Toán 12 17 Bài tập trắc nghiêm về tính chất Của Tích Phân Và Nguyên Hàm (phần 3)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
A. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K.
B. Mọi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
C. Với mỗi hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên K, hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K khi \(f'\left( x \right) = F\left( x \right)\).
D. Nếu \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right).u'\left( x \right)dx} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C.\)
Với mệnh đề A: Đây là mệnh đề đúng, vì ta đã học công thức tính nguyên hàm và có là cộng thêm hằng số C. Mỗi biểu thức với C khác nhau sẽ là một nguyên hàm của hàm số đã cho.
Với mệnh đề B: Đây là mệnh đề đúng, với hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên K thì sẽ có nguyên hàm trên K.
Với mệnh đề C: Ta nhận thấy \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\) khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Vậy C chính là mệnh đề sai.
Câu 2:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = 7,\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 5\). Khi đó \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx\) bằng:
A. 12
B. 2
C. -2
D. 4
Ta có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - 5 + 7 = 2.\)
Câu 3:
Hàm số \(F\left( x \right) = 3{x^4} + \sin x + 3\) là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. \(f\left( x \right) = 12{x^3} - \cos x.\)
B. \(f\left( x \right) = 12{x^3} + \cos x.\)
C. \(f\left( x \right) = 12{x^3} + \cos x + 3x.\)
D. \(f\left( x \right) = 12{x^3} - \cos x + 3x.\)
Ta có: \(F\left( x \right) = 3{x^4} + \sin x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 12{x^3} + \cos x.\)
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = {x^2},\forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx.\)
A. \(I = \frac{2}{3}\)
B. \(I = 1\)
C. \(I = 2\)
D. \(I = \frac{1}{3}\)
Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = {x^2} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}} dx\)
Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,t = 1}\\{x = 1,t = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = - \int\limits_1^{ - 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} \) \( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx\)
Suy ra \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{2}{3} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{1}{3}.\)
Câu 5:
Cho f, g là hai hàm số liên tục trên đoạn [1,3] thỏa mãn \(\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + 3g(x)} \right]dx = 10\)và \(\int\limits_1^3 {\left[ {2f(x) - g(x)} \right]dx} = 6\).Tính \(I = \int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} .\)
A. I=8
B. I=9
C. I=6
D. I=7
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + 3g(x)} \right]dx = 10} }\\ {\int\limits_1^3 {\left[ {2f(x) - g(x)} \right]dx = 6} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {f(x)dx} + 3\int\limits_1^3 {g(x)dx} = 10}\\ {2\int\limits_1^3 {f(x)dx} - \int\limits_1^3 {g(x)dx} = 6} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 4}\\ {\int\limits_1^3 {g(x)dx} = 2} \end{array}} \right.\)
Suy ra \(\int\limits_1^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_1^3 {g(x)dx} = 6\)
Câu 6:
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) và \(2F\left( a \right) - 1 = 2F\left( b \right).\) Tính \(I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.\)
A. \(I = - 1.\)
B. \(I = 1.\)
C. \(I = - 0,5.\)
D. \(I = 0,5.\)
Ta có: \(I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) - F(a) = \frac{{2F(b) - 2F(a)}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}.\)
Câu 7:
Cho \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} dx = 9\). Tính \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} .\)
A. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = 1\)
B. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = - 3\)
C. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = 3\)
D. \(\int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)dx} = 27\)
Tính \(I = \int\limits_0^3 {f\left( {3x} \right)} dx\). Đặt \(t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{3};x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 3 \Rightarrow t = 9\)
\( \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( t \right)} dt = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}.9 = 3\)
Câu 8:
Cho hàm số \(f \left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right],\) biết \(f \left( 4 \right) = 2017,\,\,\int\limits_{ - 1}^4 {{f'}\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2016.\) Tính \(f\left( { - 1} \right).\)
A. \(f\left( { - 1} \right) = 1.\)
B. \(f\left( { - 1} \right) = 2.\)
C. \(f\left( { - 1} \right) = 3.\)
D. \(f\left( { - 1} \right) = - 1.\)
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^4 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 4 \right) - f\left( { - 1} \right) = 2016 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = f\left( 4 \right) - 2016 = 1.\)
Câu 9:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 2.\) Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} .\)
A. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = 1.\)
B. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = 4.\)
C. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}.\)
D. \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = 2.\)
Vì f(x) là hàm số chẵn nên \(2 = \int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} = 2\int\limits_0^2 {f(x)dx} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 1.\)
Xét tích phân: \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \)
Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Khi đó: \(\int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(t)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}.\)
Câu 10:
Nếu \(\int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}} x = 2\) thì \(I = \int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]} {\rm{d}}x\) bằng bao nhiêu?
A. \(I = 2\).
B. \(I = 3\).
C. \(I = 4\).
D. \(I = 1\).
Ta có \(I = \int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]} {\rm{d}}x = 3\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 2\int\limits_1^2 {{\rm{d}}x} = 3.2 - 2\left. x \right|\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array} = 6 - 2 = 4\).
Câu 11:
Cho hàm số \(g\left( x \right) = \int\limits_{\sqrt x }^{{x^2}} {\sqrt t \sin t{\rm{dt}}} \) xác định với mọi \(x > 0.\) Tính \(g'\left( x \right)\) được kết quả:
A. \(g'\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)
B. \(g'\left( x \right) = 2{x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)
C. \(g'\left( x \right) = 2{x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)
D. \(g'\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}.\)
Đặt \(f\left( t \right) = \sqrt t \sin t \Rightarrow g\left( x \right) = F\left( {{x^2}} \right) - F\left( {\sqrt x } \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}F'\left( {{x^2}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}F'\left( x \right)\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}f\left( {{x^2}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt x }}f\left( {\sqrt x } \right) = 2{\rm{x}}.\left[ {x\sin \left( {{x^2}} \right)} \right] - \frac{1}{{2\sqrt x }}\left[ {\sqrt[4]{{\rm{x}}}.\sin \left( {\sqrt x } \right)} \right] = 2{{\rm{x}}^2}\sin \left( {{x^2}} \right) - \frac{{\sin \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt[4]{{\rm{x}}}}}\)
Câu 12:
Nếu \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)d{\rm{x}}} = 4\) thì \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {{\rm{cos}}2{\rm{x}}} \right)} \sin 4{\rm{xdx}}\) bằng:
A. 2
B. 6
C. 8
D. 4
Đặt \(t = \cos 2x \Rightarrow dt = - 2\sin 2xdx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,\,\,t = 1\\x = \frac{\pi }{4},\,\,t = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)\sin 4{\rm{xdx}} = - \int\limits_1^0 {tf\left( t \right)dt} } \)
\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\cos 2x} \right)\sin 4xdx = \int\limits_0^1 {tf\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx = 4.} } \)
Câu 13:
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { - 1;- 2} \right]\). Biết \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx = 1\) và \(F\left( { - 1} \right) = - 1\). Tính F(2).
A. \(F\left( 2 \right) = 2\)
B. \(F\left( 2 \right) = 0\)
C. \(F\left( 2 \right) = 3\)
D. \(F\left( 2 \right) = 1\)
Ta có \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) = 1 \Rightarrow F\left( 2 \right) = 1 + F\left( { - 1} \right) = 0.\)
Câu 14:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) như hình vẽ bên. Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} dx\).
http://[img] [/img]
A. \(I = \frac{5}{2}\)
B. \(I = \frac{{11}}{2}\)
C. \(I = 5\)
D. \(I = 3\)
Ta có \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} dx = \left( {\frac{{4 + 2}}{2}.1} \right) - \left( {\frac{{1 + 2}}{2}.1} \right) = \frac{5}{2}\) (bằng diện tích hình thang trên trục hoành trừ diện tích hình thang phía dưới trục hoành).
Câu 15:
Biết tích phân \(\int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx = 2} \) , (trong đó a, b là các hằng số dương). Tính tích phân \(I = \int\limits_{{e^a}}^{{e^b}} {\frac{1}{{x\ln x}}} dx\)
A. \(I = \ln 2\)
B. \(I = 2\)
C. \(I = \frac{1}{{\ln 2}}\)
D. \(I = \frac{1}{2}\)
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {e^a},t = a}\\{x = {e^b},t = b}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \int\limits_a^b {\frac{1}{t}dt} = \int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx} = 2.\)
Câu 16:
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = 1\) và \(\int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3.\) Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} .\)
A. \(\frac{1}{2}.\)
B. \(\frac{{13}}{2}.\)
C. \(\frac{{11}}{2}.\)
D. \(\frac{7}{2}.\)
Xét tích phân: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} \)
Đặt \(v = 2u \Rightarrow dv = 2du;\,\,u = 0 \Rightarrow v = 0;u = 1 \Rightarrow v = 2\)
Vậy: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(v)dv} = 1 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(v)dv} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 2\)
Xét tích phân: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3\)
Đặt: \(v = \frac{t}{2} \Rightarrow dv = \frac{1}{2}dt;\,\,t = 2 \Rightarrow v = 1;t = 4 \Rightarrow v = 2\)
Vậy: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 2\int\limits_1^2 {f(v)dv} = 3 \Rightarrow \int\limits_1^2 {f(v)dv} = \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{3}{2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f(x)dx} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} - \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}.\end{array}\)
Câu 17:
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên R và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 2,\int\limits_1^3 {\left( {2x} \right)dx = 10} } \). Tính giá trị của \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right)dx} \).
A. I=8
B. I=4
C. I=3
D. I=6
Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 3,t = 6\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt} = 10 \Rightarrow \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} = 20\)
Đặt: \(t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = 2,t = 6\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^6 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt + \int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt} } } \right]\)
Suy ra: \(\frac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} } \right] = \frac{1}{3}\left( { - 2 + 20} \right) = 6\)