Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x.\sin xdx}\).
A. \(I = \frac{{ - 2}}{3}\)
B. \(I = \frac{2}{3}\)
C. \(I = \frac{3}{2}\)
D. I=0
- Cách 1: Đặt
\(\begin{array}{l} u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\\ \Rightarrow I = \int\limits_1^{ - 1} { - {u^2}du = } \int\limits_{ - 1}^1 {{u^2}du = \frac{1}{3}{u^3}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1} \end{array} = \frac{2}{3}} \right. \end{array}\)
- Cách 2: dùng máy tính bỏ túi.
Câu 2:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x{e^{3x}}\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\left( {x{e^{3x}} - {e^{3x}}} \right) + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}x{e^{3x}} - \frac{1}{9}{e^{3x}} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{9}\left( {x{e^{3x}} - {e^{3x}}} \right) + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{9}x{e^{3x}} - \frac{1}{3}{e^{3x}} + C}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ {e^{3x}}dx = dv \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{3}{e^{3x}} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx = \int {x{e^{3x}}dx = \frac{1}{3}x{e^{3x}} - \frac{1}{3}\int {{e^{3x}}dx} } } \\ = \frac{1}{3}x{e^{3x}} - \frac{1}{9}{e^{3x}} + C \end{array}\)
Câu 3:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx}\).
A. I=-1
B. \(I = \frac{4}{3}\)
C. \(I = \frac{1}{3}\)
D. I=0
- Tính nhanh bằng máy tính bỏ túi:
Shirt Mode+4 (chuyển chế độ rad)
Nhập máy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + \cos x\cos x} \right)\sin xdx} + \)
Sẽ ra đáp án B
- Tính bằng cách thông thường như sau:
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x.\sin xdx} }\)
Đặt: \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx}\) tính bằng phương pháp tích phân từng phần.
Đặt \({I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x.\sin xdx}\) tính bằng phương pháp đổi biến (đặt t=cosx)
Câu 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( {2x - 1} \right){e^x}dx\).
A. \(\int {f(x) = 2x{e^x} + C}\)
B. \(\int {f(x) = (2x - 1){e^x} + C}\)
C. \(\int {f(x) = (2x - 2){e^x} + C}\)
D. \(\int {f(x) = (2x - 3){e^x} + C}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx\\ dv = {e^x}dx \Rightarrow v = {e^x} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \int {(2x - 1){e^x}dx = \left( {2x - 1} \right)} {e^x} - \int {{e^x}2dx} = (2x - 1){e^x} - 2{e^x} + C\)
\(= (2x - 3){e^x} + C\)
Câu 5:
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)dx}\).
A. \(I = \frac{{{e^2} - 1}}{2}\)
B. \(I = \frac{{{e^2} }}{2}\)
C. \(I = \frac{{{e^2} - 3}}{4}\)
D. \(I = \frac{{{e^2} - 3}}{2}\)
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)dx} = \int\limits_1^e {2xdx} - \int\limits_1^e {2x\ln xdx} \\ = \left. {{x^2}} \right|_1^e - \int\limits_1^e {2x\ln xdx} = {e^2} - 1 - \int\limits_1^e {2x\ln xdx} \end{array}\)
Tính: \(\int\limits_1^e {2x\ln xdx}\)
Đặt
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = {x^2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_1^e {2x\ln xdx} = \left. {{x^2}{\mathop{\rm lnx}\nolimits} } \right|_1^e - \int\limits_1^e {xdx} \\ = \frac{1}{2}{e^2} + \frac{1}{2} \end{array}\)
Vậy \(I = {e^2} - 1 - \frac{1}{2}{e^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{e^2} - \frac{3}{2}\)
Lưu ý: Có thể sử dụng máy tính bỏ túi, và so sánh với các phương án.
Câu 6:
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x - 1){e^x}, trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1.
A. S = 2 + e
B. S = 2 - e
C. S = e - 2
D. S = e - 1
Diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x}} \right|dx = \int\limits_0^1 {(1 - x){e^x}dx = e - 2} }\)
Câu 7:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x\left( {2 + {e^x}} \right)} dx.\)
A. I=2
B. I=-2
C. I=3
D. \(I=\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^1 {x\left( {2 + {e^x}} \right)} dx = \int\limits_0^1 {2x} dx + \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \\ = 1 + \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \end{array}\)
Đặt:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = {e^x} - {e^x} + 1 \end{array}\)
Vậy I=2.
Lưu ý: Có thể dùng máy tính bỏ túi để tính nhanh kết quả.
Câu 8:
Kết quả tích phân \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx = 3\ln a + b. Tính tổng a+b.
A. a+b=5
B. a+b=2
C. a+b=1
D. a+b=7
\(I = \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)dx} = A + B\)
Tính \(A = \int_0^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^2 = 4\)
Tính \(B = \int_0^2 {\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {x + 1} \right)\\ dv = dx \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{x + 1}}\\ v = x + 1 \end{array} \right.\)
Dùng công thức tích phân từng phần:
\(\begin{array}{l} B = \int_0^2 {\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)dx} = \left. {\left( {x + 1} \right).\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 - \int_0^2 {\frac{{x + 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \left. {3\ln 3 - x} \right|_0^2 = 3\ln 3 - 2 \end{array}\)
Vậy: \(I = \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx = 3\ln 3 + 2\)
Câu 9:
Tính tích phân \(\int\limits_0^\pi {x\left( {x + \sin x} \right)dx = a{\pi ^3} + b\pi } .\) Tính tích ab.
A. ab=3
B. \(ab = \frac{1}{3}\)
C. ab=6
D. \(ab = \frac{2}{3}\)
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^\pi {{x^2}dx} + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} = \left. {\frac{1}{3}{x^3}} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \\ = \frac{1}{3}{\pi ^3} + \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \end{array}\)
Tính \(\int\limits_0^\pi {x\sin xdx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \cos x \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} = \left. { - x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {\cos dx} \\ = \pi + \left. {\sin x} \right|_0^\pi = \pi \end{array}\)
Vậy \(I = \frac{1}{3}{\pi ^3} + \pi .\)
Câu 10:
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {(4x + 3).\ln xdx = 14\ln a + b}\). Tính tổng a+b.
A. a+b=-1
B. a+b=-4
C. a+b=-3
D. a+b=-2
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = \left( {4x + 3} \right)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = 2{x^2} + 3x \end{array} \right.\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I = \left( {2{x^2} + 3x} \right)\ln x\left| \begin{array}{l} 2\\ 1 \end{array} \right. - \int\limits_1^2 {\frac{{2{x^2} + 3x}}{x}dx} \\ = \left( {{{2.2}^2} + 3.2} \right)\ln 2 - \left( {2.{1^2} + 3.1} \right)\ln 1 - \int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} = 14\ln 2 - 0 - \left( {{x^2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l} 2\\ 1 \end{array} \right. = 14\ln 2 - 0 - \left[ {\left( {{2^2} + 3.2} \right) - \left( {{1^2} + 3.1} \right)} \right]\\ = 14\ln 2 - \left( {10 - 4} \right) = 14\ln 2 - 6 \end{array}\)
Câu 11:
Tìm a sao cho \(I = \int\limits_0^a {x.{e^{\frac{x}{2}}}d{\rm{x}}} = 4.\)
A. a=1
B. a=0
C. a=4
D. a=2
Ta có: \(I = \int\limits_0^a {x.{e^{\frac{x}{2}}}dx}\). Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{\frac{x}{2}}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = 2.{e^{\frac{x}{2}}} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow I = \left. {2x.{e^{\frac{x}{2}}}} \right|_0^a - 2\int\limits_0^a {{e^{\frac{x}{2}}}dx} = 2a{e^{\frac{a}{2}}} - \left. {4.{e^{\frac{x}{2}}}} \right|_0^a = 2\left( {a - 2} \right){e^{\frac{a}{2}}} + 4\)
Theo đề ra ta có: \(I = 4 \Leftrightarrow 2\left( {a - 2} \right){e^{\frac{a}{2}}} + 4 = 4 \Leftrightarrow a = 2\)
Câu 12:
Biết \(\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{{x^2} + x}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5,\) với a, b, c là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c.\)
A. S=6
B. S=2
C. S=-2
D. S=0
Lấy lũy thừa cơ số e hai vế ta có:
Ta có: \({2^a}{.3^b}{.5^c} = {e^{\int\limits_3^4 {\frac{1}{{{x^2} + x}}dx} }} = \frac{{16}}{{15}} = \frac{{{2^4}}}{{3.5}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = - 1\\ c = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow S = 2.\)
Câu 13:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn \(F(0)=0\). Tính \(F(\pi)\).
A. \(F\left( \pi \right) = - 1\)
B. \(F\left( \pi \right) = \frac{1}{2}\)
C. \(F\left( \pi \right) = 1\)
D. \(F\left( \pi \right) = 0\)
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \tan x \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow F(x) = x.\tan x - \int {{\mathop{\rm tanx}\nolimits} .dx} = x.\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
\(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)
Thay \(x = \pi \Rightarrow F\left( x \right) = 0\)
Câu 14:
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\left( {2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} .\)
A. \(I = - \left( {2x + 1} \right){e^{ - x}} + C\)
B. \(I = - \left( {2x - 1} \right){e^{ - x}} + C\)
C. \(I = - \left( {2x + 3} \right){e^{ - x}} + C\)
D. \(I = - \left( {2x - 3} \right){e^{ - x}} + C\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x - 1\\ dv = {e^{ - x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2dx\\ v = - {e^{ - x}} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {\left( {2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} = - \left( {2x - 1} \right){e^{ - x}} + 2\int {{e^{ - x}}dx} \\ = - \left( {2x - 1} \right){e^{ - x}} - 2{e^{ - x}} + C = \left( { - 2x - 1} \right){e^{ - x}} + C \end{array}\)
Câu 15:
Tìm nguyên hàm \(I = \int {x\ln \left( {2x - 1} \right)dx} .\)
A. \(I = \frac{{4{x^2} - 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| + \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\)
B. \(I = \frac{{4{x^2} - 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\)
C. \(I = \frac{{4{x^2} + 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| + \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\)
D. \(I = \frac{{4{x^2} + 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {2x - 1} \right)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{2}{{2x - 1}}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {x\ln \left( {2x - 1} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x - 1} \right) - \int {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} dx\\ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x - 1} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{{2x - 1}}} \right)dx} \end{array}\)
\(= \frac{{4{x^2} - 1}}{8}\ln \left| {2x - 1} \right| - \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{4} + C\)
Câu 16:
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx} .\)
A. \(I = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{2} + C\)
B. \(I = \frac{{\left( {2 - 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{2} + C\)
C. \(I = \frac{{\left( {1 - 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{4} + C\)
D. \(I = \frac{{\left( {2- 2x} \right)\cos 2x + \sin 2x}}{24} + C\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x - 1\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx} = - \left( {x - 1} \right)\frac{1}{2}\cos 2x + \int {\frac{1}{2}\cos 2xdx} \\ = - \left( {x - 1} \right)\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C \end{array}\)
Câu 17:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x({e^x} - 1).\)
A. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) - {x^2}}\)
B. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) -4 {x^2}}\)
C. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) -2 {x^2}}\)
D. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(1-x) - {x^2}}\)
\(I = \int {2x({e^x} - 1)dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x\\ dv = ({e^x} - 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2dx\\ v = {e^x} - x \end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} I = 2x({e^x} - x) - \int {2({e^x} - x)dx} \\ = 2x({e^x} - x) - (2{e^x} - {x^2}) + C\\ = 2x{e^x} - 2{x^2} - 2{e^x} + {x^2} + C\\ = 2{e^x}(x - 1) - {x^2} + C. \end{array}\)
Câu 18:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{x}\ln (2x - 1)\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{x}\ln (2x + 1)\)
C. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{x}\ln (2x + 1)\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{x}\ln (1-2x)\)
\(I = \int {\frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln 2x\\ dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = - \frac{1}{x} \end{array} \right.\)
\(I = - \frac{{\ln 2x}}{x} + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{{\ln 2x}}{x} - \frac{1}{x} + C = \frac{1}{x}(\ln 2x + 1) + C.\)