Toán 12 18 bài trắc nghiệm số phức cơ bản trong đề thi thử (phần 1)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {1 + i} \right).z = 14 - 2i\). Tính tổng phần thực và phần ảo của \(\bar z\).
A. -4
B. 14
C. -2
D. -14
Ta có: \(\left( {1 + i} \right).z = 14 - 2i \Leftrightarrow z = \frac{{14 - 2i}}{{1 + i}} = 6 - 8i \Rightarrow \bar z = 6 + 8i\)
Phần thực là 6
Phần ảo là 8
Vậy tổng phần thực và phần ảo của \(\bar z = 14\).
Câu 2:
Cho số phức z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right), mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đối với số phức z, a là phần thực.
B. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng phức được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\).
C. Đối với số phức z , bi là phần ảo.
D. Số i được gọi là đơn vị ảo.
“ Đối với số phức \(z = ax + bi\) ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.”
Đáp án cần tìm là C.
Câu 3:
Tìm phần thực của số phức z biết: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = 10\)
A. 10
B. 5
C. -5
D. \(\sqrt{10}\)
Đặt \(z = a + bi;\,a,b \in R\)
Ta có:
\(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z = 2.a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Vậy đáp án là B.
Câu 4:
Cho số phức \(z = a + bi\) thỏa mãn \(z + 2i.\bar z = 3 + 3i\). Tính giá trị biểu thức: \(P = {a^{2016}} + {b^{2017}}\).
A. P=0
B. P=2
C. \(P = \frac{{{3^{4032}} - {3^{2017}}}}{{{5^{2017}}}}\)
D. \(P = - \left( {\frac{{{3^{4032}} - {3^{2017}}}}{{{5^{2017}}}}} \right)\)
Đặt: \(z = a + bi;\,\,a,b \in R\)
\(\bar z = a - bi \Rightarrow i.z = ia + b\)
\(\Rightarrow z + 2i.\bar z = a + bi + 2\left( {ia + b} \right) = \left( {a + 2b} \right) + \left( {b + 2a} \right)i\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2b = 3\\ b + 2a = 3 \end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow P = {1^{2016}} + {1^{2017}} = 2\)
Câu 5:
Cho số phức \({z_1} = 3 + 2i,\,{z_2} = 6 + 5i\). Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = 5{z_1} + 6{z_2}\).
A. \(\bar z = 51 + 40i\)
B. \(\bar z = 51 - 40i\)
C. \(\bar z = 48 + 37i\)
D. \(\bar z = 48 - 37i\)
Ta có:
\(z = 5\left( {3 + 2i} \right) + 6\left( {6 + 5i} \right) = 51 + 40i \Rightarrow \overline z = 51 - 40i\)
Đáp án cần tìm là B.
Câu 6:
Cho z là một số ảo khác 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(z + \overline z = 0\)
B. \(z=\overline{z}\)
C. Phần ảo của z bằng 0
D. \(\overline{z}\) là số thực
Do z là một số ảo khác 0 nên \(z = bi \Rightarrow \overline z = - bi \Rightarrow z + \overline z = 0.\)
Câu 7:
Cho số phức \(z = 7 + 6i\), tính môđun của số phức \({z_1} = \frac{{2{z^2} + 1}}{3}\).
A. \(\sqrt {3217}\)
B. \(\sqrt {85}\)
C. 3127
D. 85
\({z_1} = \frac{{2.{{\left( {7 + 6i} \right)}^2} + 1}}{3} = \frac{{98 + 168i + 72{i^2} + 1}}{3}\)
\(= \frac{{27 + 168i}}{3} = 9 + 56i\)
\(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{9^2} + {{56}^2}} = \sqrt {3127}\)
Vậy đáp án cần tìm là A.
Câu 8:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(z - 2\bar z = 3 + 4i\). Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai?
A. z có phần thực là -3.
B. \(\bar z + \frac{4}{3}i\) có môđun là \(\frac{{\sqrt {97} }}{3}\).
C. z có phần ảo là \(\frac{4}{3}\).
D. z có modun là \(\frac{\sqrt{97}}{3}\).
Đặt \(z = x + yi,\,\left( {x,y \in R} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow - 2\bar z = - 2x + 2yi\)
\(x + yi - 2x + 2yi = 3 + 4i \Leftrightarrow - x + 3yi = 3 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x = 3\\ 3y = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ y = \frac{4}{3} \end{array} \right.\)
Vậy \(z = - 3 + \frac{4}{3}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{97}}{9}} = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
Câu 9:
Miêu tả tập số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn \(\left| {z + 3i - 2} \right| = 10\) là:
A. Đường thẳng \(3x - 2y = 100\)
B. Đường thẳng \(2x - 3y = 100\)
C. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 100\)
D. Đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100\)
Mỗi số phức \(z = x + yi\) được biểu diễn bởi một điểm (x;y). Do đó ta có tập số phức z thỏa mãn là:
\(\left| {x + 3i + yi - 2} \right| = 10 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 100\)
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 10:
Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
A. \(M\left( {5; - 3} \right)\)
B. \(N\left( { - 3;5} \right)\)
C. \(P\left( { - 5;3} \right)\)
D. \(Q\left( {3; - 5} \right)\)
Ta cùng nhắc lại kiến thức sách giáo khoa như sau:
Điểm biểu diễn số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in R} \right)\) trong mặt phẳng vuông góc là điểm \(M\left( {x;y} \right)\).
Vậy \(M\left( {5; - 3} \right)\) chính là điểm biểu diễn số phức \(z = 5 - 3i\).
Câu 11:
Trên mặt phẳng phức, xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho \(\frac{1}{z}\) là số thuần ảo.
A. Trục hoành
B. Trục tung
C. Trục tung bỏ điểm O
D. Trục hoành bỏ điểm O
Ta đặt \(z = a + bi\) với \(a,b \in R\). Khi đó \(\frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} - {b^2}{i^2}}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Để \(\frac{1}{z}\) là một số thuần ảo thì \(\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = 0\) và \(\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}} \ne 0\). Khi đó \(z = 0 + bi\) là số thuần ảo. Và tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x=0 , mà \(b \ne 0\) do đó tập hợp đó sẽ trừ đi O.
Đáp án C.
Câu 12:
Tìm các số thực x,y thỏa mãn: \(\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i.\)
A. x=1; y=-4.
B. x=-1; y=-4.
C. x=4;y=-1.
D. x=-1;y=4.
Ta có: \(\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ 2x - y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 4 \end{array} \right..\)
Câu 13:
Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(z = \frac{{3 - i}}{{1 + i}} + \frac{{2 + i}}{i}.\).
A. phần thực: a=2; phần ảo b=-4i
B. phần thực: a=2; phần ảo b=-4
C. phần thực: a=2; phần ảo b=4i
D. phần thực: a=2; phần ảo b=4
\(z = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} - {i^2}}} + \frac{{\left( {2 + i} \right)i}}{{{i^2}}}\)
\(= \frac{{{i^2} - 4i + 3}}{{1 + 1}} + \frac{{ - 1 + 2i}}{{ - 1}}\)
\(= \frac{{ - 1 - 4i + 3}}{2} - \left( { - 1 + 2i} \right)\)\(= 2 - 4i\)
Vậy phần thực: a=2 ; phần ảo b=-4.
Có thể bấm máy tính để suy ra kết quả.
Câu 14:
Cho số phức z thỏa mãn: \({z^3} = \bar z\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(\left| z \right| = 1\)
B. z có thể nhận giá trị là số thực hoặc số thuần ảo.
C. Phần thực của z không lớn hơn 1.
D. Đáp án B và C đều đúng.
Ta có:
\({z^3} = \bar z \Leftrightarrow {\left| z \right|^3} = \left| {{z^3}} \right| = \left| {\bar z} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| z \right| = 0\\ \left| z \right| = 1 \end{array} \right.\)
Như vậy khẳng định A sai.
Ta nhận thấy z=1 và z=i đều thỏa mãn phương trình nên B là đúng.
Rõ ràng từ \(\left| z \right| = 0;\left| z \right| = 1\) thì ta thấy ngay phần thực của z không lớn hơn 1 nên khẳng định C cũng đúng.
Vậy đáp án cần tìm là D.
Câu 15:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sau?
A. Số phức \(z=a+bi\) được biểu diễn bằng điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức Oxy
B. Số phức \(z=a+bi\) có môđun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
C. Số phức \(z=a+bi\) thì a=0 và b=0
D. Số phức \(z=a+bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = - a - bi\)
Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = a - bi.\)
Câu 16:
Tìm tập hợp các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0.\)
A. Tập hợp mọi số ảo
B. \(\left\{ { \pm i;0} \right\}\)
C. \(\left\{ { - i;0} \right\}\)
D. \(\left\{ { 0} \right\}\)
Đặt \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\)
Ta có:
\({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0 \Leftrightarrow {z^2} + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 0\\ z = - \bar z \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 0\\ a + bi = - a + bi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 0\\ a = 0 \end{array} \right.\)
Vậy tập hợp các nghiệm phức của phương trình là tập hợp mọi số ảo.
Câu 17:
Tìm giá trị của x, y để \((x + y) + (2x - y)i = 3 - 6i?\)
A. \(x = - 1;y = 4\)
B. \(x = - 1;y = -4\)
C. \(x = 4;y = -1\)
D. \(x = 4;y = 1\)
Ta có: \((x + y) + (2x - y)i = 3 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3\\ 2x - y = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 4 \end{array} \right..\)
Câu 18:
Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn \(x + 2y + \left( {2x - y} \right)i = 2x + y + \left( {x + 2y} \right)i.\)
A. \(x = y = 0\)
B. \(x = y = \frac{1}{2}\)
C. \(x = \frac{1}{3};y = \frac{2}{3}\)
D. \(x = - \frac{1}{3};y = - \frac{2}{3}\)
\(\begin{array}{l} x + 2y + \left( {2x - y} \right)i = 2x + y + \left( {x + 2y} \right)i\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2y - 2x - y} \right) + \left( {2x - y - z - 2y} \right)i = 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left( {y - x} \right) + \left( {x - 3y} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y\\ x = 3y \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 0.\)