Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Biết \(F\left( x \right) = \left( {{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}.{e^x}.\) Tính a, b và c.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = - 2\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = - 2\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\\c = 1\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 2\end{array} \right..\)
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{x^2}.{e^x}d{\rm{x}}} .\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {x^2}\\d{u_1} = {e^x}d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2{\rm{xdx}}\\{u_1} = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}d{\rm{x}}} .\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = x\\d{u_2} = {e^x}d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_2}{\rm{ = dx}}\\{u_2} = {e^x}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2{\rm{x}}{e^x} + 2\int {{e^x}d{\rm{x}}} = {x^2}{e^x} - 2{\rm{x}}{e^x} + 2{e^x} = \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right){e^x}\)
Suy ra: \( \Rightarrow a = 1,\,\,b = - 2,\,\,c = 2.\)
Câu 2:
Biết \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx = - a + b.{e^{ - 1}}} \) với \(a,b \in Z\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(a + b = 3\)
B. \(a + b = 1\)
C. \(a + b = - 3\)
D. \(a + b = - 1\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx = \left. { - \frac{{\ln x}}{x}} \right|} _1^e + \int\limits_1^e {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = \left. { - \frac{{\ln x}}{x}} \right|_1^e\left. { - \frac{1}{x}} \right|_1^e = 1 - 2{e^{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\end{array} \right.\)
Vậy: \(a + b = - 3.\)
Câu 3:
Giả sử tích phân \(\int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = a + \frac{b}{c}\ln 3\). Với phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính tổng a+b.
A. \(b + c = 6057.\)
B. \(b + c = 6059.\)
C. \(b + c = 6058.\)
D. \(b + c = 6056.\)
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = 2017\int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{2}{{2x + 1}}{\rm{d}}x\\v = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}\end{array} \right.\)
Do đó \(\int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\ln \left( {2x + 1} \right)} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}} \right)\frac{2}{{2x + 1}}} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \left. {\frac{3}{8}\ln 3 - \left( {\frac{{{x^2} - x}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{8}\ln 3\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = 2017\left( {\frac{3}{8}\ln 3} \right) = \frac{{6051}}{8}\ln 3.\)
Khi đó \(b + c = 6059.\)
Câu 4:
Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {x.{{\sin }^2}xdx} = \frac{\pi }{a} + \frac{{\pi \sqrt 3 }}{b} + \frac{3}{c}\), với a, b là các số nguyên. Tính S = a + 2b + c.
A. S = 7.
B. \(S = - 5.\)
C. \(S = 4.\)
D. \(S = 8.\)
Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {x.{{\sin }^2}xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {x\left( {\frac{{1 - cos2x}}{2}} \right)xdx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {xdx} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {x.cos2xdx = \left. {\frac{1}{4}{x^2}} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - } \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {x.cos2xdx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = c{\rm{os2xdx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\frac{1}{4}{x^2}} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \left. {\frac{1}{4}\left( {x.\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\sin 2xdx} \)
\( = \left. {\frac{1}{4}{x^2}} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \left. {\frac{1}{4}\left( {x.\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \left. {\frac{1}{8}cos2x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{36}} - \frac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}} + \frac{3}{{16}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 36\\b = - 24\\c = 16\end{array} \right. \Rightarrow S = 4\).
Câu 5:
Biết kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right)} {e^x}d{\rm{x}}\) được viết dưới dạng \(I = a.e + b\) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(a + 2b = 1\)
B. \(a - b = 2\)
C. \({a^3} + {b^3} = 28\)
D. \(ab = 3\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 2x + 3}\\{dv = {e^x}d{\rm{x}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \left[ {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right]} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^1 {{e^x}d{\rm{x}}} = \left[ {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} - 2{e^x}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = 3e - 1\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a + 2b = 1.\)
Câu 6:
Một nguyên hàm \(\int {\left( {x - 2} \right)\sin 3{\rm{x}}{\rm{.dx}} = - } \frac{{\left( {x - a} \right)\cos 3x}}{b} + \frac{1}{c}\sin 3x + 2017,\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(S = ab + c.\)
A. \(S = 15.\)
B. \(S = 10.\)
C. \(S = 14.\)
D. \(S = 3.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2\\dv = \sin 3{\rm{xdx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = d{\rm{x}}\\v = - \frac{1}{3}\cos 3x\end{array} \right. \Rightarrow \int {\left( {x - 2} \right)\sin 3{\rm{x}}.d{\rm{x}} = } - \frac{{x - 2}}{3}\cos 3x + \frac{1}{3}\int {\cos 3xdx} \)
\( = - \frac{{x - 2}}{3}.\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x + 2017 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 9\end{array} \right. \Rightarrow S = ab + c = 15.\)
Câu 7:
Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {x{{\ln }^2}x{\rm{dx}}.} \) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(I = \left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\)
B. \(I = \frac{1}{2}\left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\)
C. \(I = \frac{1}{2}\left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e + 2\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\)
D. \(I = \left. {{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\ln ^2}x\\dv = x{\rm{dx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\ln {\rm{x}}.\frac{1}{x}\\v = \frac{1}{2}{x^2}\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\frac{1}{2}{x^2}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} .\)
Câu 8:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{ - x}^x t \sin tdt\). Tính \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \( - \pi \)
B. 0
C. \(2\pi \)
D. \(\pi \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = \sin tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = - \cos t\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \left. {\left( { - t\cos t} \right)} \right|_{ - x}^x + \int\limits_{ - x}^x {\cos tdt} = \left. {\left( { - t\cos t} \right)} \right|_{ - x}^x + \left. {\sin t} \right|_{ - x}^x\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = - 2x\cos x + 2\sin x \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x\sin x \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi .\)
Câu 9:
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^3}}}dx} .\)
A. \(I = \frac{{3 + 2\ln 2}}{{16}}.\)
B. \(I = \frac{{2 - \ln 2}}{{16}}.\)
C. \(I = \frac{{2 + \ln 2}}{{16}}.\)
D. \(I = \frac{{3 - 2\ln 2}}{{16}}.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{{dx}}{{{x^3}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = - \frac{1}{{2{x^2}}}\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow I = \left. { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^2 + \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^3}}}} = \left. { - \frac{{\ln x}}{{2{x^2}}}} \right|_1^2\left. { - \frac{1}{{4{x^2}}}} \right|_1^2 = - \frac{{\ln 2}}{8} + \frac{3}{{16}} = \frac{{3 - \ln 2}}{{16}}.\)
Câu 10:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \ln x?\)
A. \(F\left( x \right) = \ln x - x\)
B. \(F\left( x \right) = x\ln x + 1\)
C. \(F\left( x \right) = x\left( {\ln x - 1} \right)\)
D. \(F\left( x \right) = \ln x - x + C\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = x\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\ln xdx} = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C = x\left( {\ln x - 1} \right) + C\)
Câu 11:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \sin x,g'\left( x \right) = 2x\), \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = g\left( 0 \right) = 0\). Tính \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} \).
A. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C\)
B. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = {x^2}\cos x - 2x\sin x + 2\cos x + C\)
C. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x - 2\cos x + C\)
D. \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = {x^2}\cos x - 2x\sin x - 2\cos x + C\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {\left( {\sin x} \right)dx} = - \cos x + C,f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = - \cos x\\g\left( x \right) = \int {2xdx} = {x^2} + C,g\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow g\left( x \right) = {x^2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(\int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = \int {{x^2}\sin xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = - \cos x\end{array} \right. \Rightarrow \int {{x^2}\sin xdx} = - {x^2}\cos x + 2\int {x\cos xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = x\\d{v_1} = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = dx\\{v_1} = \sin x\end{array} \right. \Rightarrow \int {{x^2}\sin xdx} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x - 2\int {\sin xdx} \)
\( \Rightarrow \int {g\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = - {x^2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.\)
Câu 12:
Cho hàm số y=f(x) thoả mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\,f(x)dx = f(0) = 1.} \) Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{cosx}}\,f'(x)dx.} \)
A. I=1
B. I=-1
C. I=0
D. I=2
Đặt \(u = c{\rm{osx;}}\,\,{\rm{v = f(x)}}{\rm{.}}\)
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{cos}}} x.f'(x)dx = \left. {c{\rm{os}}x.f(x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {( - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx)}}{\rm{.f(x)dx}}} \)
\( = - f(0) + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.f(x)dx = - 1 + 1 = 0} \)
Câu 13:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sin x.\)
A. \( - x\cos x + \sin x + C\)
B. \(x\cos x + \sin x + C\)
C. \( - x\cos x - \sin x + C\)
D. \(x\cos x - \sin x + C\) \(\)
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {x\sin xdx} \)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \sin xdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \cos x}\end{array} \Rightarrow \int {x\sin xdx = - x\cos x} + \int {\cos xdx = - x\cos x + \sin x + C} } \right.\)
Câu 14:
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.\cos 2xdx} = a + b\pi ,\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\)
A. \(S = 0\)
B. \(S = 1\)
C. \(S = \frac{1}{2}\)
D. \(S = \frac{3}{8}\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \cos 2xdx}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = \frac{1}{2}\sin 2x}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.\cos 2xdx = \frac{1}{2}x\sin x2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} } \)
\( = \frac{1}{2}x\sin 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. + \frac{1}{4}\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array} = - \frac{1}{4}} \right. + \frac{1}{8}\pi \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{1}{4}}\\{b = \frac{1}{8}}\end{array} \Rightarrow S = a + 2b = 0} \right.\)
Câu 15:
Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường y = x{e^x};y = 0;x = 0 và x = 1. Đường thẳng x = k với 0 < k < 1 chia (H) thành 2 phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Để \({S_1} = {S_2}\) thì k thoả mãn hệ thức nào trong các hệ thức sau?
Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường.png

A. \({e^k} = \frac{1}{{1 - k}}\)
B. \({e^k} = \frac{2}{{1 - k}}\)
C. \({e^k} = \frac{2}{{2 - k}}\)
D. \({e^k} = \frac{1}{{2 - 2k}}\)
Ta có: \(S = {S_1} + {S_2} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx}\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right. \Rightarrow S = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = 1\)
Mặt khác: \({S_1} = \int\limits_0^k {x{e^x}dx} = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^k = \left( {k - 1} \right){e^k} + 1 = \frac{S}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {e^k} = \frac{1}{{2\left( {1 - k} \right)}}\)