Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=x^2 và x=y^2 quay quanh trục Ox tạo thành.
A. \(V = \frac{{3\pi }}{{10}}.\)
B. \(V =10 \pi.\)
C. \(V = \frac{{10\pi }}{{3}}.\)
D. \(V = 3\pi.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(({C_1}),({C_2})\) là \(\left\{ \begin{array}{l} y = {x^2}\\ x = {y^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y = 0\\ x = 1;y = 1 \end{array} \right.\)
Trong đoạn \(x \in \left[ {0;1} \right]\) suy ra \(y = {x^2};y = \sqrt x\)
Thể tích khối tròn xoay cần tính là \({V_{{\rm{Ox}}}} = \pi \left| {\int\limits_0^1 {({x^4} - x)dx} } \right| = \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{{3\pi }}{{10}}.\)
Trong đoạn \(x \in \left[ {0;1} \right]\) suy ra \(y = {x^2};y = \sqrt x\)
Thể tích khối tròn xoay cần tính là \({V_{{\rm{Ox}}}} = \pi \left| {\int\limits_0^1 {({x^4} - x)dx} } \right| = \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{{3\pi }}{{10}}.\)
Kí hiệu (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right).\) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right)dx}\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right)}^2}dx}\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx}\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right)dx}\)
Công thức tính thể tích khối tròn xoay theo đề bài là:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} = \pi \int\limits_a^b {\left| {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} = \pi \int\limits_a^b {\left| {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = 1,y = \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right).\)
A. \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}\)
B. \(S = \sqrt 3 \)
C. \(S = \frac{{4\sqrt 3 }}{{15}}\)
D. \(S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) là: \(\frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \)
Khi đó, diện tích S cần tính là: \(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {1 - \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right)} \right|} dx = \frac{1}{9}.\int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2}dx} \Rightarrow S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}.\)
Khi đó, diện tích S cần tính là: \(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {1 - \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right)} \right|} dx = \frac{1}{9}.\int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2}dx} \Rightarrow S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}.\)
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi \(y = 2 - {x^2};y = 1\) quanh trục Ox.
A. \(S = \frac{{56}}{{15}}\pi \)
B. \(S = \frac{{15}}{{56}}\pi \)
C. \(S = \frac{{56}}{{15}}\)
D. \(S = \frac{{15}}{{56}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \(2 - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^2} - {1^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|dx} \\ = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} - \frac{4}{3}{x^3} + 3x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{56}}{{15}}\pi .\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^2} - {1^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|dx} \\ = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} - \frac{4}{3}{x^3} + 3x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{56}}{{15}}\pi .\end{array}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\); tiệm cận ngang và hai đường thẳng \(x = 3;x = e + 2\) được tính bằng công thức nào sau đây?
A. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx} \)
B. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{5}{{x - 2}}dx} \)
C. \(S = \left. {\ln \left| {x - 2} \right|} \right|_3^{e + 2}\)
D. \(S = 5 - e\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) nhận đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm ngang.
Ta có diện tích hình phẳng được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} - 2} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{5}{{x - 2}}} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left( {\frac{5}{{x - 2}}} \right)dx} \)
Ta có diện tích hình phẳng được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} - 2} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{5}{{x - 2}}} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left( {\frac{5}{{x - 2}}} \right)dx} \)
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc \(v\left( t \right) = 160 - 10t\,\left( {m/s} \right)\). Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
A. 16 m
B. 130 m
C. 170 m
D. 45 m
Cho đến khi vật dừng lại thì vận tốc của vật bằng 0 tức là \(160 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 16.\)
Nên quãng đường vật đi được trong 3s cuối được tính bằng: \(\int\limits_{13}^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt} = \left. {\left( {160t - 5{t^2}} \right)} \right|_{13}^{16} = 45\,km.\)
Nên quãng đường vật đi được trong 3s cuối được tính bằng: \(\int\limits_{13}^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt} = \left. {\left( {160t - 5{t^2}} \right)} \right|_{13}^{16} = 45\,km.\)
Thể tích V của vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},y = 0\) quay quanh trục Ox có kết quả là \(V = \frac{{a\pi }}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0;\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính a + b
A. 27
B. 25
C. 31
D. 11
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là \(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi .\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{16\pi }}{{15}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 31\).
Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi .\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{16\pi }}{{15}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 31\).
Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol (P) cách các cạnh lục giác là 3dm và nằm phía ngoài lục giác; 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường (P) đó. Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục giác).
A. \(8\sqrt 3 + 24\left( {d{m^2}} \right)\)
B. \(8\sqrt 3 + 12\left( {d{m^2}} \right)\)
C. \(6\sqrt 3 + 12\left( {d{m^2}} \right)\)
D. \(6\sqrt 3 + 24\left( {d{m^2}} \right)\)
Xét cánh hoa hình parabol (P) đi qua các điểm \(A\left( {0;3} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right),\,\,C\left( {1;0} \right)\) với A là đỉnh của (P) và B, C là hai đầu mút thỏa mãn BC = 2 là độ dài cạnh của hình lục giác đều
Gọi phương trình parabol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c\), điểm \(A,\,B,\,C \in \left( P \right) \Rightarrow \left( P \right):y = 3 - 3{x^2}\)
Diện tích cánh hoa được giới hạn bởi \(y = 3 - 3{x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\,x = - 1\) là
\({S_0} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {3 - 3{x^2}} \right|dx} = 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = 3\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\mathop {}\limits_{ - 1}^1 = 4} \right.\)
“Diện tích lục giác đều cạnh a bằng 6 lần diện tích tam giác đề cạnh a”
Vậy diện tích cần tìm là tổng diện tích cảu sáu cánh hoa ứng với sáu cạnh của lục giác cộng với diện tích của lục giác đều và bằng \(S = 6.4 + 6.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 + 24\,d{m^2}.\)
Gọi phương trình parabol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c\), điểm \(A,\,B,\,C \in \left( P \right) \Rightarrow \left( P \right):y = 3 - 3{x^2}\)
Diện tích cánh hoa được giới hạn bởi \(y = 3 - 3{x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,\,x = - 1\) là
\({S_0} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {3 - 3{x^2}} \right|dx} = 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx} = 3\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\mathop {}\limits_{ - 1}^1 = 4} \right.\)
“Diện tích lục giác đều cạnh a bằng 6 lần diện tích tam giác đề cạnh a”
Vậy diện tích cần tìm là tổng diện tích cảu sáu cánh hoa ứng với sáu cạnh của lục giác cộng với diện tích của lục giác đều và bằng \(S = 6.4 + 6.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 + 24\,d{m^2}.\)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 4{\rm{x}},\,\,y = 0\) quanh trục Ox.
A. \(\frac{{512}}{{15}}\pi .\)
B. \(\frac{{2548}}{{15}}\pi .\)
C. \(\frac{{15872}}{{15}}\pi .\)
D. \(\frac{{32}}{3}\pi .\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,hay\,\,x = 4.\)
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {{x^2} - 4{\rm{x}}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{512\pi }}{{15}}.\)
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {{x^2} - 4{\rm{x}}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{512\pi }}{{15}}.\)
Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bên là:
A. \(\frac{{22}}{3}.\)
B. 2
C. \(\frac{{22}}{3}.\)
D. \(\frac{{10}}{3}.\)
Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng giới hạn sẽ là:
\(S = \int\limits_0^2 {\sqrt x dx} + \int\limits_2^4 {\left( {\sqrt x - x + 2} \right)d{\rm{x}}} = \frac{{10}}{3}.\)
\(S = \int\limits_0^2 {\sqrt x dx} + \int\limits_2^4 {\left( {\sqrt x - x + 2} \right)d{\rm{x}}} = \frac{{10}}{3}.\)
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right):y = {2^x},\left( d \right):y = - x + a\) và trụ Oy. Biết rằng (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ bằng 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi (H) khi nó quay quanh trục Ox.
A. \(V = \left( {\frac{{19}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
B. \(V = \left( {\frac{{19}}{3} + \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
C. \(V = \left( {\frac{{35}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
D. \(V = \left( {\frac{{35}}{3} + \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
Theo đề bài ta có \({2^1} = - 1 + a \Rightarrow a = 3 \Rightarrow \left( d \right):y = - x + 3\).
Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (S1) được giới hạn bởi các đường (C), (d), Oy, Ox như hình bên quanh trục \({\rm{Ox}} \Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x}} \right)}^2}dx + } \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {3 - x} \right)}^2}dx} \)
\( \Rightarrow {V_1} = \pi \left( {\frac{8}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\).
Gọi V2 là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (d), Ox như hình bên quanh trục hoành.
Suy ra \({V_2} = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {3 - x} \right)}^2}dx} = 9\pi \).
Khi đó \(V = {V_2} - {V_1} = \left( {\frac{{19}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc tọa độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ bên.
A. \(S = \frac{{25}}{6}.\)
B. \(S = \frac{{20}}{3}.\)
C. \(S = \frac{{10}}{3}.\)
D. \(S = 9.\)
Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0).\)
Mặt khác Parabol đi qua các điểm A(-2;4), O(0;0), C(2;4) nên có phương trình là \(y = {x^2}.\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm C(0;2) và B(2;4) có phương trình: \(y = x + 2.\)
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2},y = x + 2,x = 0,x = 2\).
\( \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {x + 2 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{{2^2}}}{2} + 2.2 - \frac{{{2^3}}}{3} = \frac{{10}}{3}\).
Khi đó diện tích hình phẳng phần gạch chéo là \(S = 2.{S_1} = \frac{{20}}{3}\).
Mặt khác Parabol đi qua các điểm A(-2;4), O(0;0), C(2;4) nên có phương trình là \(y = {x^2}.\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm C(0;2) và B(2;4) có phương trình: \(y = x + 2.\)
Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2},y = x + 2,x = 0,x = 2\).
\( \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {x + 2 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{{2^2}}}{2} + 2.2 - \frac{{{2^3}}}{3} = \frac{{10}}{3}\).
Khi đó diện tích hình phẳng phần gạch chéo là \(S = 2.{S_1} = \frac{{20}}{3}\).
Người ta dự định xây một cây cầu có hình Parabol để bắc qua song rộng 480m. Bề dày của khối bê tông làm mặt cầu là 30cm chiều rộng của mặt cầu là 5m điểm tiếp giáp giữa mặt cầu với mặt đường cách bờ sông 5m, điểm cao nhất của khối bê tông làm mặt cầu so với mặt đường là 2m. Thể tích theo m3 của khối bê tông làm mặt cầu nằm trong khoảng nào?
A. (210;220)
B. (96;110)
C. (490;500)
D. (510;520)
Gọi đường cong tương ứng với vành trên và vành dưới của cầu lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)
Dựng hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường biểu diễn của mặt phẳng sông là trục Ox và vị trí cao nhất cây cầu có tọa độ là (0;2).
Ta thấy phương trình của 2 parabol \(({C_1})\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) đều có dạng \(y = a{x^2} + b,\) dựa vào các điểm mà Parabol đi qua ta có các phương trình tương ứng:
\(\begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):y = f(x) = - \frac{2}{{{{245,3}^2}}}{x^2} + 2\\\left( {{C_1}} \right):y = g(x) = - \frac{{1,7}}{{{{245}^2}}}{x^2} + 1,7\end{array}\)
Diện tích mặt cắt cây cầu: \(S = 2\left( {\int\limits_0^{245,3} {f(x)dx} - \int\limits_0^{245} {g(x)dx} } \right) = \frac{{494}}{5}({m^2}).\)
Suy ra thể tích cây cầu là: \(V = \frac{{494}}{5}.5 = 494\,({m^3}).\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = g\left( x \right) = xf\left( {{x^2}} \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được tô màu là \(S = \frac{5}{2},\) tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
A. \(I = \frac{5}{2}.\)
B. \(I = \frac{5}{4}.\)
C. \(I = 10.\)
D. \(I = 5.\)
\(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{5}{2} \Rightarrow \int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{5}{2}.\)
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2{\rm{xdx}}\).
Đổi cận suy ra: \(\int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{5}{2} \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt = } 5 \Rightarrow I = 5.\)
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2{\rm{xdx}}\).
Đổi cận suy ra: \(\int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{5}{2} \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt = } 5 \Rightarrow I = 5.\)
Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và Ox xung quanh trục Ox.
A. \(\frac{{16\pi }}{{15}}.\)
B. \(\frac{{16\pi }}{5}.\)
C. \(\frac{{12\pi }}{{15}}.\)
D. \(\frac{{4\pi }}{3}.\)
Gọi phương trình hàm số bậc hai là \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c\) có đồ thị (P).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (P) đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {2;0} \right).\)
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 1\\4{\rm{a}} + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = f\left( x \right) = 2{\rm{x}} - {x^2}\)
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2{\rm{x}} - {x^2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{16\pi }}{{15}}.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (P) đi qua các điểm \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;1} \right),B\left( {2;0} \right).\)
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 1\\4{\rm{a}} + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = f\left( x \right) = 2{\rm{x}} - {x^2}\)
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2{\rm{x}} - {x^2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{16\pi }}{{15}}.\)
Trong đợt hội trại "Khi tôi 18" được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một m2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 615.000 đồng.
B. 450.000 đồng.
C. 451.000 đồng.
D. 616.000 đồng.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình \(y = 4 - {x^2}\) và trục hoành.
Suy ra \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \frac{{32}}{3}{m^2}\).
Gọi điểm \(C\left( {a;0} \right),a > 0\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}D\left( { - a;0} \right)\\B\left( {a;4 - {a^2}} \right),A\left( { - a;4 - {a^2}} \right)\end{array} \right.\).
Gọi S1 là diện tích ABCD, suy ra \({S_1} = AB.BC = 2a\left( {4 - {a^2}} \right){m^2}\).
Gọi S2 là diện tích có hoa văn, suy ra \({S_2} = S - {S_1}\).
S2 nhỏ nhất khi và chỉ khi S1 lớn nhất.
Xét hàm số \(f\left( a \right) = 2a\left( {4 - {a^2}} \right),a \in \left( {0;4} \right)\)
Ta có \(f'\left( a \right) = 8 - 6{a^2} \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Xét bảng biến thiên hàm số f(a) với \(a \in \left( {0;4} \right)\)
Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;4} \right)} f\left( a \right) = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{32\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow {S_1}\left( {max} \right) = \frac{{32\sqrt 3 }}{9}{m^2}\)Suy ra \({S_2}\left( {\min } \right) = \frac{{32}}{3} - \frac{{32\sqrt 3 }}{9} \approx 4,51{m^2}.\).
Suy ra số tiền cần bằng 451.000 đồng.
Cho hình thang (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},x = \frac{1}{2},x = 2\) và trục hoành. Đường thẳng \(x = k\left( {\frac{1}{2} < k < 2} \right)\) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của k để S1 = 3S2.
A. \(k = \sqrt 2 .\)
B. \(k = 1.\)
C. \(k = \frac{7}{5}.\)
D. \(k = \sqrt 3 .\)
Gọi S là diện tích hình \(\left( H \right) \Rightarrow S = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}dx} = 2\ln 2.\)
Lại có \({S_2} = \int\limits_k^2 {\frac{1}{x}dx} = \ln 2 - lnk = \frac{1}{4}S = \frac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow \ln k = \frac{{\ln 2}}{2} = \ln \sqrt 2 \Rightarrow k = \sqrt 2 .\)
Lại có \({S_2} = \int\limits_k^2 {\frac{1}{x}dx} = \ln 2 - lnk = \frac{1}{4}S = \frac{{\ln 2}}{2} \Rightarrow \ln k = \frac{{\ln 2}}{2} = \ln \sqrt 2 \Rightarrow k = \sqrt 2 .\)