Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng a;b\left( {a < b} \right) xung quanh trục Ox là:
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\)
B. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\)
C. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}\)
Chọn A.
Câu 2:
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng ( phần gạch chéo ) trong hình.
Xác định công thức tính diện tích S.jpg

A. \(S = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)dx}\)
B. \(S = \int\limits_0^{ - 2} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}\)
C. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}\)
D. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}\)
Nhìn vào đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0\) với \(x \in \left[ { - 2;0} \right]\) \(\Rightarrow {S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}\)
\(f\left( x \right) \le 0\) với \(x \in \left[ {0;3} \right]\)
\(\Rightarrow {S_2} = \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}\)
Ta chọn đáp án C.
Câu 3:
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0;x = \pi\), biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác đều có cạnh là \(2\sqrt {\sin x}\)
A. \(\sqrt 3\)
B. \(\frac{\pi }{{\sqrt 3 }}\)
C. \(2\sqrt 3\)
D. \(2\pi\)
Bài này yêu cầu nắm vững công thức: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}\)
Gọi S(x) là diện tích của thiết diện đã cho thì:
\(S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x\)
Thể tích vật thể là:
\(V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = 2\sqrt 3\)
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 4:
Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\left( {4 - x} \right)\) với trục hoành.
A. \(V = \frac{{512}}{{15}}\)
B. \(V = \frac{{32}}{3}\)
C. \(V = \frac{{512\pi }}{{15}}\)
D. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\)
Với dạng này ta cần nhớ công thức tính
\({V_{Ox}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\) (đvtt)
Đầu tiên ta tìm giao của đồ thị với Ox ta được \(x = 0 \vee x = 4\).
Lúc này ta chỉ cần nhập biểu thức vào máy tính như sau:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạ.jpg

Vậy đáp án là C.
Câu 5:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi : \(y = \sqrt x ,y = x - 2,y = 0\).
A. S=3
B. S=10
C. \(S = \frac{{10}}{3}\)
D. \(S = \frac{{3}}{10}\)
Bước 1 : Chuyển sang x theo y : \(y = \sqrt x ,y = x - 2,y = 0 \Rightarrow x = {y^2},x = y + 2\)
Lập phương trình ẩn y: \({y^2} = y + 2 \Rightarrow y = 2,y = - 1\) (loại)
Bước 2:[/B] \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{y^2} - y - 2} \right|dy} = \int\limits_0^2 { - \left( {{y^2} - y - 2} \right)dy} = \frac{{10}}{3}\)
Câu 6:
Cho hàm số f(x) xác định và đồng biến trên [0;1] và có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\), công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các hàm số \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2};{x_1} = 0;{x_2} = 1\) là:
A. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
B. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right\}dx}\)
C. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - f\left( x \right)} \right\}dx}\)
D. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
Công thức tổng quát ứng với
\({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = g\left( x \right);{x_1} = a;{x_2} = b\left( {a < b} \right)\)
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}\)
Do \(f\left( x \right)\) đồng biến nên ta có:
\(f\left( x \right) < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2};\,f\left( x \right) \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\)
\(\Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)} \right|dx}\)
\(= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
Vậy đáp án đúng là D.
Câu 7:
Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{{x - 4}},y = 0,x = 0,x = 2\) quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích).
A. \(V = 2\pi\) (đvtt)
B. \(V = 4\pi\) (đvtt)
C. \(V = 6\pi\)(đvtt)
D. \(V = 8\pi\)(đvtt)
Sử dụng Casio.
\(V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{{\left( {\frac{4}{{x - 4}}} \right)}^2} - {0^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^2 {\frac{{16}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}dx}\)
Nhập vào máy \(\pi \int\limits_0^2 {\frac{{16}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}dx} = 4\pi\).
Câu 8:
Tính thể tích V của khối trong xoay được tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {36 - {x^2}}\) với trục hoành khi quay quanh trục hoành.
A. \(V = 288\pi\)(đvtt)
B. \(V = 144\pi\)(đvtt)
C. \(V = 12\pi\)(đvtt)
D. Không tính được.
\(y = \sqrt {36 - {x^2}} \Leftrightarrow {y^2} + {x^2} = 36\)
Đây là đồ thị phương trình đường tròn có tâm O(0;0) bán kính bẳng 6. Khi đó khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành quanh trục hoành chính là khối cầu tâm O(0;0) bán kính bằng 6.
đồ thị phương trình đường tròn.jpg

Thể tích khối cầu sẽ được tính bằng công thức
\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi {.6^3} = 288\pi\)
Câu 9:
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {1 - {x^2}} ;x = 0;y = 0\) khi quay quanh trục Ox không được tính bằng công thức nào sau đây?
A. \(\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx}\)
B. \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)dx}\)
C. \(\pi \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.\)
D. \(\frac{{2\pi }}{3}\)
Với bài toán này ta không thể cần thực hiện đủ các bước tính thể tích khối xoay mà vẫn có thể tìm được đáp án đúng như sau:
Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right);x = a;x = b;y = 0;\) với a>b khi quay quanh trục Ox là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\). Nhìn vào đáp án A ta có thể nhận thấy ngay đáp án này sai do \({\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} \ne {\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\).
Câu 10:
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx, trục Ox, và đường thẳng x=2 quanh trục Ox.
A. \(V = \pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\)
B. \(V = \pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\)
C. \(V = 2\pi {\left( {\ln 2 - 1} \right)^2}\)
D. \(V = 2\pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\)
Hoành độ giao điểm giữa (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình \(\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\ln x} \right)}^2}dx}\). Đến đây ta chỉ việc dùng máy tính bỏ túi để tính tích phần và đối chiếu với 4 phương án A, B, C, D.
Câu 11:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \((C):{y^2} - 2y + x = 0\) và đường thẳng \(d:x + y = 0\).
A. \(S= \frac{7}{2}\)
B. \(S= \frac{9}{2}\)
C. \(S= \frac{11}{2}\)
D. \(S= \frac{13}{2}\)
Giao điểm của đường cong (C) và đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2x + y = 0\\ x + y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - {x^2} + 2x\\ y = - x \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = -3 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng là: \(S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - ( - x)} \right|}dx = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx = \frac{9}{2}}\) (do \(- {x^2} + 3x \ge 0\,,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\))
Câu 12:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2} - 4x + 3\) và trục Ox.
A. \(S = \frac{4}{3}\)
B. \(S = \frac{2}{3}\)
C. \(S = \frac{1}{3}\)
D. \(S = 1\)
Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) cắt trục Ox tại x=1 và x=3.
\(\forall x \in \left[ {1;3} \right],y \le 0\) nên \(S = \int\limits_1^3 { - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx} = \frac{4}{3}\).
Câu 13:
Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \(y = {x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}\), trục Ox, các đường thẳng x=1, x=2 quay một vòng quanh trục Ox.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(V = \pi \int\limits_1^2 {x.{e^x}dx}\)
B. \(V = \pi \int\limits_1^2 {{x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}dx}\)
C. \(V = {\pi ^2}\int\limits_1^2 {x.{e^x}dx}\)
D. \(V = {\pi ^2}\int\limits_1^2 {{x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}dx}\)
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} .\)
Câu 14:
Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t)\,(m/s)\) có gia tốc \(v'(t) = \frac{3}{{1 + t}}(m/{s^2})\). Vân tốc ban đầu của vật là 6 m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
A. 14 m/s
B. 13 m/s
C. 11 m/s
D. 12 m/s
(v(t) = \int {v'(t)dt = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C} }\)
Tại thời điểm ban đầu (t=0)
\(\begin{array}{l} v(0) = 3\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6\\ \Rightarrow v(t) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6 \end{array}\)
Tại thời điểm 10 giây: \(v(10) = 3\ln 11 + 6 \approx 13(m/s)\).
Câu 15:
Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho đường cong có phương trình \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\) quay quanh trục hoành.
A. \(V = 8{\pi ^2}\)
B. \(V = 6{\pi ^2}\)
C. \(V = 4{\pi ^2}\)
D. \(V = 2{\pi ^2}\)
\({x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {(y - 1)^2} = 1 - {x^2} \Leftrightarrow y = 1 \pm \sqrt {1 - {x^2}} \,( - 1 \le x \le 1)\)
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} \right]dx}\)
\(= 4\pi \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = 2{\pi ^2}\)
Câu 16:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = {x^2} - 1\) và \(y = - {x^2} + 2x + 3\) không được tính bằng công thức nào sau đây?
A. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)} dx\)
B. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\)
C. \(S = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\)
D. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx\)
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
\(- {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 1\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.\)
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho được tính bằng công thức:
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\).
Từ đây suy ra phương án B và D đúng.
C đúng vì:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\\ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\\ (do\,2{x^2} - 2x - 4 < 0,\forall x \in \left( { - 1;2} \right)\, \end{array}\)
Nhận xét ta có thể suy ra ngay A sai vì rõ ràng thiếu hẳn hệ số 2 và \({ - {x^2} - x + 2}\) không lớn hơn 0 \(\forall x\in(-1;2)\).
Câu 17:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh Ox.
A. \(V = \frac{{81\pi }}{{35}}\)
B. \(V = \frac{{53\pi }}{{6}}\)
C. \(V = \frac{{46\pi }}{{15}}\)
D. \(V = \frac{{21\pi }}{{5}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 0 \end{array} \right.\)
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quanh hình (H) quanh trục Ox là:
\(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{81}}{{35}}\pi\)
Câu 18:
Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ quay quanh trục Ox, biết f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 4.
Tính thể tích vật thể tròn xoay.jpg

A. \(V = 3\pi\)
B. \(V = \frac{55}{3}\pi\)
C. \(V = \frac{33}{5}\pi\)
D. \(V = \frac{1}{5}\pi\)
\(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}d\left( {x - 2} \right)}\)
\(= \pi .\frac{1}{3}{\left( {x - 2} \right)^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = \pi .\frac{1}{3}.\left( {{{\left( {3 - 2} \right)}^3} - {{\left( {0 - 2} \right)}^3}} \right)\)
\(= 3\pi\)