Toán 12 19 Bài Trắc nghiệm Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số (phần 9)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1
Cho \(1 < x < 64.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{x}.\)
A. 64
B. 96
C. 82
D. 81
\(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{2} = \log _2^4x + 12\log _2^2x.\left( {3 - {{\log }_2}x} \right)\)
\( = \log _2^4x - 12\log _2^3x + 36\log _2^2x\)
Đặt \(t = {\log _2}x\)
Do \(1 < x < 64 \Rightarrow 0 < t < 6\)
Xét hàm số \(P = {t^4} - 12{t^3} + 36{t^2}\) trên \(\left( {0;6} \right)\)
\(P'\left( t \right) = 4{t^3} - 36{t^2} + 72t;P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 6}\\{t = 3 \in \left( {0;6} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} P = P\left( 3 \right) = 81.\)
Câu 2
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right].\)
A. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = \frac{{19}}{3}\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = 6\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = 7\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = \frac{{11}}{3}\)
\(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 3 \in \left[ {2;4} \right]}\end{array}} \right.\)
\(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = y\left( 2 \right) = 7\)
Câu 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 4; - 2} \right)\)
A. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = 5\)
B. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = \frac{{15}}{2}\)
C. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = 4\)
D. \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} = 7\)
Xét hàm số \(y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l}y' = - 1 + \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {{(x + 2)}^2} + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} - 4x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.png
Câu 4
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
B. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
C. Hàm số đã cho có cực trị trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
D. Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Câu 5
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}} \). Khi đó
A. \(M - m = 4\)
B. \(M - m = 2\sqrt 2 \)
C. \(M - m = 2\sqrt 2 - 2\)
D. \(M - m = 2\sqrt 2 + 2\)
Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right].\)
Ta có \(y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .\)
Ta có \(y\left( { - 2} \right) = - 2;y\left( 2 \right) = 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \);
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = 2\sqrt 2 ;\,m = - 2\\ \Rightarrow M - m = 2\sqrt 2 + 2\end{array}\).
Câu 6
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - x\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) là:
A. \(2\ln 2 - 3\)
B. -3
C. \(2\ln 3 - 4\)
D. -2
Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)
Ta có \(y' = \frac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x + 1}} - 1;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{y' = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{{x^2} - 2x + 1 = 2x - 2}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 3\)
Mà \(y\left( 2 \right) = - 2;y\left( 4 \right) = \ln 9 - 4;y\left( 3 \right) = \ln 4 - 3 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = - 2.\)
Câu 7
Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 3{y^2} = 4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {x - y} \right)^2}\) là:
A. \(\max P = 8\)
B. \(\max P = 12\)
C. \(\max P = 16\)
D. \(\max P = 4\)
Với y=0 ta có \(x = \pm 2 \Rightarrow P = 4.\)
Với \(y \ne 0,\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 2\frac{x}{y} + 1}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} + 3}}\)
Đặt \(t = \frac{x}{y},\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{t^2} - 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)
Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} - 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\)
\(f'(t) = \frac{{4({t^2} + t - 2)}}{{{{({t^2} + 2t + 3)}^2}}};f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của biểu thức.png

Vậy \(\max f(t) = 3 \Rightarrow \max P = 12.\)
Câu 8
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^2} + \frac{2}{x}\) với \(x > 0.\)
A. \(m = 3.\)
B. \(m = 2.\)
C. \(m = 1.\)
D. \(m = 0.\)
Ta có \(y' = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số.png

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = 3\).
Câu 9
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là:
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}{e^{\frac{\pi }{6}}}.\)
C. 1
D. \(\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}.\)
Ta có: \(y' = \left( {{e^x}\cos x} \right)' = {e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}.\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 1\\y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}\\y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\frac{\pi }{4}}}.\)
Câu 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{2x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right].\)
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 0\)
B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - \frac{3}{7}\)
C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 4\)
D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 1\)
\(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{2x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \in \left[ {0;3} \right]}\\{x = - 2 \in \left[ {0;3} \right]}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = - 1;y\left( 3 \right) = \frac{1}{7} \Rightarrow Miny = - 1\)
Câu 11
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
A. \(y = - {x^2} + 2\)
B. \(y = {x^3} - 9{x^2} + 16\)
C. \(y = \frac{{x - 9}}{{2x + 1}}\)
D. \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} + 1\)
Kiểm tra 4 phương án ta có:
Hàm số \(y = - {x^2} + 2\) có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất
Hàm số \(y = {x^3} - 9{x^2} + 16\) và \(y = \frac{{x - 9}}{{2x + 1}}\) không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
Câu 12
Cho hàm số \(y = \frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}\) (m là tham số, \(m \ne 0\)). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right].\)
A. \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
B. \(m > 0\)
C. \(m < 0\)
D. \(m \in \emptyset \)
Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}} \right)'} = \frac{{5m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{5m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{1 - {x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{x = \pm 1}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( { - 2} \right) = - 2m}\\{y\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{2}m}\\{y\left( 1 \right) = \frac{5}{2}m}\\{y\left( 2 \right) = 2m}\end{array}} \right.\) .
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) khi và chỉ khi \(m > 0.\)
Câu 13
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x\) trên đoạn \(D = \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right].\)
A. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4}\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\)
C. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{3}{4};\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
D. \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) = - 3.\)
\(f\left( x \right) = 2{\cos ^3}x - \cos 2x = 2{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x + 1\)
Đặt \(t = \cos x,t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}g(t) = 2{t^3} - 2{t^2} + 1 \Rightarrow g'(t) = 6{t^2} - 4t.\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right],\) ta có: \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4};\,g(1) = 1;\,g\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{19}}{{27}}.\)
Vậy: \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x) = \max g(t) = 1;\,\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x) = \min g(t) = \frac{{19}}{{27}}.\)
Câu 14
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) như hình vẽ bên. Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right].\)
Tính giá trị lớn nhất của hàm số.png

A. 2
B. 4
C. 3
D. 1
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên [-2;4] như hình vẽ:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số.png

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( { - 1} \right) = 3.\)
Câu 15
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian t (s) là \(a\left( t \right) = 2t - 7\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng 10 (m/s), hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
A. 5 (s)
B. 6 (s)
C. 1 (s)
D. 2(s)
Vận tốc của vật được tính theo công thức \(v\left( t \right) = 10 + {t^2} - 7t\left( {m/s} \right)\)
Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{7}{2}{t^2} + 10t\left( m \right)\)
Ta có \(S'\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10 \Rightarrow S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 5}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S\left( 0 \right) = 0}\\{S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}}\\{S\left( 5 \right) = \frac{{25}}{6}}\\{S\left( 6 \right) = 6}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;6} \right]} S\left( t \right) = S\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}\)
Câu 17
Tìm giá trị nhỏ nhất M của hàm số \(y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2\)trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].\)
A. \(\frac{{23}}{{27}}.\)
B. 1
C. -1
D. 0
\(y = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 1 + \sin x + 2 = {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x + \sin x + 1.\)
Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) khi đó hàm số trở thành \(y = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\) xác định và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)
Ta có: \(y' = 3{t^2} + 4t + 1\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 1;\,\,y\left( 1 \right) = 5;\,\,y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}} \Rightarrow \,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = \frac{{23}}{{27}}.\)
Câu 18
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) bằng:
A. 2
B. 0
C. 1
D. 18
Ta có \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| \ge 0,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Mặt khác \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 1 - \sqrt 3 }\\{x = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) mà \(\left\{ {1;1 - \sqrt 3 } \right\} \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 0\)