Toán 12 20 bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm và tích phân biến đổi về dạng cơ bản (phần 1)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {5x - 2} \right)\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } 5\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } - 5\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)
\(f\left( x \right) = \cos \left( {5x - 2} \right) \Rightarrow\) Nguyên hàm \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + C\).
Câu 2:
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3x + 1}}\) là:
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \left( {3x + 1} \right)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{4}\left( {3x + 1} \right)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sqrt[3]{{3x + 1}}dx} = \int {{{\left( {3x + 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}.\frac{{d\left( {3x + 1} \right)}}{3}}\)
\(= \frac{1}{3}.\int {{{\left( {3x + 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}d\left( {3x + 1} \right)} = \frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} + C\)
\(\Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{4}\left( {3x + 1} \right)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
Vậy đáp án cần tìm là C.
Câu 3:
Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng \(N'\left( x \right) = \frac{{2000}}{{1 + x}}\) và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Tìm số lượng vi khuẩn vào ngày thứ 12.
A. 10130
B. 5130
C. 5154
D. 10129
Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm. Cho \(N'\left( x \right)\) và đi tìm N(x)
Ta có: \(\int {\frac{{2000}}{{1 + x}}dx} = 2000.\ln \left| {1 + x} \right| + 5000\) (Do ban đầu khối lượng vi khuẩn là 5000). Với x =12 thì số lượng vi khuẩn là \(\approx 10130\) con.
Câu 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2}\).
A. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
B. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{9}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
C. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
D. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{3}{2}.\frac{1}{{\sqrt {3x + 2} }} + c\)
Đây là dạng tìm nguyên hàm cơ bản
\(\int {{u^n}dx} = \frac{1}{{u'.\left( {n + 1} \right)}}.{u^{n + 1}} + c\)
Áp dụng công thức trên vào thì
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{{3.\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)}}.{\left( {\sqrt {3x + 2} } \right)^{1 + \frac{1}{2}}} + c\)
\(= \frac{2}{9}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
Câu 5:
Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {e^x}\cos x\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right) + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } - {e^x}\sin x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{{{e^x}}}{{\cos x}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) + C\)
\(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x - \int {{e^x}\sin xdx}\)
\(\int {{e^x}\sin xdx} = - {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos xdx}\)
Do đó ta có:
\(\int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x - \int {{e^x}\cos xdx}\)
\(\Rightarrow \int {{e^x}\cos xdx} = \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right)\)
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 6:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_1^0 {\left( {{x^2} - {x^3}} \right)} dx\)
B. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx + \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\)
C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx - \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\)
D. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} - \int\limits_0^1 {{x^2}dx}\)
Ta có:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)} dx\)
Từ công thức trên ta suy ra được mệnh đề B là mệnh đề đúng.
Tiếp theo với mệnh đề A: Ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a { - f\left( x \right)dx}\) , nên mệnh đề này đúng.
Với mệnh đề D, ta thấy đây là mệnh đề đúng. Và chỉ còn đáp án C.
Câu 7:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{4{x^3} - 5{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\).
A. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {f(x)} dx = {x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\)
C. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x + \ln \left| x \right| + C\)
D. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x - \frac{1}{x} + C\)
Nhìn vào phân thức cần tìm nguyên hàm ta thấy đa thức ở tử số có bậc lớn hơn bậc của mẫu số, nên ta sẽ tiến hành chia tử số cho mẫu số ta được: \(\int {\frac{{4{x^3} - 5{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {4x - 5 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}\).\(= 2{x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\)
Câu 8:
Một công ty phải gánh chịu nợ gia tăng với tốc độ D(t) đô la mỗi năm, với \(D'\left( t \right) = 90\left( {t + 6} \right)\sqrt {{t^2} + 12t}\) trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 610 640 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này?
A. \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + C\)
B. \(D\left( t \right) = 30\sqrt[3]{{{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^2}}} + 1610640\)
C. \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + 1595280\)
D. \(D\left( t \right) = 30\sqrt[3]{{{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^2}}} + 1610640\)
Ta có:
\(\int {90\left( {t + 6} \right)\sqrt {{t^2} + 12tdt} } = 45\int {\sqrt {{t^2} + 12t} d\left( {{t^2} + 12t} \right)}\)
\(= 45\int {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{t^2} + 2t} \right)}\)
\(= 45.\frac{1}{{1 + \frac{1}{2}}}{\left( {{t^2} + 12t} \right)^{1 + \frac{1}{2}}}\)
\(= 30.\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}}\)
Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu sẽ được tính
\(1610640 - 30\sqrt {{{\left( {{4^2} + 12.4} \right)}^3}} = 1595280\)
Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau:
\(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + 1595280\)
Câu 9:
Tốc độ thay đổi doanh thu (bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy tính là f(x), biết \(f'\left( x \right) = 12{x^5} + 3{x^2} + 2x + 12\). Tìm tổng doanh thu khi bán được mười hai máy tính đầu tiên.
A. 5973984 đô la
B. 1244234 đô la
C. 622117 đô la
D. 2986992 đô la
Ta có: \(\int {\left( {12{x^5} + 3{x^2} + 2x + 12} \right)dx}\)
\(= \frac{{12}}{{5 + 1}}{x^6} + 3.\frac{1}{{2 + 1}}{x^3} + 2.\frac{1}{{1 + 1}}{x^2} + 12x + C\)
\(= 2{x^6} + {x^3} + {x^2} + 12x + C\).
Đây là “Tốc độ thay đổi doanh thu ( bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy tính” nên C = 0. Do vậy ta chỉ cần thay x = 12 vào sẽ được:
\(f\left( {12} \right) = {2.12^6} + {12^3} + 12.12 = 5973984\)
Câu 10:
Tính tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}\) được kết quả \(a + \frac{b}{e}\). Tính tổng \(a + b\).
A. -2
B. -1
C. 2
D. 3
\(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} \ln x = u \to du = \frac{1}{x}dx\\ \frac{{dx}}{{{x^2}}} = dv \Rightarrow v = - \frac{1}{x} \end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \left. { - \frac{1}{x}.\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e { - \frac{1}{x}.\frac{1}{x}dx}\)
\(= \left( { - \frac{1}{e}.{\mathop{\rm lne}\nolimits} } \right) - \left( { - \frac{1}{1}.\ln 1} \right) + \int\limits_1^e {\frac{1}{{{x^2}}}dx}\)
\(= \frac{{ - 1}}{e} + \left. {\left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^e = \frac{{ - 1}}{e} - \frac{1}{e} + \frac{1}{1} = 1 - \frac{2}{e}\)
Vậy a=1; b=-2 nên a+b=-1.
Câu 11:
Tìm a biết\(\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + {a^2} - 8} }}dx = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C}\).
A. a=1
B. a=2
C. a=3
D. a=4
\(\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + {a^2} - 8} }}dx = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C}\)
\(\Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{ax+a^{2}-8}}dx=\left ( \frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C \right )'=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow a=3\)
Câu 12:
Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho \(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\) và:
Ban đầu bể không có nước.
Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150 m3
Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 1100 m3
Tính thể tích V của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
A. V=8400 (m3)
B. V=2200 (m3)
C. V=600 (m3)
D. V=4200 (m3)
Nhìn vào bài toán ta có thể nhận ra ngay đây là bài toán tính tích phân, vì đã có đạo hàm. Nên từ các dữ kiện đề cho ta có:
\(\int\limits_0^5 {\left( {3a{t^2} + bt} \right)dt} = \left( {a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0 \end{array}} \right.\)\(= 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\)
Tương tự ta có \(1000a + 50b = 1100\)
Vậy từ đó ta tính được \(a = 1;b = 2\)
Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là \(\int\limits_0^{20} {h'\left( t \right)dt} = \left( {{t^3} + {t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ 0 \end{array}} \right. = 8400.\)
Câu 13:
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên miền \(D = \left[ {a;b} \right]\) có đồ thị là một đường cong C, người ta có thể tính độ dài C bằng công thức: \(L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} dx}\)
Với thông tin đó, hãy tính độ dài \({L_{(C)}}\) của đường cong C cho bởi \(y = \frac{{{x^2}}}{8} - \ln x\) trên [1;2]
A. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} - \ln 2\)
B. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} - \ln 4\)
C. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} + \ln 2\)
D. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} + \ln 4\)
\(f'(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\) nên áp dụng công thức ta có:
\(\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{x}{4} - \frac{1}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right)}^2}} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x}\) với \(x \in \left[ {1;2} \right]\).
Do đó: \({L_{(C)}} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{8} + \ln x} \right)} \right|} _1^2 = \frac{3}{8} + \ln 2\)
Câu 14:
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\) ta được kết quả \(I = a + {\mathop{\rm lnb}\nolimits}\). Tính tổng a+b.
A. a+b=1
B. a+b=2
C. a+b=0
D. a+b=-1
\(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)
\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)
Vậy a=-1; b=2. Suy ra a+b=1.
Câu 15:
Cho \(\int {f(x)dx = F(x) + C}\). Khi đó với \(a \ne 0\), tính \(\int {f(ax + b)dx}\).
A. \(\int {f(ax + b)dx} = aF(ax + b) + C\)
B. \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)
C. \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{{2a}}F(ax + b) + C\)
D. \(\int {f(ax + b)dx} = F(ax + b) + C\)
\(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)
Vì \(\frac{1}{a}\left[ {F(ax + b)} \right]' = \frac{1}{a}\left[ {a.f(ax + b)} \right] = f(ax + b)\)
Câu 16:
Gọi h(t) (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng \(h'(t) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}\) và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tính mực nước ở bồn sau khi bơm được 6 giây. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 2.33 (cm)
B. 5.06 (cm)
C. 2.66 (cm)
D. 3.33 (cm)
\(h(t) = \int {h'(t)dt = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}dt = \int {\frac{1}{5}{{\left( {t + 8} \right)}^{\frac{1}{3}}}dt = \frac{3}{{20}}{{\left( {t + 8} \right)}^{\frac{4}{3}}} + C} } }\)
Tại thời điểm ban đầu (t=0)
\(\begin{array}{l} h(0) = \frac{3}{{20}}{8^{\frac{4}{3}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{12}}{5}\\ \Rightarrow h(t) = \frac{3}{{20}}{(t + 8)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{12}}{5} \end{array}\)
Tại thời điểm t=6 giây:
\(h(6) = \frac{3}{{20}}{14^{\frac{4}{3}}} - \frac{{12}}{5} \approx 2.66\)
Câu 17:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x) = \frac{1}{{2x - 1}}\). Tính f(5) biết f(1)=1.
A. ln 2
B. ln 3
C. ln 2+1
D. ln 3+1
\(f'(x) = \frac{1}{{2x - 1}} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C\)
\(f(1) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\)
Vậy:
\(f(x) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + 1\)
\(\Rightarrow f(5) = \frac{1}{2}\ln 9 + 1 = \ln 3 + 1.\)
Câu 18:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}xdx.}\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(I = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
B. \(I = \frac{1}{8}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
C. \(I = \frac{1}{8}\left( {x - \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
D. \(I = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
\(I = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}xdx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}2xdx}\)
\(= \frac{1}{8}\int\limits_0^\pi {\left( {1 - \cos 4x} \right)dx} = \frac{1}{8}\left( {x - \sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
Câu 19:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} = \int {\frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}dx} = \int {\left[ {\frac{{ - 4}}{{3\left( {2x + 1} \right)}} + \frac{5}{{3\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx} \\ = \frac{{ - 2}}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x + 1} \right| + C \end{array}\)
Câu 20:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right| + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right| + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C}\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx = \int {\frac{1}{{(x - 2)(x + 1)}}} } = \int {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \\ = \frac{1}{3}\left( {\int {\frac{{dx}}{{x - 2}} - \int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} } } \right) = \frac{1}{3}\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right) + C = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C \end{array}\)
Chú ý: \(\frac{1}{{\left( {x + a} \right)(x + b)}} = \frac{1}{{b - a}}\left[ {\left( {\frac{1}{{x + a}} - \frac{1}{{x + b}}} \right)} \right]\), công thức này có thể suy ra bằng cách sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số.