Câu 1:
Cho đồ thị hàm số y=f(x). Tìm công thức tính diện tích hình phẳng là phần tô đậm trong hình bên dưới.
A. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\)
B. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx}\)
C. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\)
D. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\)
Câu 2:
Cho hình thang cong (H) giới hạn bới các đường y = {e^x},y = 0,x = 0 và x=ln4. Đường thẳng x = k\,(0 < k < \ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S_1,S_2 và như hình vẽ bên. Tìm x=k để S_1=2S_2.
A. \(k = \frac{2}{3}\ln 4\)
B. \(k =ln2\)
C. \(k = ln\frac{8}{3}\)
D. \(k = ln3\)
Câu 3:
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \left( {x - 1} \right){e^x},y = {x^2} - 1.\)
A. \(S = e + \frac{8}{3}\)
B. \(S = e + \frac{2}{3}\)
C. \(S = e - \frac{2}{3}\)
D. \(S = e - \frac{8}{3}\)
Câu 4:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và các trục tọa độ.
A. \(S = 3\ln 6\)
B. \(S = 3\ln \frac{3}{2}\)
C. \(S = 3\ln \frac{3}{2} - 2\)
D. \(S = 3\ln \frac{3}{2} - 1\)
Câu 5:
Gọi N(t) (ml/phút) là tốc độ rò rỉ dầu từ cái thùng tại thời điểm t. Biết \(N'\left( t \right) = t{\left( {t - 1} \right)^2}\). Tính lượng dầu rò rỉ ra trong một tiếng đầu tiên.
A. 3097800 ml
B. \(\frac{1}{12}\)ml
C. 30789800 ml
D. 12 ml
Câu 6:
Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elíp có độ dài trục lớn bằng 16m, độ dài trục bé bằng 10m. Giữa khuôn viên là một đài phun nước hình tròn có đướng kính 8m, phần còn lại của khuôn viên người ta thả cá. Số cá thả vào khuôn viên đó gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng mật độ thả cá là 5 con trên \(1{m^2}\)mặt nước.
A. 376
B. 378
C. 377
D. 375
Câu 7
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = a\) và \(x = b\) quay xung quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
C. \(V = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
D. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)
Câu 8:
Ông An xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ.
Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có đỉnh I.
Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/m2 và phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/m2.
Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?
A. 165 triệu đồng.
B. 195 triệu đồng.
C. 135 triệu đồng.
D. 151 triệu đồng.
Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0).\)
Theo đề bài, ta có Parabol đi qua các điểm \(( - 15;0);\,\,(15;0);\,\,(0;10).\)
Vậy ta tìm được phương trình Parabol \(\left( P \right):y = - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10.\)
Gọi \({S_1}\) là diện tích phần tô vàng suy ra \({S_1} = 2\int\limits_{ - 15}^{15} {\left( { - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10} \right)dx} = 400\left( {{m^2}} \right).\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích phần không tô màu suy ra \({S_2} = 50.30 - {S_1} = 1100\left( {{m^2}} \right).\)
Suy ra số tiền cần tìm là \(0,13.400 + 0,09.1100 = 151\) (triệu đồng).
Câu 9:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x\ln x,\,\,y = 0,\,\,x = e\) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{\pi }{a}\left( {b\,{e^3} - 2} \right)\). Tìm a và b.
A. \(a = 27;\,\,b = 5\)
B. \(a = 26;\,\,b = 6\)
C. \(a = 24;\,\,b = 5\)
D. \(a = 27;\,\,b = 6\)
Câu 10:
Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} + 3x + 1,\,\,y = {x^2} - x - 2\). Tính \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right)?\)
A. 0
B. \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 11:
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi \(2,90\,c{m^3}/\)phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi \(8\pi \,cm\)(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 8cm
B. 12cm
C. 9cm
D. 10cm
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.
Khi đó mặt cắt là một hình tròn có bán kính là x nên diện tích hình tròn là \({S_t} = \pi {R^2} = \pi {x^2}\)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình paralol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c\)
Vì (P) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( {4;4} \right),\,\,B\left( {4; - 4} \right)\)
Nên phương trình \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow {x^2} = 4y \Rightarrow S = 4\pi y\)
\( \Rightarrow \) Thể tích cát ban đầu là \(V = \int\limits_0^h {{S_t}\,dy} \) vì mặt cắt vuông góc với Oy.
Suy ra \(V = \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} \) mà thể tích khối cát \({V_c} = 2,9.30 = 87\,c{m^3}\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} = 87 \Leftrightarrow 2\pi {y^2}\left| {\mathop {}\limits_0^h = 87 \Rightarrow 2\pi {h^2} = 87 \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} } \right.\)
Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là \(2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.\sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} \approx 9,92\,cm.\)
Câu 12:
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right):y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 4.\)
A. \(S = 32\)
B. \(S = 32\pi \)
C. \(S = 40\)
D. \(S = 40\pi \)
Câu 13:
Hình (H) được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường \(\left( {{C_1}} \right):y = \left| x \right| + \sqrt {16 - {x^2}} ,\) \(\left( {{C_2}} \right):y = \left| x \right| - \sqrt {25 - {x^2}} \) và hai đoạn thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x\) với \(x \in \left[ {4;5} \right],\left( {{d_2}} \right):y = - x\) với \(x \in \left[ { - 5; - 4} \right]\). Tính diện tích S của hình (H).
A. \(\frac{{41}}{4}\)
B. \(\frac{{41\pi }}{4}\)
C. \(\frac{{41\pi }}{2}\)
D. \(\frac{{41}}{2}\)
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = x - \sqrt {25 - {x^2}} ,y = x,x = 0,x = 5\) được tô màu trong hình bên suy ra \({S_1} = \int\limits_0^5 {\left( {x - \left( {x - \sqrt {25 - {x^2}} } \right)} \right)dx} = \frac{{25}}{4}\pi \).
Gọi S2 là điện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = x + \sqrt {16 - {x^2}} ,y = x,x = 0,x = 4\) được tô màu trong hình bên suy ra \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left( {\left( {x + \sqrt {16 - {x^2}} } \right) - x} \right)d{\rm{x}}} = 4\pi \).
Diện tích cần tính bằng \(S = 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = \frac{{41}}{2}\pi \).
Câu 14:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + 1,\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 3.\)
A. \(S = \frac{{64}}{3}.\)
B. \(S = \frac{{56}}{3}.\)
C. \(S = \frac{{37}}{3}.\)
D. \(S = 21.\)
Câu 15:
Khuân viên của một trường học có dạng là hình chữ nhật có kích thước 20m và 10m. Nhà trường thuê người tiến hành trồng cỏ và lát đá để tạo mĩ quan cho cổng trường. Cỏ được trồng theo hình elip nội tiếp hình chữ nhật, phần đất trống còn lại lát đá. Biết kinh phí trồng cỏ 500.000 đồng/1\({m^2}\)và lát đá 300.000 đồng/1\({m^2}.\)Hỏi tổng số tiền nhà trường bỏ ra để cải tạo khuân viên? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
A. 91.426.000(đồng).
B. 78.539.000 (đồng).
C. 78.540.000 (đồng).
D. 91.416.000 (đồng).
Vì hình elip có tính chất đối xứng, chọn hệ trục Oxy như hình bên ta có diện tích hình elip:
\({S_1} = 4\int\limits_0^{10} {5\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{100}}dx} } = 2\int\limits_0^{10} {\sqrt {100 - {x^2}} dx = 50\pi } \)
Diện tích phần lát đá: \({S_2} = 200 - 50\pi \)
Vậy tổng tiền: \(\left( {200 - 50\pi } \right).300000 + 50\pi .500000 \approx 91.416.000\) (đồng).
Câu 16:
Người ta dự định trồng hoa trang trí trên một mảnh đất hình tròn bằng hai loại hoa hồng và hoa lan. Phần hoa hồng trồng trong hình elip cùng tâm với hình tròn, phần còn lại trồng hoa lan (như hình vẽ). Biết rằng phần đất elip có độ dài trục lớn bằng 8m và trục bé bằng 6m. Tính diện tích trồng hoa lan.
A. \(16\pi \,\,({m^2})\)
B. \(4\pi ({m^2})\)
C. \(6\pi \,\,({m^2})\)
D. \(10\pi \,\,({m^2})\)
Cho đồ thị hàm số y=f(x). Tìm công thức tính diện tích hình phẳng là phần tô đậm trong hình bên dưới.
A. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\)
B. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx}\)
C. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\)
D. \(S = \left| {\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx} } \right|\)
Gọi S là diện tích cần tìm ta có: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f(x)} \right|dx = } \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {f(x)dx} } \right| = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx} - \int\limits_0^2 {f(x)dx.}\)
Cho hình thang cong (H) giới hạn bới các đường y = {e^x},y = 0,x = 0 và x=ln4. Đường thẳng x = k\,(0 < k < \ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S_1,S_2 và như hình vẽ bên. Tìm x=k để S_1=2S_2.
A. \(k = \frac{2}{3}\ln 4\)
B. \(k =ln2\)
C. \(k = ln\frac{8}{3}\)
D. \(k = ln3\)
Ta có:
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \left( {x - 1} \right){e^x},y = {x^2} - 1.\)
A. \(S = e + \frac{8}{3}\)
B. \(S = e + \frac{2}{3}\)
C. \(S = e - \frac{2}{3}\)
D. \(S = e - \frac{8}{3}\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\left( {x - 1} \right){e^x} = {x^2} - 1 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{e^x} - x - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x} - {x^2} + 1} \right|d{\rm{x}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1 - (x - 1){e^x}} \right)dx} = e - \frac{8}{3} \end{array}\)
\(\left( {x - 1} \right){e^x} = {x^2} - 1 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{e^x} - x - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x} - {x^2} + 1} \right|d{\rm{x}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 1 - (x - 1){e^x}} \right)dx} = e - \frac{8}{3} \end{array}\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và các trục tọa độ.
A. \(S = 3\ln 6\)
B. \(S = 3\ln \frac{3}{2}\)
C. \(S = 3\ln \frac{3}{2} - 2\)
D. \(S = 3\ln \frac{3}{2} - 1\)
Phương trình hoành độ giao điểm là : \(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow x = - 1\).
Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx} = 3\ln \frac{3}{2} - 1\).
Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx} = 3\ln \frac{3}{2} - 1\).
Gọi N(t) (ml/phút) là tốc độ rò rỉ dầu từ cái thùng tại thời điểm t. Biết \(N'\left( t \right) = t{\left( {t - 1} \right)^2}\). Tính lượng dầu rò rỉ ra trong một tiếng đầu tiên.
A. 3097800 ml
B. \(\frac{1}{12}\)ml
C. 30789800 ml
D. 12 ml
\(N'\left( t \right) = t\left( {{t^2} - 2t + 1} \right) = {t^3} - 2{t^2} + t\).
Vì lượng dầu tính theo phút, nên công thức tính lượng dầu sẽ được tính như sau:
\(\int\limits_0^{60} {N'\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{60} {\left( {{t^3} - 2{t^2} + t} \right)} dt\)
\(= \frac{1}{4}{t^4} - \frac{2}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {60}\\ 0 \end{array}} \right.\)
\(= 3097800\left( {ml} \right)\)
Vì lượng dầu tính theo phút, nên công thức tính lượng dầu sẽ được tính như sau:
\(\int\limits_0^{60} {N'\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{60} {\left( {{t^3} - 2{t^2} + t} \right)} dt\)
\(= \frac{1}{4}{t^4} - \frac{2}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {60}\\ 0 \end{array}} \right.\)
\(= 3097800\left( {ml} \right)\)
Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elíp có độ dài trục lớn bằng 16m, độ dài trục bé bằng 10m. Giữa khuôn viên là một đài phun nước hình tròn có đướng kính 8m, phần còn lại của khuôn viên người ta thả cá. Số cá thả vào khuôn viên đó gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng mật độ thả cá là 5 con trên \(1{m^2}\)mặt nước.
A. 376
B. 378
C. 377
D. 375
Diện tích thả cá chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\) bớt đi diện tích hình tròn bán kính bằng 4. Do tính đối xứng của elip nên ta có diện tích elip bằng:
\({S_1} = 4\int\limits_0^8 {\frac{5}{8}\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} = \frac{5}{2}\int\limits_0^8 {\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} .\)
Đặt \(x = 8\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow d{\rm{x}} = 8\cos tdt;\,\,khi\,\,x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 8 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}.\)
\({S_1} = \frac{5}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {64{{\cos }^2}t} dt = 80\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)} dt = 80\left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 40\pi .\)
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4 là \({S_2} = 16\pi \) nên diện tích thả cá là \(S = {S_1} - {S_2} = 24\pi .\)
Số cá thả vào khuôn viên là \(5S = 5.24\pi \approx 377.\)
\({S_1} = 4\int\limits_0^8 {\frac{5}{8}\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} = \frac{5}{2}\int\limits_0^8 {\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} .\)
Đặt \(x = 8\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow d{\rm{x}} = 8\cos tdt;\,\,khi\,\,x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 8 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}.\)
\({S_1} = \frac{5}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {64{{\cos }^2}t} dt = 80\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)} dt = 80\left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 40\pi .\)
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4 là \({S_2} = 16\pi \) nên diện tích thả cá là \(S = {S_1} - {S_2} = 24\pi .\)
Số cá thả vào khuôn viên là \(5S = 5.24\pi \approx 377.\)
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = a\) và \(x = b\) quay xung quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
C. \(V = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
D. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = a\) và \(x = b\) quay xung quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
Ông An xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ.
Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có đỉnh I.
Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/m2 và phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/m2.
Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?
A. 165 triệu đồng.
B. 195 triệu đồng.
C. 135 triệu đồng.
D. 151 triệu đồng.
Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0).\)
Theo đề bài, ta có Parabol đi qua các điểm \(( - 15;0);\,\,(15;0);\,\,(0;10).\)
Vậy ta tìm được phương trình Parabol \(\left( P \right):y = - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10.\)
Gọi \({S_1}\) là diện tích phần tô vàng suy ra \({S_1} = 2\int\limits_{ - 15}^{15} {\left( { - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10} \right)dx} = 400\left( {{m^2}} \right).\)
Gọi \({S_2}\) là diện tích phần không tô màu suy ra \({S_2} = 50.30 - {S_1} = 1100\left( {{m^2}} \right).\)
Suy ra số tiền cần tìm là \(0,13.400 + 0,09.1100 = 151\) (triệu đồng).
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x\ln x,\,\,y = 0,\,\,x = e\) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{\pi }{a}\left( {b\,{e^3} - 2} \right)\). Tìm a và b.
A. \(a = 27;\,\,b = 5\)
B. \(a = 26;\,\,b = 6\)
C. \(a = 24;\,\,b = 5\)
D. \(a = 27;\,\,b = 6\)
Xét phương trình: \(x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
Thể tích của khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int\limits_1^e {\left( {x\ln x} \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3}{\ln ^3}x\left| {\mathop {}\limits_1^e - \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x\,dx} = \frac{1}{3}{e^3} - \left( {\frac{2}{3}{e^3} + \frac{1}{9}} \right) = \left( {5{e^3} - 2} \right)\frac{\pi }{{27}}} \right.\)
Do đó \(a = 27,\,\,b = 5.\)
Thể tích của khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int\limits_1^e {\left( {x\ln x} \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3}{\ln ^3}x\left| {\mathop {}\limits_1^e - \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x\,dx} = \frac{1}{3}{e^3} - \left( {\frac{2}{3}{e^3} + \frac{1}{9}} \right) = \left( {5{e^3} - 2} \right)\frac{\pi }{{27}}} \right.\)
Do đó \(a = 27,\,\,b = 5.\)
Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} + 3x + 1,\,\,y = {x^2} - x - 2\). Tính \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right)?\)
A. 0
B. \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có: \(2{x^2} + 3x + 1 = {x^2} - x - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy: \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - {x^2} - 4x - 3} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} - 2{x^2} - 3x} \right)\left| {\mathop {}\limits_{ - 3}^{ - 1} = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}} \right..\)
Suy ra \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy: \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - {x^2} - 4x - 3} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} - 2{x^2} - 3x} \right)\left| {\mathop {}\limits_{ - 3}^{ - 1} = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}} \right..\)
Suy ra \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi \(2,90\,c{m^3}/\)phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi \(8\pi \,cm\)(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
A. 8cm
B. 12cm
C. 9cm
D. 10cm
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.
Khi đó mặt cắt là một hình tròn có bán kính là x nên diện tích hình tròn là \({S_t} = \pi {R^2} = \pi {x^2}\)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình paralol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c\)
Vì (P) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right),\,\,A\left( {4;4} \right),\,\,B\left( {4; - 4} \right)\)
Nên phương trình \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{4} \Rightarrow {x^2} = 4y \Rightarrow S = 4\pi y\)
\( \Rightarrow \) Thể tích cát ban đầu là \(V = \int\limits_0^h {{S_t}\,dy} \) vì mặt cắt vuông góc với Oy.
Suy ra \(V = \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} \) mà thể tích khối cát \({V_c} = 2,9.30 = 87\,c{m^3}\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^h {\left( {4\pi y} \right)dy} = 87 \Leftrightarrow 2\pi {y^2}\left| {\mathop {}\limits_0^h = 87 \Rightarrow 2\pi {h^2} = 87 \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} } \right.\)
Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là \(2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.h = 2.\frac{4}{3}.\sqrt {\frac{{87}}{{2\pi }}} \approx 9,92\,cm.\)
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right):y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 4.\)
A. \(S = 32\)
B. \(S = 32\pi \)
C. \(S = 40\)
D. \(S = 40\pi \)
PT hoành độ giao điểm là: \({x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\)
Suy ra diện tích cần tính bằng \(S = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^3} + 3x} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} = 40\).
Suy ra diện tích cần tính bằng \(S = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^3} + 3x} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} = 40\).
Hình (H) được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường \(\left( {{C_1}} \right):y = \left| x \right| + \sqrt {16 - {x^2}} ,\) \(\left( {{C_2}} \right):y = \left| x \right| - \sqrt {25 - {x^2}} \) và hai đoạn thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x\) với \(x \in \left[ {4;5} \right],\left( {{d_2}} \right):y = - x\) với \(x \in \left[ { - 5; - 4} \right]\). Tính diện tích S của hình (H).
A. \(\frac{{41}}{4}\)
B. \(\frac{{41\pi }}{4}\)
C. \(\frac{{41\pi }}{2}\)
D. \(\frac{{41}}{2}\)
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = x - \sqrt {25 - {x^2}} ,y = x,x = 0,x = 5\) được tô màu trong hình bên suy ra \({S_1} = \int\limits_0^5 {\left( {x - \left( {x - \sqrt {25 - {x^2}} } \right)} \right)dx} = \frac{{25}}{4}\pi \).
Gọi S2 là điện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = x + \sqrt {16 - {x^2}} ,y = x,x = 0,x = 4\) được tô màu trong hình bên suy ra \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left( {\left( {x + \sqrt {16 - {x^2}} } \right) - x} \right)d{\rm{x}}} = 4\pi \).
Diện tích cần tính bằng \(S = 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = \frac{{41}}{2}\pi \).
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + 1,\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 3.\)
A. \(S = \frac{{64}}{3}.\)
B. \(S = \frac{{56}}{3}.\)
C. \(S = \frac{{37}}{3}.\)
D. \(S = 21.\)
Diện tích cần tính bằng \(S = \int\limits_{ - 1}^3 {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)dx} = \frac{{64}}{3}.\)
Khuân viên của một trường học có dạng là hình chữ nhật có kích thước 20m và 10m. Nhà trường thuê người tiến hành trồng cỏ và lát đá để tạo mĩ quan cho cổng trường. Cỏ được trồng theo hình elip nội tiếp hình chữ nhật, phần đất trống còn lại lát đá. Biết kinh phí trồng cỏ 500.000 đồng/1\({m^2}\)và lát đá 300.000 đồng/1\({m^2}.\)Hỏi tổng số tiền nhà trường bỏ ra để cải tạo khuân viên? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
A. 91.426.000(đồng).
B. 78.539.000 (đồng).
C. 78.540.000 (đồng).
D. 91.416.000 (đồng).
Vì hình elip có tính chất đối xứng, chọn hệ trục Oxy như hình bên ta có diện tích hình elip:
\({S_1} = 4\int\limits_0^{10} {5\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{100}}dx} } = 2\int\limits_0^{10} {\sqrt {100 - {x^2}} dx = 50\pi } \)
Diện tích phần lát đá: \({S_2} = 200 - 50\pi \)
Vậy tổng tiền: \(\left( {200 - 50\pi } \right).300000 + 50\pi .500000 \approx 91.416.000\) (đồng).
Người ta dự định trồng hoa trang trí trên một mảnh đất hình tròn bằng hai loại hoa hồng và hoa lan. Phần hoa hồng trồng trong hình elip cùng tâm với hình tròn, phần còn lại trồng hoa lan (như hình vẽ). Biết rằng phần đất elip có độ dài trục lớn bằng 8m và trục bé bằng 6m. Tính diện tích trồng hoa lan.
A. \(16\pi \,\,({m^2})\)
B. \(4\pi ({m^2})\)
C. \(6\pi \,\,({m^2})\)
D. \(10\pi \,\,({m^2})\)
Xét hệ trục toạ độ Oxy sao cho elip có phương trình chính tắc là:
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow y = \pm 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} .\)
Diện tích trồng hoa là: \(S = 2\int\limits_{ - 4}^4 3 \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} dx.\)
Đặt x = 4 sin t
Đổi cận x = -4 sao cho \(t = - \frac{\pi }{2};x = 4\) sao cho \(t = \frac{\pi }{2}\)
Khi đó: \(dx = 4\cos t\,dt;\,\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} = c{\rm{ost}}{\rm{.}}\)
\(S = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {24\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}} t\,dt = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {12(1 + c{\rm{os}}2t} )dt = \left. {12\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 12\pi \,\,({m^2}).\)
Diện tích mảnh đất hình tròn là: \(\pi {.4^2} = 16\pi \,\,({m^2}).\)
Vậy diện tích đất trồng lan là: \(16\pi \, - \,12\pi = 4\pi \,({m^2})\)
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow y = \pm 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} .\)
Diện tích trồng hoa là: \(S = 2\int\limits_{ - 4}^4 3 \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} dx.\)
Đặt x = 4 sin t
Đổi cận x = -4 sao cho \(t = - \frac{\pi }{2};x = 4\) sao cho \(t = \frac{\pi }{2}\)
Khi đó: \(dx = 4\cos t\,dt;\,\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} = c{\rm{ost}}{\rm{.}}\)
\(S = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {24\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}} t\,dt = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {12(1 + c{\rm{os}}2t} )dt = \left. {12\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 12\pi \,\,({m^2}).\)
Diện tích mảnh đất hình tròn là: \(\pi {.4^2} = 16\pi \,\,({m^2}).\)
Vậy diện tích đất trồng lan là: \(16\pi \, - \,12\pi = 4\pi \,({m^2})\)