Toán 12 19 bài Trắc nghiệm về Phép Toán với Số Phức trong đề thi thử (phần 2)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Tìm số phức z sao cho \(3z - \overline z = 2(3 - 10i)\).
A. \(z = - 3 - 5i\)
B. \(z = - 3 + 5i\)
C. \(z = 3 - 5i\)
D. \(z = 3 + 5i\)
\(\begin{array}{l} z = x + yi\,(x,y \in\mathbb{R} )\\ \Rightarrow \overline z = x - yi\\ 3z - \overline z = 2(3 - 10i)\\ \Leftrightarrow 3(x + iy) - (x - iy) = 6 - 20i\\ \Leftrightarrow 2x + 4yi = 6 - 20i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x = 6\\ 4y = - 20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = - 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 3 - 5i \end{array}\)
Câu 2:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn \(z + \frac{{2 + 3i}}{{1 - i}} = i + 2.\)
A. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(-\frac{3}{2}i\)
B. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(\frac{3}{2}i\)
C. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(\frac{3}{2}\)
D. Phần thực là \(\frac{5}{2}\), phần ảo là \(-\frac{3}{2}\)
\(z + \frac{{2 + 3i}}{{1 - i}} = i + 2 \Leftrightarrow z = i + 2 - \frac{{2 + 3i}}{{1 - i}} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\)
Câu 3:
Cho hai số phức \({z_1} = 2 - i\) và \({z_2} = 1 + 3i\). Tìm môđun của số phức \(z = \overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} .\)
A. \(\left| z \right| = \sqrt {13}\)
B. \(\left| z \right| = \sqrt {17}\)
C. \(\left| z \right| = 5\)
D. \(\left| z \right| = 17\)
\(\overline {{z_1}} = 2 + i\); \(\overline {{z_2}} = 1 - 3i\)
\(\Rightarrow z = 1 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {17}\)
Câu 4:
Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)
A. \(\omega = - 2 - 3i\)
B. \(\omega = 2 + 3i\)
C. \(\omega = 2 - 3i\)
D. \(\omega = - 2 + 3i\)
Đặt \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})\)
\(\begin{array}{l} \frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i \Rightarrow \frac{{5(a - bi + i)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow 5(a - bi + i) = \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi + 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 2(a + 1) + b\\ - 5b + 5 = 2b - (a + 1) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - b = 2\\ a - 7b = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy ta có \(z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i \Rightarrow \omega = 1 + (1 + i) + 2i = 2 + 3i\)
Câu 5:
Xác định phần thực, phần ảo của số phức thỏa \(z = \left( {1 - 2i} \right)\left( {4 - 3i} \right) - 2 + 8i.\)
A.Số phức z có phần thực: -4, phần ảo: -3.
B.Số phức z có phần thực: 4, phần ảo: 3.
C.Số phức z có phần thực: -3, phần ảo: -4.
D.Số phức z có phần thực: 3, phần ảo: 4.
\(z = \left( {1 - 2i} \right)\left( {4 - 3i} \right) - 2 + 8i = - 4 - 3i\).
Phần thực: -4, phần ảo: -3
Câu 6:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(z - 2\overline z = 3 + 4i\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. z có phần thực là -3
B. \(\overline z + \frac{4}{3}i\) có môđun \(\frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
C. z có phần ảo là \(\frac{4}{3}\)
D. z có môđun \(\frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi \Rightarrow - 2\overline z = - 2x + 2yi\)
Khi đó ta có:
\(x + yi - 2x + 2yi = 3 + 4i \Leftrightarrow - x + 3yi = 3 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x = 3\\ 3y = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ y = \frac{4}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(z = - 3 + \frac{4}{3}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{97}}{9}} = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
Câu 7:
Cho số phức \(z = 2 - 7i\). Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức \(\bar z.\)
A. -5
B. 2
C. -7
D. 9
Ta có: \(z = 2 - 7i \Rightarrow \left| {\mathop z\limits^ - } \right| = 2 + 7i.\)
Vậy tổng phần thực và phần ảo là 9.
Câu 8:
Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2
Đặt \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(\begin{array}{l} z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i \Leftrightarrow (a + bi) - (2 + 3i)(a - bi) = 1 - 9i\\ \Leftrightarrow a + bi - 2a + 2bi - 3ai - 3b = 1 - 9i\\ \Leftrightarrow - a - 3b - 1 + i(3b - 3a + 9) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 3b - 1 = 0\\ (3b - 3a + 9) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy phần ảo của số phức là -1.
Câu 9:
Xét các kết quả sau:
\(\left( 1 \right){i^3} = i\)
\(\left( 2 \right)\,\,{i^4} = i\)
\($\left( 3 \right)\,{(1 + i)^3} = - 2 + 2i\)
Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai?
A. Chỉ (1) sai
B. Chỉ (2) sai
C. Chỉ (3) sai
D. Chỉ (1) và (2) sai
(1) Và (2) sai vì: \({i^3} = {i^2}.i = - i\) và \({i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1.\)
(3) đúng vì ta có: \({\left( {1 + i} \right)^3} = 1 + 3i + 3{i^2} + {i^3} = - 2 + 2i.\)
Câu 10:
Tìm số phức z thỏa \((1 + 2i)z = 3z - i.\)
A. \(z = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i\)
B. \(z = 1+3i\)
C. \(z = \frac{1}{2}i\)
D. \(z = 2- \frac{1}{2}i\)
\(\begin{array}{l} \left( {1 + 2i} \right)z = 3z - i \Leftrightarrow \left( {1 + 2i - 3} \right)z = - i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{ - i}}{{ - 2 + 2i}} = \frac{1}{2}.\frac{{ - i}}{{ - 1 + i}} = \frac{1}{2}.\frac{{ - i\left( { - i - 1} \right)}}{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i \end{array}\)
Câu 11:
Cho hai số phức \(z = a + bi\) và \(z' = a' + b'i\). Tìm mối liên hệ a,b,a’,b’ để z.z' là một số thực.
A. \(aa' + bb' = 0\)
B. \(aa' - bb' = 0\)
C. \(ab' + a'b = 0\)
D. \(ab' - a'b = 0\)
\(z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = aa' - bb' + \left( {ab' + a'b} \right)i.\)
z.z’ là số thực khi \(ab' + a'b = 0.\)
Câu 12:
Tìm số phức \(\bar z\) biết số phức z thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1\\ \left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \end{array} \right.\)
A. \(\bar z = 1 + i\)
B. \(\bar z = 1 - i\)
C. \(\bar z = -1 - i\)
D. \(\bar z =- 1 + i\)
Đặt \(z=a+bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\). Ta có:
\(\begin{array}{l} \left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a - b = 0. \end{array}\)
\(\left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.\).
Vậy: \(\bar z = 1 - i.\)
Câu 13:
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = i(3i + 1).\)
A. \(\overline z = 3 - i\)
B. \(\overline z = -3 + i\)
C. \(\overline z = 3 + i\)
D. \(\overline z = -3 - i\)
Ta có: \(z = i\left( {3i + 1} \right) = i - 3 \Rightarrow \bar z = - 3 - i.\)
Câu 14:
Tính môđun của số phức thoả mãn \(z(2 - i) + 13i = 1.\)
A. \(\left| z \right| = \sqrt {34} .\)
B. \(\left| z \right| = 34\)
C. \(\left| z \right| = \frac{{5\sqrt {34} }}{3}\)
D. \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\)
\(z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1 \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 13i}}{{2 - i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 - 13i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}\)
\(\Rightarrow z = \frac{{2 + i - 26i + 13}}{{4 + i}} = \frac{{15 - 25i}}{5} = 3 - 5i\)
\(\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {5^2}} = \sqrt {34}\)
Câu 15:
Cho số phức \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\) thoả mãn \((1 + i)z + 2\overline z = 3 + 2i.\) Tính \(P=a+b.\)
A. \(P=\frac{1}{2}\)
B. \(P=1\)
C. \(P=-1\)
D. \(P=-\frac{1}{2}\)
\(\left( {1 + i} \right)z + 2\bar z = 3 + 2i.\)
Đặt: \(z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R})\)
\(\Rightarrow \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 3 + 2i\)
\(\Leftrightarrow a + bi + ai - b + 2a - 2bi - 3 - 2i = 0\)
\(\Leftrightarrow 3a - b - 3 + i\left( {a - b - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b - 2 = 0\\ 3a - b - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = - \frac{3}{2} \end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 1\)
Câu 16:
Xét số phức \(z\) thoả mãn \((1 + 2i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i.\)Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\frac{3}{2} < z < 2.\)
B. \(\left| z \right| > 2.\)
C. \(\left| z \right| < \frac{1}{2}\,.\)
D. \(\frac{1}{2} < \left| z \right| < \frac{3}{2}.\)
Đặt \($z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R})\) và \(c = \left| z \right|,\) thay vào đẳng thức đã cho:
\(\begin{array}{l} \left( {1 + 2i} \right)c = \frac{{\sqrt {10} }}{{a + bi}} - 2 + i = \frac{{\sqrt {10} (a - bi)}}{{{c^2}}} - 2 + i\\ \Leftrightarrow c - \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 + i\left( {2c + \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1} \right) = 0 \end{array}\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} c - \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 = 0\\ 2c + \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c + 2 = \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}}\\ - 2c + 1 = \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} \end{array} \right.\)
Nên: \({\left( {c + 2} \right)^2} + {(2c - 1)^2} = \frac{{10({a^2} + {b^2})}}{{{c^4}}} = \frac{{10}}{{{c^2}}}\)
Giải ra: \(c=\pm1\) mà \(c > 0 \Rightarrow c = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1.\)
Do đó:\(\frac{1}{2} < \left| z \right| < \frac{3}{2}.\)
Câu 17:
Tìm số phức z thỏa \(z\left( {1 - 2i} \right) = \left( {3 + 4i} \right){\left( {2 - i} \right)^2}.\)
A. \(z=25\)
B. \(z=5i\)
C. \(z=25+50i\)
D. \(z=5+10i\)
\(z\left( {1 - 2i} \right) = \left( {3 + 4i} \right){\left( {2 - i} \right)^2} \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {4 - 4i + {i^2}} \right)}}{{1 - 2i}}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{\left( {{3^2} - 16{i^2}} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{{1^2} + {2^2}}} \Leftrightarrow z = 5 + 10i\)
Câu 18:
Cho số phức \(z = - 3 - 4i.\) Tìm mô đun của số phức \(w = iz + \frac{{25}}{z}.\)
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 2\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| =5\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)
\(w = i\left( { - 3 - 4i} \right) + \frac{{25}}{{ - 3 - 4i}} = - 3i + 4 - \frac{{25\left( {3 - 4i} \right)}}{{9 + 16}} = 1 + i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt 2\)
Câu 19:
Tìm phần thực của số phức \(z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.\)
A. \(-7\)
B. \(6\sqrt 2\)
C. \(\sqrt2\)
D. \(3\)
\(z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i + 9{i^2} = - 7 + 6\sqrt 2 i\) có phần thực là -7.