Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo nên do quay xung quanh trục trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {(1 - x)^2},\,\,\,y = 0,\,\,\,x = 0,\,\,\,x = 2.\)
A. \(V = \frac{{8\pi \sqrt 2 }}{3}\)
B. \(V = \frac{{2\pi }}{5}\)
C. \(V = \frac{{5\pi }}{2}\)
D. \(V = 2\pi\)
Gọi V là thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{(1 - x)}^4}dx} .\)
Đặt: \(u = 1 - x \Rightarrow du = - dx\)
Khi đó: \(V = - \pi \int\limits_1^{ - 1} {{u^4}du} = \pi \left. {\frac{1}{5}.{u^5}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{2}{5}\pi .\)
Câu 2:
Cho miền phẳng (H) giới hạn bởi \frac{1}{4} đường tròn có bán kính R=2, đường cong y = \sqrt {4 - x} và trục hoành (miền gạch ngang trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho miền (H) quay xung quanh trục hoành.
Tính thể tích V của khối tròn xoay.jpg

A. \(V = \frac{{77\pi }}{6}\)
B. \(V = \frac{{76\pi }}{7}\)
C. \(V = \frac{{67\pi }}{7}\)
D. \(V = \frac{{66\pi }}{7}\)
Ta có thể tích khối cầu có bán kính r=2:[/B] \(r = 2:[/B]{V_C} = \frac{{4\pi {r^3}}}{3} = \frac{{4\pi {2^2}}}{3} = \frac{{32\pi }}{3}.\)
Suy ra thể tích khối tròn xoay xinh ra khi cho \(\frac{1}{4}\) đường tròn xoay quanh trục hoành là: \({V_1} = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{16\pi }}{3}.\)
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {4 - x}\) và trục hoành là:
\({V_2} = \pi \int\limits_0^3 {\left( {4 - x} \right)dx} = \frac{{15\pi }}{2}\)
\(\Rightarrow V = {V_1} + {V_2} = \frac{{77\pi }}{6}.\)
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a,b > 0} \right)\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 7.\) Biết diện tích elip (E) gấp 7 lần diện tích hình tròn (C). Tính tích ab.
A. \(ab=7\)
B. \(ab=7\sqrt{7}\)
C. \(ab=\sqrt{7}\)
D. \(ab=49\)
.\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a,b > 0} \right) \Rightarrow y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}}\)
Diện tích (E) là: \({S_{\left( E \right)}} = 4\int\limits_0^a {\frac{{b\sqrt {{a^2} - {x^2}} {\rm{d}}x}}{a}} = 4\frac{b}{a}\int\limits_0^a {\sqrt {{a^2} - {x^2}} {\rm{d}}x}\)
Đặt \(x = a\sin {\rm{t}},\,\,{\rm{t}} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow {\rm{d}}x = a\cos {\rm{tdt}}\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow {\rm{t}} = 0;\,x = a \Rightarrow {\rm{t}} = \frac{\pi }{2}\)
\({S_{\left( E \right)}} = 4\frac{b}{a}\int\limits_0^a {{{\rm{a}}^2}{\rm{.co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{tdt}}} = 2ab\int\limits_0^a {\left( {{\rm{1 + cos2t}}} \right){\rm{dt}}} = \pi ab\)
Mà ta có \({S_{\left( C \right)}} = \pi .{R^2} = 7\pi .\)
Theo giả thiết ta có \({S_{\left( E \right)}} = 7.{S_{\left( C \right)}} \Leftrightarrow \pi ab = 49\pi \Leftrightarrow ab = 49.\)
Câu 4:
Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x\), y=0, x=-1, x=2 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{5\pi }}{{18}}.\)
B. \(V = \frac{{18\pi }}{5}.\)
C. \(V = \frac{{17\pi }}{5}.\)
D. \(V = \frac{{16\pi }}{5}.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\).
Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}{\rm{d}}x}\)
\(= \pi \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right){\rm{d}}x}\)\(= \pi \left. {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{{18\pi }}{5}.\)
Câu 5:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\), \(y = \left( {1 + {e^x}} \right)x.\)
A. \(S = e + \frac{1}{2}.\)
B. \(S = e - \frac{1}{2}.\)
C. \(S = \frac{e}{2} - 1.\)
D. \(S = \frac{e}{2} + 1.\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \((e + 1)x = (1 + {e^x})x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Diện tích \(S = \int\limits_0^1 {\left| {(e + 1)x - (1 + {e^x})x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {(e - {e^x})x{\rm{d}}x}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = (e - {e^x})dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = ex - {e^x} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {(e - {e^x})x{\rm{d}}x} = \left. {x(ex - {e^x})} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {(ex - {e^x}){\rm{d}}x} \\ = - \left. {\left( {e\frac{{{x^2}}}{2} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \frac{e}{2} - 1. \end{array}\)
Vậy: \(S = \frac{e}{2} - 1.\)
Câu 7:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị \(y = {3^x},y = 4 - x\) và trục tung.

A. \(S = \frac{9}{2} + \frac{2}{{\ln 3}}.\)
B. \(S = \frac{9}{2} + \frac{3}{{\ln 3}}.\)
C. \(S = \frac{7}{2} - \frac{3}{{\ln 3}}.\)
D. \(S = \frac{7}{2} - \frac{2}{{\ln 3}}.\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({3^x} + x = 4 \Leftrightarrow x = 1,\) do VT tổng hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, VP là hằng số nên x=1 là nghiệm duy nhất.
Vậy: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{3^x} + x - 4} \right|} {\rm{d}}x = \left| {\left. {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)} \right|_0^1} \right|\)
\(= \left| {\frac{3}{{\ln 3}} - \frac{7}{2} - \frac{1}{{\ln 3}}} \right| = \frac{7}{2} - \frac{2}{{\ln 3}}.\)
Câu 8:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x,y = x + {\sin ^2}x,x = 0,x = \pi .\)
A. \(S=\pi\)
B. \(S=\pi-\frac{1}{2}\)
C. \(S=\pi-1\)
D. \(S=\frac{\pi}{2}\)
\(S = \int\limits_0^\pi {\left| {x - \left( {x + {{\sin }^2}x} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x} \right){\rm{ }}} \right|_0^\pi = \frac{\pi }{2}.\)
Câu 9:
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 2x,\,\,y = 0,\,\,x = 0\) và x=1.
A. \(V = \frac{{8\pi }}{{15}}.\)
B. \(V = \frac{{7\pi }}{8}.\)
C. \(V = \frac{{8\pi }}{7}.\)
D. \(V = \frac{{15\pi }}{8}.\)
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{8\pi }}{{15}}.\)
Câu 11:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f\left( { - 1} \right) > 0 > f\left( 0 \right). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f\left( x \right),y = 0,x = - 1 và x=1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} }\)
B. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}\)
C. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}\)
D. \(S = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} } \right|\)
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx} - \int\limits_0^1 {f(x)dx}\) nên B đúng.
Câu 12:
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0\) và x=4 quanh trục Ox. Đường thẳng x=a (0 tại M (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng \(V = 2{V_1}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác.jpg

A. \(a = 2\sqrt 2\)
B. \(a = \frac{5}{2}\)
C. \(a = 2\)
D. \(a = 3\)
khi xoay hai tam giác OMN và MNH quanh trục.jpg

Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi \frac{{{x^2}}}{2}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right. = 8\pi \Rightarrow {V_1} = 4\pi\)
Gọi N là giao điểm của đường thẳng x=a và trục hoành.
Khi đó V1 là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác OMN và MNH quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH.
Ta có \({V_1} = \frac{1}{3}\pi a{\left( {\sqrt a } \right)^2} + \frac{1}{3}\pi \left( {4 - a} \right){\left( {\sqrt a } \right)^2} = \frac{4}{3}\pi a = 4\pi \Rightarrow a = 3.\)
Câu 13:
Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.
Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau.png

A. \(S = \frac{{125}}{6}\left( {{m^2}} \right)\)
B. \(S = \frac{{125}}{4}\left( {{m^2}} \right)\)
C. \(S = \frac{{250}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
D. \(S = \frac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(x = 0;x = - 5;x = 5\)
Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau.
Xét diện tích s của mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có:
\(4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right] \Rightarrow s = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {x\sqrt {25 - {x^2}} } dx = \frac{{125}}{{12}}\)
\(\Rightarrow S = 4.\frac{{125}}{{12}} = \frac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right).\)
Câu 14:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = {x^2},y = 2x.\)
A. \(S = \frac{{20}}{3}\)
B. \(S = \frac{{3}}{4}\)
C. \(S = \frac{{4}}{3}\)
D. \(S = \frac{{3}}{20}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \({x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right.\)
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 0 \end{array}} \right.} \right| = \frac{4}{3}.\)
Câu 15:
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 7t\left( {m/s} \right).\) Đi được 5(s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a = - 70\left( {m/{s^2}} \right).\)Tính quãng đường S(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. \(S = 94,00\left( m \right)\)
B. \(S = 96,25\left( m \right)\)
C. \(S = 87,50\left( m \right)\)
D. \(S = 95,70\left( m \right)\)
Trong 5(s) đầu tiên \({v_1} = 7t\left( {m/s} \right) \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^5 {7tdt} = \frac{7}{2}{t^2} = \frac{7}{2}{.5^2} = 87,5\left( m \right)\)
Kể từ khi phanh \({v_2} = - \int\limits_5^t {70} dt = - 70t + 35 \Rightarrow {v_2} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow {S_2} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {35 - 70t} \right)dt} = \frac{{35}}{4}\left( m \right)\)
Suy ra quãng đường ô tô đi được bằng \(S = {S_1} + {S_2} = 96,25\left( m \right).\)
Câu 16:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y=f’(x) cho bởi hình vẽ dưới đây:
tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số.png

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành:
A. \(S = \frac{{21}}{4}\)
B. \(S = \frac{{27}}{4}\)
C. \(S = 9\)
D. \(S=\frac{5}{4}\)
Đồ thị hàm số y = f’(x) là đồ thị hàm số bậc hai, nhận Oy làm trục đối xứng nên \(f'(x) = a{x^2} + c\)
Đồ thị hàm số y = f’(x) đi qua (0;–3); (–1;0) và (1;0) nên c = –3; a = 3.
Khi đó \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = {x^3} - 3x + C\).
Điều kiện đồ thị hàm số y=f(x) tiếp xúc với đường thẳng y=x là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right) = 4}\\ {f'\left( x \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + C = 4}\\ {3\left( {{x^2} - 1} \right) = 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {C = 2} \end{array}} \right.\)
(Do x<0) suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\left( C \right)\)
Cho (C) cắt Ox tại các điểm có hoành độ \(x = - 2;x = 1\)
Khi đó \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)} \right|dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)} dx = \frac{{27}}{4}} .\)
Câu 17:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y=f(x), trục hoành, hai đường thẳng x=a, x=b (như hình vẽ dưới đây).
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị.png

Giả sử \(S_D\) là diện tích của hình phẳng D. chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?
A. \({S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\)
B. \({S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx - \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\)
C. \({S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\)
D. \({S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx - \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} }\)
Do \(f\left( x \right) \le 0\left( {\forall x \in \left[ {a;0} \right]} \right)\) và \(f\left( x \right) \ge 0\left( {\forall x \in \left( {0;b} \right)} \right)\)
Khi đó \({S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^b {f\left( x \right)} dx\)
Câu 18:
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol \((P): y=x^2\) và đường thẳng \((d): y=2x\) quay quanh trục Ox được tính bằng công thức nào sau đây?
A. \(V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx} - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} .\)
B. \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} .\)
C. \(V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx} + \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} .\)
D. \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} .\)
PT hoành độ giao điểm \({x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Do \(2x > {x^2},\forall x \in \left( {0;2} \right)\)
Vậy thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)dx} = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx} - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} .\)
Câu 19:
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường y = {2^x},y = - x + 3;\,y = 1.
A. \(S = \frac{1}{{\ln 2}} + 1.\) B. \(S = \frac{1}{{\ln 2}} - \frac{1}{2}.\) C. \(S = \frac{{47}}{{50}}.\) D. \(S = \frac{1}{{\ln 2}} + 3.\)
Tính diện tích miền phẳng giới hạn.png

Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2^x\) với đường thẳng y=1 là: \({2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.\)
Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng y=-x+3 với đường thẳng y=1 là: \(- x + 3 = 1 \Leftrightarrow x = 2.\)
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y=-x+3 là: \({2^x} = - x + 3 \Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có diện tích hình phẳng là phần tô đậm ở hình vẽ bên.
Khi đó: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{2^x} - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - x + 3 - 1} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{{\ln 2}} - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{{\ln 2}} - \frac{1}{2}.\)