Câu 1:
Cho các số phức \(z = 1 + 2i,w = 2 + i.\) Số phức \(u = z.\overline w .\) Khẳng định nào sau đây là đúng về số phức u?
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3.
C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i.
D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.
Câu 2:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 3 - 4i
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4i
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4
Câu 3:
Cho các mệnh đề sau:
(1) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm.
(2) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai.
(3) Môđun của một số phức là một số phức.
(4) Môđun của một số phức là một số thực dương.
Trong bốn mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Câu 4:
Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(z = 1 - 3i\) và \({\rm{w}} = - 2 + i\) trên mặt phẳng tọa độ. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.
A. 5
B. 3
C. \(\sqrt 5 .\)
D. \(\sqrt {13} .\)
Câu 5:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bằng điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
B. Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = b - ai.\)
C. Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó là một số thực.
D. Số phức \(z = a + bi\) có mô đun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Câu 6:
Cho z là một số phức tùy ý khác 0. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(z - \overline z \) là số ảo
B. \(z + \overline z \) là số thực
C. \(z.\overline z \) là số thực
D. \(\frac{z}{{\overline z }}\) là số ảo
Câu 7:
Cho số phức \({z_1} = 1 - 2i,{z_2} = 2 - 3i\). Khẳng định nào sau đây là sai về số phức \(w = {z_1}.\overline {{z_2}} \) ?
A. Số phức liên hợp của \(w\) là \(8 + i\)
B. Điểm biểu diễn w là \(M\left( {8;1} \right)\)
C. Môđun của w là \(\sqrt {65} \)
D. Phần thực của w là 8, phần ảo là -1
Câu 8:
Cho số phức \(z = - 3i\). Tìm phần thực của số phức z.
A. 3
B. 0
C. -3
D. Không có
Câu 9:
Trên tập số phức, cho \(\left( {2x + y} \right) + \left( {2y - x} \right)i = \left( {x - 2y + 3} \right) + \left( {y + 2x + 1} \right)i\) (với \(x,y \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = 2x + 3y.\)
A. \(P = 7\)
B. \(P = 1\)
C. \(P = 4\)
D. \(P = 3\)
Câu 10:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z = 1 - \pi i.\)
A. Phần thực là 1 và phần ảo là \( - \pi \)
B. Phần thực là 1 và phần ảo là \(\pi \)
C. Phần thực là 1 và phần ảo là \( - \pi i\)
D. Phần thực là -1 và phần ảo là \( - \pi \)
Câu 11:
Cho số phức z có điểm biểu diễn là điểm A trong hình vẽ bên. Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(\overline z \).
A. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng -2
B. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2
C. Phần thực bằng 2, phẩn ảo bằng -3i
D. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2i
Câu 12:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hệ thức \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\)?
A. 0
B. Vô số
C. 1
D. 2
Câu 13:
Trong các mệnh đề sau, hãy xác định mệnh đề đúng?
A. \(\left( {z + \overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
B. \(\left( {z - \overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
C. \(\left( {z + 2\overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
D. \(\left( {z - 2\overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
Câu 14:
Cho số phức \(z = 4 - 3i\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. \(M\left( {4; - 3} \right)\) là điểm biểu diễn của z.
B. \(\overline z = 4 + 3i\) là số phức liên hợp của z.
C. z có phần thực là 4, phần ảo là 3.
D. \(\left| z \right| = 5\)
Câu 15:
Cho số phức \(z = a + ib\) trong đó a, b là các số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. z là số ảo khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
B. z là số ảo khi \(a = 0\)
C. z là số thực khi \(b = 0\,\)
D. z là số thuần ảo khi \(\overline z \) là số thuần ảo
Câu 16:
Cho số phức z = 6 + 7i. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức liên hợp của z.
A. M (6; -7)
B. M (-6; -7)
C. M (-6; 7)
D. M (6; 7)
Câu 17:
Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần màu vàng nhạt (hình vẽ bên dưới) quay quanh đường thẳng AD bằng
A. \(\frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\)
B. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
C. \(\frac{{20\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{217}}\)
D. \(\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
Cho các số phức \(z = 1 + 2i,w = 2 + i.\) Số phức \(u = z.\overline w .\) Khẳng định nào sau đây là đúng về số phức u?
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3.
C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i.
D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.
Ta có \(\overline w = 2 - i \Rightarrow u = \left( {1 + 2i} \right)\left( {2 - i} \right) = 4 + 3i.\)
Do đó u có phần thực là 4 và phần ảo là 3.
Do đó u có phần thực là 4 và phần ảo là 3.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 3 - 4i
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4i
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng -4
Với 1 số phức z=a+bi thì phần thực là a và phần ảo là b.
Cho các mệnh đề sau:
(1) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm.
(2) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai.
(3) Môđun của một số phức là một số phức.
(4) Môđun của một số phức là một số thực dương.
Trong bốn mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
(1) đúng, (2) sai, ta có thể lấy ví dụ là căn bậc hai của \( - 1\) là \(i\) và \( - i.\)
(3) đúng vì mô đun của một số phức là một số phức (số thực cũng là số phức).
(4) sai vì mô đun của một số phức là một số thực không âm. (0 cũng là só phức, môđun của 0 bằng 0).
(3) đúng vì mô đun của một số phức là một số phức (số thực cũng là số phức).
(4) sai vì mô đun của một số phức là một số thực không âm. (0 cũng là só phức, môđun của 0 bằng 0).
Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(z = 1 - 3i\) và \({\rm{w}} = - 2 + i\) trên mặt phẳng tọa độ. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.
A. 5
B. 3
C. \(\sqrt 5 .\)
D. \(\sqrt {13} .\)
Ta có: \(A\left( {1; - 3} \right),\,\,B\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {9 + 16} = 5.\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bằng điểm \(M\left( {x;y} \right)\) trong mặt phẳng Oxy.
B. Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = b - ai.\)
C. Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó là một số thực.
D. Số phức \(z = a + bi\) có mô đun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Ta có số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = a - bi \Rightarrow B\,\,sai.\)
Cho z là một số phức tùy ý khác 0. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(z - \overline z \) là số ảo
B. \(z + \overline z \) là số thực
C. \(z.\overline z \) là số thực
D. \(\frac{z}{{\overline z }}\) là số ảo
Giả sử \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) ta có \(\frac{z}{{\overline z }} = \frac{{a + bi}}{{a - bi}} = \frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}i\) nên ta chưa thể khẳng định được \(\frac{z}{{\overline z }}\) là số ảo.
Dễ dàng kiểm tra được A, B, C là những khẳng định đúng.
Dễ dàng kiểm tra được A, B, C là những khẳng định đúng.
Cho số phức \({z_1} = 1 - 2i,{z_2} = 2 - 3i\). Khẳng định nào sau đây là sai về số phức \(w = {z_1}.\overline {{z_2}} \) ?
A. Số phức liên hợp của \(w\) là \(8 + i\)
B. Điểm biểu diễn w là \(M\left( {8;1} \right)\)
C. Môđun của w là \(\sqrt {65} \)
D. Phần thực của w là 8, phần ảo là -1
Ta có \(\overline {{z_2}} = 2 + 3i \Rightarrow w = {z_1}.\overline {{z_2}} = \left( {1 - 2i} \right)\left( {2 + 3i} \right) = 8 - i\)
Suy ra điểm biểu diễn của số phức w là N(8;-1).
Do đó B sai.
Suy ra điểm biểu diễn của số phức w là N(8;-1).
Do đó B sai.
Cho số phức \(z = - 3i\). Tìm phần thực của số phức z.
A. 3
B. 0
C. -3
D. Không có
\(z = - 3i = 0 - 3i\) suy ra phần thực của z là 0.
Trên tập số phức, cho \(\left( {2x + y} \right) + \left( {2y - x} \right)i = \left( {x - 2y + 3} \right) + \left( {y + 2x + 1} \right)i\) (với \(x,y \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = 2x + 3y.\)
A. \(P = 7\)
B. \(P = 1\)
C. \(P = 4\)
D. \(P = 3\)
\(\begin{array}{l}\left( {2x + y} \right) + \left( {2y - x} \right)i = \left( {x - 2y + 3} \right) + \left( {y + 2x + 1} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = x - 2y + 3}\\{2y - x = y + 2x + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 3 = 0}\\{3x - y + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array} \Rightarrow P = 3} \right.\end{array}\)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z = 1 - \pi i.\)
A. Phần thực là 1 và phần ảo là \( - \pi \)
B. Phần thực là 1 và phần ảo là \(\pi \)
C. Phần thực là 1 và phần ảo là \( - \pi i\)
D. Phần thực là -1 và phần ảo là \( - \pi \)
Số phức z=a+bi có phân thực là a, phần ảo là b.
Cho số phức z có điểm biểu diễn là điểm A trong hình vẽ bên. Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(\overline z \).
A. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng -2
B. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2
C. Phần thực bằng 2, phẩn ảo bằng -3i
D. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2i
Ta có \(z = 3 + 2i \Rightarrow \overline z = 3 - 2i.\)
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hệ thức \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\)?
A. 0
B. Vô số
C. 1
D. 2
\(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow {z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {\left( {a - bi} \right)^2} \Leftrightarrow 2abi = - 2abi \Leftrightarrow ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
Suy ra có vô số số phức z thỏa mãn đề bài.
\( \Rightarrow {z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {\left( {a - bi} \right)^2} \Leftrightarrow 2abi = - 2abi \Leftrightarrow ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
Suy ra có vô số số phức z thỏa mãn đề bài.
Trong các mệnh đề sau, hãy xác định mệnh đề đúng?
A. \(\left( {z + \overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
B. \(\left( {z - \overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
C. \(\left( {z + 2\overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
D. \(\left( {z - 2\overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi \Rightarrow z + \overline z = 2a \in \mathbb{R}.\)
Cho số phức \(z = 4 - 3i\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. \(M\left( {4; - 3} \right)\) là điểm biểu diễn của z.
B. \(\overline z = 4 + 3i\) là số phức liên hợp của z.
C. z có phần thực là 4, phần ảo là 3.
D. \(\left| z \right| = 5\)
z có phần thực là 4, phần ảo là -3.
Cho số phức \(z = a + ib\) trong đó a, b là các số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. z là số ảo khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
B. z là số ảo khi \(a = 0\)
C. z là số thực khi \(b = 0\,\)
D. z là số thuần ảo khi \(\overline z \) là số thuần ảo
z là số ảo khi \(b \ne 0.\)
Cho số phức z = 6 + 7i. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức liên hợp của z.
A. M (6; -7)
B. M (-6; -7)
C. M (-6; 7)
D. M (6; 7)
Ta có \(\overline z = 6 - 7i \Rightarrow M(6;7).\)
Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần màu vàng nhạt (hình vẽ bên dưới) quay quanh đường thẳng AD bằng
A. \(\frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\)
B. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
C. \(\frac{{20\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{217}}\)
D. \(\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
Thể tích của khối cầu là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\)
Thể tích của khối nón có tam giác ABC thiết diện qua trục là:
\({V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
Vậy thể tích phần tô đậm cần tính là \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}{a^3} - \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}.\)
Thể tích của khối nón có tam giác ABC thiết diện qua trục là:
\({V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
Vậy thể tích phần tô đậm cần tính là \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}{a^3} - \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}.\)