Câu 1:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{2x + 1}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = -\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = -\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
D. \(\int {f(x)dx =\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
Câu 2:
Công thức tính nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?
A. \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln x + C}\)
B. \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)}\)
C. \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)
D. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\)
Câu 3:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = -3x^3- \frac{3}{x} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C}\)
Câu 4:
\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}\,\,(x \ne 0).\) Biết rằng \(F(1) = 1,\) \(F(x)\) là biểu thức nào sau đây?
A. \(F(x) = 2x - \frac{3}{x} + 2\)
B. \(F(x) = 2\ln \left| x \right| + \frac{3}{x} + 2\)
C. \(F(x) = 2x + \frac{3}{x} -4\)
D. \(F(x) = 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{x} + 4\)
Câu 5:
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\,(x \ne 0),\) biết rằng \(F( - 1) = 1,F(1) = 4,f(1) = 0.\)
A. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\)
B. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\)
C. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{4x}} - \frac{7}{2}\)
D. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\)
Câu 6:
Tìm m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 6} \right)dx} = 7.\)
A. m=1 hoặc m=7
B. m=1 hoặc m=-7
C. m=-1 hoặc m=7
D. m=-1 hoặc m=-7
Câu 7:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = } \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } {e^x} + \frac{1}{x} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \ln x + \frac{1}{x} + C\)
Câu 8:
Đặt \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2mx + 1} \right)dx}\) (m là tham số thực). Tìm m để I=4
A. m=-1
B. m=-2
C. m=1
D. m=2
Câu 9:
Biết \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = - 2\). Tính giá trị của tham số a.
A. a = -2
B. a = 3
C. a = 1
D. a = 1, a =2
Câu 10:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt x \,(x > 0).\)
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{5}{x^2}\sqrt x + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}x\sqrt x + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{2}\sqrt x + C\)
Câu 11:
Cho F(x) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^{3x}}\) thỏa mãn F(0) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(F(x) = {e^{3x}}\)
B. \(F(x) = - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{4}{3}\)
C. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}\)
D. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}\)
Câu 12:
Biết rằng \(\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = a\ln 5 + b\ln 2, \left( {a,b \in Z } \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a + 2b = 0
B. a + b = 0
C. a - b = 0
D. 2a - b = 0
Câu 13:
Trong các hàm số dưới đây hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.\)
A. \({F_1}\left( x \right) = \frac{1}{2}{\rm{cos2x}}\)
B. \({F_4}\left( x \right) = {\sin ^2}x + 2\)
C. \({F_2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\sin }^2}x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)\)
D. \({F_3}\left( x \right) = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\)
Câu 14:
Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x\)
B. \(F(x) = - 2{\cos ^2}x\)
C. \(F(x) = - 1 - \cos 2x\)
D. \(F(x) = - 1 - 2\cos x\sin x\)
Câu 15:
Cho \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{64}}\) và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m\), với m,n là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. n>m
B. 1<n+m<5
C. n<m
D. n=m
Câu 16:
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {2{e^x} + 1} \right)\) biết \(F(0)=1.\)
A. \(F\left( x \right) = 2x + {e^{ - x}}.\)
B. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 2.\)
C. \(F\left( x \right) = 2 + {e^{ - x}}.\)
D. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 1.\)
Câu 17:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}.\)
A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \sin x + C.}\)
B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.}\)
C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = -\sin x + C.}\)
D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.\)
Câu 18:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\cos 2x + C}\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2\cos 2x + C\)
Câu 19:
Tìm nguyên hàm của hàm số y = \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{2{{\rm{x}}^2} - x - 1}}.
A. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{2}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Câu 20:
Tìm các số a, b để hàm số \(f\left( x \right) = a\sin \pi x + b\) thỏa mãn: f(1)=2 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4.\)
A. \(a = \pi ,b = 2\)
B. \(a = -\pi ,b = 2\)
C. \(a = \frac{\pi }{2} ,b = 2\)
D. \(a =- \frac{\pi }{2} ,b = 2\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{2x + 1}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = -\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = -\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
D. \(\int {f(x)dx =\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
\(\int {f(x)dx = \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C}\)
Công thức tính nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?
A. \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln x + C}\)
B. \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)}\)
C. \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\)
D. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C\)
Công thức \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln x + C}\) sai.
Công thức đúng phải là: \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} .\)
Công thức đúng phải là: \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} .\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = -3x^3- \frac{3}{x} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C}\)
\(\int {f(x)dx = \int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}dx = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} } = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C}\)
\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}\,\,(x \ne 0).\) Biết rằng \(F(1) = 1,\) \(F(x)\) là biểu thức nào sau đây?
A. \(F(x) = 2x - \frac{3}{x} + 2\)
B. \(F(x) = 2\ln \left| x \right| + \frac{3}{x} + 2\)
C. \(F(x) = 2x + \frac{3}{x} -4\)
D. \(F(x) = 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{x} + 4\)
\(\begin{array}{l} I = \int {\frac{{2x + 3}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {\frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{4} + C\\ F(1) = 1 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow F(x) = 2\ln \left| x \right| - \frac{3}{x} + 4 \end{array}\)
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\,(x \ne 0),\) biết rằng \(F( - 1) = 1,F(1) = 4,f(1) = 0.\)
A. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\)
B. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\)
C. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{4x}} - \frac{7}{2}\)
D. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\)
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int {\left( {ax + b{x^{ - 2}}} \right)dx} \\ = \frac{{a{x^2}}}{2} + \frac{{b{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + C = F(x). \end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} F( - 1) = 1\\ F(1) = 4\\ f(1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{2} + b + C = 1\\ \frac{a}{2} - b + C = 4\\ a + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{3}{2}\\ b = - \frac{3}{2}\\ c = \frac{7}{4} \end{array} \right.\)
Vậy: \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} F( - 1) = 1\\ F(1) = 4\\ f(1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{2} + b + C = 1\\ \frac{a}{2} - b + C = 4\\ a + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{3}{2}\\ b = - \frac{3}{2}\\ c = \frac{7}{4} \end{array} \right.\)
Vậy: \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\)
Tìm m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 6} \right)dx} = 7.\)
A. m=1 hoặc m=7
B. m=1 hoặc m=-7
C. m=-1 hoặc m=7
D. m=-1 hoặc m=-7
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^m {\left( {2x + 6} \right)dx} = 7 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} + 6x} \right)} \right|_0^2 = 7 \Leftrightarrow {m^2} + 6m = 7\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 7 \end{array} \right. \end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = } \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } {e^x} + \frac{1}{x} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \ln x + \frac{1}{x} + C\)
\(\int {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\)
Đặt \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2mx + 1} \right)dx}\) (m là tham số thực). Tìm m để I=4
A. m=-1
B. m=-2
C. m=1
D. m=2
Ta có:
\(I = \left( {m{x^2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array} = \left( {4m + 2} \right) - \left( {m + 1} \right) = 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1} \right.\)
\(I = \left( {m{x^2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array} = \left( {4m + 2} \right) - \left( {m + 1} \right) = 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1} \right.\)
Biết \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = - 2\). Tính giá trị của tham số a.
A. a = -2
B. a = 3
C. a = 1
D. a = 1, a =2
\(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = - 2 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a = - 2 \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a = 2 \end{array} \right.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt x \,(x > 0).\)
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{5}{x^2}\sqrt x + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}x\sqrt x + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{2}\sqrt x + C\)
\(\int {x\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\)
Cho F(x) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^{3x}}\) thỏa mãn F(0) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(F(x) = {e^{3x}}\)
B. \(F(x) = - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{4}{3}\)
C. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}\)
D. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}\)
\(F(x) = \int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\)
\(\begin{array}{l} F(0) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\\ F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} F(0) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\\ F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}. \end{array}\)
Biết rằng \(\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = a\ln 5 + b\ln 2, \left( {a,b \in Z } \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a + 2b = 0
B. a + b = 0
C. a - b = 0
D. 2a - b = 0
\(\begin{array}{l} \int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = \int\limits_1^5 {\frac{3}{{x(x + 3)}}dx} = \int\limits_1^5 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^5 - \left. {\left( {\ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_1^5 = \ln 5 - \ln 2\\ \Rightarrow a + b = 0. \end{array}\)
Trong các hàm số dưới đây hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.\)
A. \({F_1}\left( x \right) = \frac{1}{2}{\rm{cos2x}}\)
B. \({F_4}\left( x \right) = {\sin ^2}x + 2\)
C. \({F_2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\sin }^2}x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)\)
D. \({F_3}\left( x \right) = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\)
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\sin 2xdx = - \frac{1}{2}cos2x + C} }\)
\(cos2x = co{s^2}x - {\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x - 1 = 1 - 2{\sin ^2}x\) nên B, C, D đúng.
Vậy A là phương án cần tìm.
\(cos2x = co{s^2}x - {\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x - 1 = 1 - 2{\sin ^2}x\) nên B, C, D đúng.
Vậy A là phương án cần tìm.
Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x\)
B. \(F(x) = - 2{\cos ^2}x\)
C. \(F(x) = - 1 - \cos 2x\)
D. \(F(x) = - 1 - 2\cos x\sin x\)
\(I = \int {2\sin 2x} dx = - \cos 2x + C.\)
Với C=1 thì \(I = 1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x.\)
Với C=-1 thì \(I = - 1 - \cos 2x = - (1 + \cos 2x) = - 2{\cos ^2}x.\)
Vậy các hàm số ở phương án A B C đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
Suy ra: D là phương án cần tìm.
Với C=1 thì \(I = 1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x.\)
Với C=-1 thì \(I = - 1 - \cos 2x = - (1 + \cos 2x) = - 2{\cos ^2}x.\)
Vậy các hàm số ở phương án A B C đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\)
Suy ra: D là phương án cần tìm.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{64}}\) và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m\), với m,n là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. n>m
B. 1<n+m<5
C. n<m
D. n=m
Ta có:
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x = \frac{1}{{64}}} \Leftrightarrow \left. {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{1}{{64}}\\ \Leftrightarrow n + 1 = 4 \Leftrightarrow n = 3. \end{array}\)
Và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left. {\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 9 = \ln m \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy \(n=m.\).
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x = \frac{1}{{64}}} \Leftrightarrow \left. {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{1}{{64}}\\ \Leftrightarrow n + 1 = 4 \Leftrightarrow n = 3. \end{array}\)
Và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left. {\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 9 = \ln m \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy \(n=m.\).
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {2{e^x} + 1} \right)\) biết \(F(0)=1.\)
A. \(F\left( x \right) = 2x + {e^{ - x}}.\)
B. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 2.\)
C. \(F\left( x \right) = 2 + {e^{ - x}}.\)
D. \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 1.\)
Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{e^{ - x}}\left( {2{e^x} + 1} \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right){\rm{d}}x = 2x - {e^{ - x}} + C.} } }\)
Do \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - {e^0} + C = 1\)\(\Leftrightarrow - 1 + C = 1\)\(\Leftrightarrow C = 2.\).
Vậy \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 2.\)
Do \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow - {e^0} + C = 1\)\(\Leftrightarrow - 1 + C = 1\)\(\Leftrightarrow C = 2.\).
Vậy \(F\left( x \right) = 2x - {e^{ - x}} + 2.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}.\)
A. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \sin x + C.}\)
B. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.}\)
C. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = -\sin x + C.}\)
D. \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {{{\sin }^3}\frac{x}{2} - {{\cos }^3}\frac{x}{2}} \right) + C.\)
Ta thấy \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2} = - \cos x\) nên \(\int {f(x){\rm{d}}x = \int { - \cos x{\rm{d}}x} = - \sin x + C} .\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\cos 2x + C}\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2\cos 2x + C\)
\(\int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số y = \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{2{{\rm{x}}^2} - x - 1}}.
A. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{2}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{3}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Họ nguyên hàm của hàm số \(\int {\frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{2{{\rm{x}}^2} - x - 1}}d{\rm{x}}}\) là:
Ta có:
\(\int {\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \int {\frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ = \int {\left[ { - \frac{4}{3}.\frac{1}{{2x + 1}} + \frac{5}{4}.\frac{1}{{x - 1}}} \right]dx}\)
\(= - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Ta có:
\(\int {\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \int {\frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} \\ = \int {\left[ { - \frac{4}{3}.\frac{1}{{2x + 1}} + \frac{5}{4}.\frac{1}{{x - 1}}} \right]dx}\)
\(= - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Tìm các số a, b để hàm số \(f\left( x \right) = a\sin \pi x + b\) thỏa mãn: f(1)=2 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4.\)
A. \(a = \pi ,b = 2\)
B. \(a = -\pi ,b = 2\)
C. \(a = \frac{\pi }{2} ,b = 2\)
D. \(a =- \frac{\pi }{2} ,b = 2\)
Ta có \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow a\sin \pi + b = 2 \Leftrightarrow b = 2\)
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a\sin \pi x + 2} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{ - a\cos \pi x}}{\pi } + 2x} \right)} \right|_0^1 = 4\)
\(\Leftrightarrow a = \pi\)
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a\sin \pi x + 2} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{ - a\cos \pi x}}{\pi } + 2x} \right)} \right|_0^1 = 4\)
\(\Leftrightarrow a = \pi\)