Câu 1:
Tìm tập hợp các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0\).
A. Tập hợp mọi số thuần ảo và số 0.
B. \(\left\{ { \pm i;0} \right\}\)
C. \(\left\{ { - i;0} \right\}\)
D. \(\left\{ {0} \right\}\)
Câu 2:
Cho z0 là nghiệm của phương trình \({z^2} - 13z + 45 = 0\). Tính tổng \({z_0} + \overline {{z_0}}\).
A. -13
B. 13
C. 45
D. -45
Câu 3:
Tìm số nghiệm của phương trình \({z^3} - 2\left( {i + 1} \right){z^2} + 3iz + 1 - i = 0\).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 4:
Giải phương trình sau trong tập số phức \({z^2} + 2z + 15 = 0\). Tìm tập nghiệm S của phương trình.
A. \(S = \left\{ {1 + \sqrt {14} i;1 - \sqrt {14} i} \right\}\)
B. \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt {14} i; - 1 - \sqrt {14} i} \right\}\)
C. \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt {56} i; - 1 - \sqrt {56} i} \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1 + \sqrt {56} i;1 - \sqrt {56} i} \right\}\)
Câu 5:
Biết {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0. Tính z_1^2 + z_2^2.
A. \(-\frac{9}{4}\)
B. \(\frac{8}{3}\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
D. \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)
Câu 6:
Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\).
A. z1.z2=0
B. z1.z2=1
C. z1.z2=2
D. z1.z2=3
Câu 7:
Tìm tập nghiệm S của của phương trình {z^3} - 27 = 0 trên tập số phức.
A. \(S = \left\{ 3 \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ 3;{\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\)
D. \(S = \left\{ {\frac{{ 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\)
Câu 8:
Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng 2w+i và 3w-5 là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + az + b = 0.\) Tìm phần thực của số phức w.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 9:
Biết số phức \(z_1=1+i\) và \(z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + bz + c = 0.\) Tìm môdun của số phức \(w = \left( {{{\bar z}_1} - 2i + 1} \right)\left( {{{\bar z}_2} - 2i + 1} \right).\)
A. \(\left| w \right| = \sqrt {63}\)
B. \(\left| w \right| = \sqrt {65}\)
C. \(\left| w \right| =8\)
D. \(\left| w \right| = 1\)
Câu 10:
Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0.Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức {\rm{w}} = i{z_0}?
A. \({M_1}\left( {\frac{1}{2};2} \right).\)
B. \({M_1}\left( {-\frac{1}{2};2} \right).\)
C. \({M_1}\left( {-\frac{1}{4};1} \right).\)
D. \({M_1}\left( {\frac{1}{4};1} \right).\)
Câu 11:
Gọi {z_1},{z_2} là hai nghiệm của phương trình {z^2} - 2{\rm{z}} + 10 = 0. Tìm phần ảo của số phức \(z = z_1^2 + z_2^2.\)
A. 0
B. -16
C. 18
D. -16i
Câu 12:
Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)
A. \(S=0\)
B. \(S=i\)
C. \(S=2i\sqrt3\)
D. \(S=1\)
Câu 13:
Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w.
A. \({\rm{w}} = {2^{51}}\)
B. \({\rm{w}} = {2^{50}}i\)
C. \({\rm{w}} =- {2^{51}}\)
D. \({\rm{w}} = -{2^{50}}i\)
Câu 14:
Cho số phức z = a + bi với a, b là hai số thực khác 0. Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\overline z\) làm nghiệm với mọi a, b.
A. \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\)
B. \({z^2} = {a^2} + {b^2}\)
C. \({z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\)
D. \({z^2} + 2az + {a^2} - {b^2} = 0\)
Câu 19:
Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \({z^4} - 2{z^2} - 8 = 0.\) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) đó. Tính giá trị của P=OA+OB+OC+OD, trong đó O là gốc tọa độ.
A. \(P=4.\)
B. \(P = 2 + \sqrt 2 .\)
C. \(P = 2\sqrt 2 .\)
D. \(P = 4 + \sqrt 2 .\)
Câu 16:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^4} + 2{z^2} - 3 = 0\) trên tập số phức.
A. \(S = \left\{ {1; - 1;3i; - 3i} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {1; - 2;i; - i} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {1;3} \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1; - 1;i\sqrt 3 ; - i\sqrt 3 } \right\}\)
Câu 17:
Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^4} - 3{z^2} - 4 = 0.\) Tính giá trị biểu thức \(S = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2.\)
A. S=2
B. S=4
C. S=6
D. S=8
Tìm tập hợp các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + {\left| z \right|^2} = 0\).
A. Tập hợp mọi số thuần ảo và số 0.
B. \(\left\{ { \pm i;0} \right\}\)
C. \(\left\{ { - i;0} \right\}\)
D. \(\left\{ {0} \right\}\)
Ta có
\(\Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + {a^2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2abi = 0\)
\(\Leftrightarrow 2a\left( {a + bi} \right) = 0\)
( do \({i^2} = - 1\))
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a + bi = 0 \Leftrightarrow z = 0 \end{array} \right.\)
Với a=0 thì \(z = 0 + bi\) là số thuần ảo.
Vậy đáp án đúng là A.
\(\Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + {a^2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2abi = 0\)
\(\Leftrightarrow 2a\left( {a + bi} \right) = 0\)
( do \({i^2} = - 1\))
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a + bi = 0 \Leftrightarrow z = 0 \end{array} \right.\)
Với a=0 thì \(z = 0 + bi\) là số thuần ảo.
Vậy đáp án đúng là A.
Cho z0 là nghiệm của phương trình \({z^2} - 13z + 45 = 0\). Tính tổng \({z_0} + \overline {{z_0}}\).
A. -13
B. 13
C. 45
D. -45
Giải phương trình ta có: phương trình có hai nghiệm \({z_1} = \frac{{13}}{2} + \frac{{\sqrt {11} }}{2}i\) và \({z_2} = \frac{{13}}{2} - \frac{{\sqrt {11} }}{2}i\)
Hai nghiệm này là số phức liên hợp của nhau, do đó \({z_0} + {\bar z_0} = {z_1} + {z_2} = 13\).
Hai nghiệm này là số phức liên hợp của nhau, do đó \({z_0} + {\bar z_0} = {z_1} + {z_2} = 13\).
Tìm số nghiệm của phương trình \({z^3} - 2\left( {i + 1} \right){z^2} + 3iz + 1 - i = 0\).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
\(\Rightarrow {z^3} - 2\left( {i + 1} \right){z^2} + 3iz + 1 - i = \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ {z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*) \end{array} \right.\)
\({z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*)\)
\(\Delta = {\left( { - \left( {1 + 2i} \right)} \right)^2} - 4\left( { - 1 + i} \right) = 1\)
Vậy (*) có 2 nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l} z = 1 + i\\ z = i \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1\\ {z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*) \end{array} \right.\)
\({z^2} - \left( {1 + 2i} \right)z - 1 + i = 0\,\,\,\,(*)\)
\(\Delta = {\left( { - \left( {1 + 2i} \right)} \right)^2} - 4\left( { - 1 + i} \right) = 1\)
Vậy (*) có 2 nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l} z = 1 + i\\ z = i \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
Giải phương trình sau trong tập số phức \({z^2} + 2z + 15 = 0\). Tìm tập nghiệm S của phương trình.
A. \(S = \left\{ {1 + \sqrt {14} i;1 - \sqrt {14} i} \right\}\)
B. \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt {14} i; - 1 - \sqrt {14} i} \right\}\)
C. \(S = \left\{ { - 1 + \sqrt {56} i; - 1 - \sqrt {56} i} \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1 + \sqrt {56} i;1 - \sqrt {56} i} \right\}\)
Dùng máy tính bỏ túi ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình trên tập số phức.
\({z^2} + 2z + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1 + \sqrt {14}i \\ z = - 1 - \sqrt {14} i \end{array} \right.\)
Đáp án B
\({z^2} + 2z + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1 + \sqrt {14}i \\ z = - 1 - \sqrt {14} i \end{array} \right.\)
Đáp án B
Biết {z_1},{z_2} là hai nghiệm phức của phương trình 2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0. Tính z_1^2 + z_2^2.
A. \(-\frac{9}{4}\)
B. \(\frac{8}{3}\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
D. \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)
\(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\sqrt {21} }}{4}i}\\ {{z_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt {21} }}{4}i} \end{array}} \right.\)
Vậy: \(z_1^2 + z_2^2 = -\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\sqrt {21} }}{4}i}\\ {{z_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt {21} }}{4}i} \end{array}} \right.\)
Vậy: \(z_1^2 + z_2^2 = -\frac{9}{4}\)
Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\).
A. z1.z2=0
B. z1.z2=1
C. z1.z2=2
D. z1.z2=3
\({z^2} + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = - 1 + i\\ {z_2} = - 1 - i \end{array} \right.\)
Vậy \({z_1}.{z_2} = 2\)
Vậy \({z_1}.{z_2} = 2\)
Tìm tập nghiệm S của của phương trình {z^3} - 27 = 0 trên tập số phức.
A. \(S = \left\{ 3 \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ 3;{\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\)
D. \(S = \left\{ {\frac{{ 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\)
\(\begin{array}{l} {z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)({z^2} + 3z + 9) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ z = \frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2}\\ z = \frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy: \(S = \left\{ 3;{\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\).
Vậy: \(S = \left\{ 3;{\frac{{ - 3 + 3\sqrt 3 i}}{2};\frac{{ - 3 - 3\sqrt 3 i}}{2}} \right\}\).
Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng 2w+i và 3w-5 là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + az + b = 0.\) Tìm phần thực của số phức w.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Giả sử \(w = x + yi(x;y \in ) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2w + i = 2x + (2y + 1)i\\ 3w - 5 = 3x - 5 + 3yi \end{array} \right.\)
Do 2w+i và 3w -5 là hai nghiệm của \({z^2} + az + b = 0\)
Áp dụng định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + (2y + 1)i + 3x - 5 + 3yi = a\\ \left[ {2x + (2y + 1)i} \right]\left( {3x - 5 + 3yi} \right) = b \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 5 + (5y + 1)i = - a\\ 6{x^2} - 16x - 6{y^2} - 3y + i\left[ {6xy + \left( {2y + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)} \right] = - b \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5y + 1 = 0\\ 6xy + (2y + 1)(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ - \frac{6}{5}x + \frac{3}{5}(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ x = 5 \end{array} \right.\)
Do đó phần thực của w là 5
Do 2w+i và 3w -5 là hai nghiệm của \({z^2} + az + b = 0\)
Áp dụng định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + (2y + 1)i + 3x - 5 + 3yi = a\\ \left[ {2x + (2y + 1)i} \right]\left( {3x - 5 + 3yi} \right) = b \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 5 + (5y + 1)i = - a\\ 6{x^2} - 16x - 6{y^2} - 3y + i\left[ {6xy + \left( {2y + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)} \right] = - b \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5y + 1 = 0\\ 6xy + (2y + 1)(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ - \frac{6}{5}x + \frac{3}{5}(3x - 5) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{ - 1}}{5}\\ x = 5 \end{array} \right.\)
Do đó phần thực của w là 5
Biết số phức \(z_1=1+i\) và \(z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + bz + c = 0.\) Tìm môdun của số phức \(w = \left( {{{\bar z}_1} - 2i + 1} \right)\left( {{{\bar z}_2} - 2i + 1} \right).\)
A. \(\left| w \right| = \sqrt {63}\)
B. \(\left| w \right| = \sqrt {65}\)
C. \(\left| w \right| =8\)
D. \(\left| w \right| = 1\)
Do \(z_1=1+i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0.\)
Suy ra: \({(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0 \Leftrightarrow b + c + i(b + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = - 2\\ c = 2 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {z_2} = 1 - i.\)
\(\begin{array}{l} w = \left( {{{\bar z}_1} - 2i + 1} \right)\left( {{{\bar z}_2} - 2i + 1} \right)\\ = (1 - i - 2i + 1)(1 + i - 2i + 1)\\ = (2 - 3i)(2 - i) = 1 - 8i\\ \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {65} . \end{array}\)
Suy ra: \({(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0 \Leftrightarrow b + c + i(b + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = - 2\\ c = 2 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {z_2} = 1 - i.\)
\(\begin{array}{l} w = \left( {{{\bar z}_1} - 2i + 1} \right)\left( {{{\bar z}_2} - 2i + 1} \right)\\ = (1 - i - 2i + 1)(1 + i - 2i + 1)\\ = (2 - 3i)(2 - i) = 1 - 8i\\ \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {65} . \end{array}\)
Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0.Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức {\rm{w}} = i{z_0}?
A. \({M_1}\left( {\frac{1}{2};2} \right).\)
B. \({M_1}\left( {-\frac{1}{2};2} \right).\)
C. \({M_1}\left( {-\frac{1}{4};1} \right).\)
D. \({M_1}\left( {\frac{1}{4};1} \right).\)
\(4{z^2} - 16z + 17 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \frac{{16 + 4i}}{8} = \frac{{i + 4}}{2}\\ z = \frac{{16 - 4i}}{8} = \frac{{ - i + 4}}{2} \end{array} \right.\)
Do đó: \({z_0} = \frac{{i + 4}}{2} \Rightarrow i{z_0} = \frac{{ - 1 + 4i}}{2} = - \frac{1}{2} + 2i\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \frac{{16 + 4i}}{8} = \frac{{i + 4}}{2}\\ z = \frac{{16 - 4i}}{8} = \frac{{ - i + 4}}{2} \end{array} \right.\)
Do đó: \({z_0} = \frac{{i + 4}}{2} \Rightarrow i{z_0} = \frac{{ - 1 + 4i}}{2} = - \frac{1}{2} + 2i\)
Gọi {z_1},{z_2} là hai nghiệm của phương trình {z^2} - 2{\rm{z}} + 10 = 0. Tìm phần ảo của số phức \(z = z_1^2 + z_2^2.\)
A. 0
B. -16
C. 18
D. -16i
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 2\\ {z_1}{z_2} = 10 \end{array} \right. \Rightarrow z = z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} = {2^2} - 2.10 = - 16\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 2\\ {z_1}{z_2} = 10 \end{array} \right. \Rightarrow z = z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} = {2^2} - 2.10 = - 16\)
Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)
A. \(S=0\)
B. \(S=i\)
C. \(S=2i\sqrt3\)
D. \(S=1\)
\(\begin{array}{l} {z^3} - 8 = 0 \Leftrightarrow (z - 2)({z^2} + 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 2\\ {z^2} + 2z + 4 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 2\\ z = - 1 + i\sqrt 3 \\ z = - 1 - i\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow S = 0. \end{array}\)
Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w.
A. \({\rm{w}} = {2^{51}}\)
B. \({\rm{w}} = {2^{50}}i\)
C. \({\rm{w}} =- {2^{51}}\)
D. \({\rm{w}} = -{2^{50}}i\)
\(\begin{array}{l} {\rm{w}} = {(1 + {z_1})^{100}} + {(1 + {z_2})^{100}}\\ = {\left( {{z_1}^2 + 2{z_1} + 1} \right)^{50}} + {\left( {{z_2}^2 + 2{z_2} + 1} \right)^{50}}\\ = {\left( { - 2{z_1} - 4} \right)^{50}} + {\left( { - 2{z_2} - 4} \right)^{50}}\,(Do\,{z_i}^2 + 4{z_i} + 5 = 0)\\ = {2^{50}}{\left( {{z_1} + 2} \right)^{50}} + {2^{50}}{\left( {{z_2} + 2} \right)^{50}}\\ = {2^{50}}\left[ {{{\left( {{z_1}^2 + 4{z_1} + 4} \right)}^{25}} + {{\left( {{z_2}^2 + 4{z_2} + 4} \right)}^{25}}} \right]\\ = {2^{50}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^{25}} + {{\left( { - 1} \right)}^{25}}} \right] = - {2^{51}}. \end{array}\)
Cho số phức z = a + bi với a, b là hai số thực khác 0. Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\overline z\) làm nghiệm với mọi a, b.
A. \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\)
B. \({z^2} = {a^2} + {b^2}\)
C. \({z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\)
D. \({z^2} + 2az + {a^2} - {b^2} = 0\)
Lần lượt xét các phương án.
Phương án A: \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) có hai nghiệm \(z = a + bi\) hoặc \(z =- a - bi\)
Phương án B: \({z^2} = {a^2} + {b^2}\) có nghiệm \(z = \pm \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Phương án C: \({z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\) có nghiệm \(z = a + bi;z = a - bi\) thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy C là phương án đúng.
Kiểm tra tương tự với phương án D.
Phương án A: \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) có hai nghiệm \(z = a + bi\) hoặc \(z =- a - bi\)
Phương án B: \({z^2} = {a^2} + {b^2}\) có nghiệm \(z = \pm \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Phương án C: \({z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\) có nghiệm \(z = a + bi;z = a - bi\) thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy C là phương án đúng.
Kiểm tra tương tự với phương án D.
Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \({z^4} - 2{z^2} - 8 = 0.\) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) đó. Tính giá trị của P=OA+OB+OC+OD, trong đó O là gốc tọa độ.
A. \(P=4.\)
B. \(P = 2 + \sqrt 2 .\)
C. \(P = 2\sqrt 2 .\)
D. \(P = 4 + \sqrt 2 .\)
\(\begin{array}{l} {z^4} - 2{z^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {({z^2} - 1)^2} = {3^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = 4\\ {z^2} = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm 2\\ z = \pm i\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} = 2;{z_2} = - 2\\ {z_3} = i\sqrt 2 ;{z_4} = - i\sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Kkhi đó: \(A(2;0),B( - 2;0),C(0;\sqrt 2 ),D(0; - \sqrt 2 )\)
\(\Rightarrow P = OA + OB + OC + OD = 4 + 2\sqrt 2 .\)
Kkhi đó: \(A(2;0),B( - 2;0),C(0;\sqrt 2 ),D(0; - \sqrt 2 )\)
\(\Rightarrow P = OA + OB + OC + OD = 4 + 2\sqrt 2 .\)
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^4} + 2{z^2} - 3 = 0\) trên tập số phức.
A. \(S = \left\{ {1; - 1;3i; - 3i} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {1; - 2;i; - i} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {1;3} \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1; - 1;i\sqrt 3 ; - i\sqrt 3 } \right\}\)
\({z^4} + 2{z^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = 1\\ {z^2} = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm 1\\ z = \pm i\sqrt 3 \end{array} \right..\)
Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^4} - 3{z^2} - 4 = 0.\) Tính giá trị biểu thức \(S = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2.\)
A. S=2
B. S=4
C. S=6
D. S=8
Ta có: \({\left( {{z^2}} \right)^2} - 3\left( {{z^2}} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{z^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z^2} = - 1}\\ {{z^2} = 4} \end{array}} \right.\)
Suy ra \(S = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = - 1 + \left( { - 1} \right) + 4 + 4 = 6.\)
Suy ra \(S = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = - 1 + \left( { - 1} \right) + 4 + 4 = 6.\)