
Tìm số dương a sao cho \(\int\limits_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} {\rm{d}}x = \frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln 3.\)
A. a=5
B. a=4
C. a=3
D. a=2
Câu 18:
Giả sử \(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \ln c.\) Tìm c.
A. c=9
B. c=3
C. c=81
D. c=8
Câu 19:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}}.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x - 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)
C. \(F\left( x \right) = - \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)
Câu 20:
Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right)\)và \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1.\) Tính F(0)?
A. \(F(0) = 1.\)
B. \(F(0) = 2.\)
C. \(F(0) = 0.\)
D. \(F(0) = - 1.\)
Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\) Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0.\)
A. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\)
B. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\)
C. \(F(x) = - \sqrt 3 - \cot x\)
D. \(F(x) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\)
Ta có \(F(x) = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}\)
Mà: \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Rightarrow C - \sqrt 3 = 0 \Rightarrow C = \sqrt 3 \Rightarrow f(x) = \sqrt 3 - \cot x.\)
Mà: \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Rightarrow C - \sqrt 3 = 0 \Rightarrow C = \sqrt 3 \Rightarrow f(x) = \sqrt 3 - \cot x.\)
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{{4^x}.\ln 4}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = {4^x} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = {4^x}.\ln 4 + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\)
Ta có: \(\int {f(x)dx = \int {{2^{2x}}dx = \int {{4^x}dx = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C} } } .\)
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\sqrt {2x + 1} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = 2\sqrt {2x + 1} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \sqrt {2x + 1} + C\)
Ta có \(\int {f(x)dx = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {2x + 1} }} = \int {{{(2x + 1)}^{ - \frac{1}{2}}}dx = {{(2x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = \sqrt {2x + 1} + C} } } .\)
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {1000^x}\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = {1000^x} + C\)
Ta có \(F\left( x \right) = \int {{{1000}^x}dx} = \frac{{{{1000}^x}}}{{\ln 1000}} + C = \frac{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^x}}}{{\ln {{10}^3}}} + C = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f(x) = {\cos ^3}x.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x}}{x} + C.\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sin 3x}}{3} + 3\sin x} \right) + C.\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{12}}\sin 3x - \frac{3}{4}\sin x + C.\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\cos }^4}x.\sin x}}{4} + C.\)
Ta có
\(\int {f(x)dx = \int {{{\cos }^3}xdx = \frac{1}{4}\int {(\cos 3x + 3\cos x)dx = \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sin 3x}}{3} + 3\sin x} \right)} + C} } .\)
\(\int {f(x)dx = \int {{{\cos }^3}xdx = \frac{1}{4}\int {(\cos 3x + 3\cos x)dx = \frac{1}{4}\left( {\frac{{\sin 3x}}{3} + 3\sin x} \right)} + C} } .\)
Tìm nguyên hàm của hàm số y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}.
A. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C.\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C.\)
D. \(\int {f(x) = } \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C.\)
Ta có: \(y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln |x| + C} .\)
Biết hàm số f(x) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\left( {a,b \ne 0} \right),f\left( { - 1} \right) = 2,f\left( 1 \right) = 4,f'\left( x \right) = 0.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{x} + \frac{{11}}{2}\)
B. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}\)
C. \(f\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{4}{x} + 2\)
D. \(f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{2}{x} + 2\)
Ta có \(f'\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)dx = \frac{{a{x^2}}}{2}} - \frac{b}{x} + C.\)
Mà \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow a + b = 0\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} \right) = 2}\\ {f\left( 1 \right) = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{a}{2} + b + C = 2}\\ {\frac{a}{2} - b + C = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}}\\ {c = \frac{5}{2}} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}.\)
Mà \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow a + b = 0\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} \right) = 2}\\ {f\left( 1 \right) = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{a}{2} + b + C = 2}\\ {\frac{a}{2} - b + C = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}}\\ {c = \frac{5}{2}} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}.\)
Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\)?
A. \(F\left( x \right) = \ln \left| {2x + 1} \right| + 1.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {4x + 2} \right| + 3.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + 3\).
Ta có
\(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{1}{{2x + 1}}} dx\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C = \frac{1}{4}\ln \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + C. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{1}{{2x + 1}}} dx\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C = \frac{1}{4}\ln \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + C. \end{array}\)
Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5}\). Tính S=a+b+c.
A. S=1.
B. S=0.
C. S=-1.
D. S=2.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{{\rm{1}}}{{\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 2 + \frac{1}{2}\ln 3 = - \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5. \end{array}\)
Vậy S=0.
\(\begin{array}{l} \int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{{\rm{1}}}{{\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 2 + \frac{1}{2}\ln 3 = - \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5. \end{array}\)
Vậy S=0.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x}}\).
A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}} + C} .\)
B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\tan 2x + C} .\)
C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\tan 2x + C} .\)
D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{\cos x}} + C} .\)
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\tan 2x + C} .\)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C\)
B. \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = \frac{1}{x} + C}\)
C. \(\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} = \ln \left| x \right| + C\)
D. \(\int {{2^x}dx = {2^x} + C}\)
Ta có \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\int {\frac{{dx}}{{2\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C\) nên A đúng.
Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \sin \left( {1 - 2x} \right)\) trên đoạn \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{3}{2}\)
B. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right)\)
C. \(F\left( x \right) = \cos \left( {1 - 2x} \right) + 1\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}\)
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin \left( {1 - 2x} \right)} dx = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + C.\)
Mà \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}\cos 0 + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}.\)
Mà \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}\cos 0 + C = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos \left( {1 - 2x} \right) + \frac{1}{2}.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}.\)
A. \(\int {{e^{2x}}dx} = 2{e^{2x}} + C\)
B. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C}\)
C. \(\int {{e^{2x}}dx = {e^{2x}} + C}\)
D. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{{2x + 1}}} + C\)
Xét nguyên hàm \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.\)
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\int \frac{1}{cos^2x} = tan x + C.\)
B. \(\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}.e^{3x}+C\)
C. \(\int \frac{1}{x}dx = ln x + C.\)
D. \(\int \sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau:
\(\int \frac{1}{cos^2x}dx=tanx +C, \int e^{3x}dx =\frac{1}{3}e^{3x}+C, \int sin2x dx=-\frac{1}{2}cos2x + C\)
\(\int \frac{dx}{x} = \ln \left| x \right| + C \Rightarrow\) đáp án C sai.
\(\int \frac{1}{cos^2x}dx=tanx +C, \int e^{3x}dx =\frac{1}{3}e^{3x}+C, \int sin2x dx=-\frac{1}{2}cos2x + C\)
\(\int \frac{dx}{x} = \ln \left| x \right| + C \Rightarrow\) đáp án C sai.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x - \sin 2x.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + C\)
Ta có \(\int {(x - \sin 2x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {2{e^x}{\rm{d}}x} .\)
A. \(I = 2e + 1\)
B. \(I = 2e -2\)
C. \(I = 2e\)
D. \(I = 2e-1\)
\(I = \left. {\int\limits_0^1 {2{e^x}dx = 2{e^x}} } \right|_0^1 = 2e - 2.\)
Tìm số dương a sao cho \(\int\limits_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} {\rm{d}}x = \frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln 3.\)
A. a=5
B. a=4
C. a=3
D. a=2
Ta có:
\( \int_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} = \int_0^a {[(x + 1) + \frac{1}{{x + 1}}]dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln |x + 1|} \right)} \right|_0^a = \frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln (a + 1)} .\)
Suy ra a=2.
\( \int_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} = \int_0^a {[(x + 1) + \frac{1}{{x + 1}}]dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln |x + 1|} \right)} \right|_0^a = \frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln (a + 1)} .\)
Suy ra a=2.
Giả sử \(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \ln c.\) Tìm c.
A. c=9
B. c=3
C. c=81
D. c=8
\(I = \int_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}} = \left. {\frac{1}{2}\ln |2x + 1|} \right|_1^5 = \frac{1}{2}\ln 9 = \ln 3} .\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}}.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x - 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)
C. \(F\left( x \right) = - \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)
Ta có \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}} \Rightarrow \int {f\left( x \right)} dx = \int {{2^{2x + 1}}} dx = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{2.\ln 2}} + C = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}} + C.\)
Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right)\)và \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1.\) Tính F(0)?
A. \(F(0) = 1.\)
B. \(F(0) = 2.\)
C. \(F(0) = 0.\)
D. \(F(0) = - 1.\)
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right)} dx = - 2\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{x}{2}} \right) + C.\)
Mà \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( 0 \right) = - 2.\frac{1}{2} + 1 = 0.\)
Mà \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( 0 \right) = - 2.\frac{1}{2} + 1 = 0.\)