Câu 1:
Cho \(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = - \frac{1}{a}\left( {b\sqrt 2 - c} \right)\) trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Tính \(S = a + b + c.\)
A. \(S = 13.\)
B. \(S = 12.\)
C. \(S = 21.\)
D. \(S = 6.\)
Câu 2:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9}.\)
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\)
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{10}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9} + C.\)
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{10}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\)
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9} + C.\)
Câu 3:
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln {\rm{x}}}}\) và \(F\left( e \right) = 3.\) Tính \(F\left( {\frac{1}{e}} \right).\)
A. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{1}{3}.\)
B. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 3.\)
C. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln 3.\)
D. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 1 - \ln 3.\)
Câu 4:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2}} }}}\) (với \(\alpha>1\)).
A. I=2.
B. \(I = \frac{\alpha }{2}.\)
C. \(I = 2\alpha.\)
D. \(I = \frac{2 }{\alpha}.\)
Câu 5:
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x{\left( {{x^2} + 1} \right)^4},\) biết F(1)=6.
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} + \frac{2}{5}\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^4}}}{4} - \frac{2}{5}\)
Câu 6:
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {l{n^2}x + 1} .\frac{{lnx}}{x}\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}.\) Tính
A. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{3}.\)
B. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{9}.\)
C. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{1}{3}.\)
D. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{1}{9}.\)
Câu 7:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_1^e {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = e.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 1\)
B. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = e\)
C. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)dx} = 1\)
D. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)} dx = e\)
Câu 8:
Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = - 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\)
A. \(a = - 2;b = - 8\)
B. \(a = 2;b =8\)
C. \(a =8;b =2\)
D. \(a =-8;b =-2\)
Câu 9
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(F(2)=3\). Tính F(1).
A. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln \frac{7}{3}\)
B. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln \frac{7}{3}\)
C. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln 2\)
D. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln 2\)
Câu 10:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\).
A. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\sin x} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C\)
Câu 11
Biết rằng I = \int\limits_1^{\sqrt e } {\frac{{dx}}{{x\left( {{{\ln }^2}x - 3\ln x + 2} \right)}}} = a.\ln 3 + b.\ln 2 + c . Tính tổng \(S = a + b + c.\)
A. S = 3
B. S = 2
C. S = 0
D. S = 4
Câu 12:
Cho I = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = 10. Tính \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx}.\)
A. J = 10
B. J = -10
C. J = -9
D. J = 9
Câu 13:
Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính và nghiêng với đáy một góc \(45^0\) để lấy một hình nêm như hình vẽ.
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tìm V.
A. \(V = 2250\,(c{m^3})\)
B. \(V = \frac{{225\pi }}{4}(c{m^3})\)
C. \(V = 1250\,(c{m^3})\)
D. \(V = 1350\,(c{m^3})\)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình niêm có đáy là nửa đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 225\) hay \(y = \sqrt {225 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 15;15} \right].\)
Một mặt phẳng cắt và vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, \(x \in \left[ { - 15;15} \right]\) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S(x) như hình vẽ trên.
Đặt \(NP = y\) ta có: \(MN = NP.\tan {45^0} = y = \sqrt {15 - {x^2}}\) khi đó \(S(x) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{1}{2}.(225 - {x^2})\)
Suy ra thể tích hình niêm là: \(V = \int\limits_{ - 15}^{15} {S(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 15}^{15} {(225 - {x^2})dx} = 2250\,(c{m^3}).\)
Câu 14:
Đổi biến \(x = 2\sin t\) tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {tdt}\)
B. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {tdt}\)
C. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{1}{t}dt}\)
D. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {dt}\)
Câu 15:
Tính tổng a+b biết \(\int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^3} + 3x + 2}}dx} = 2\ln a + 3\ln b.\)
A. a+b=5
B. a+b=3
C. a+b=7
D. a+b=9
Cho \(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = - \frac{1}{a}\left( {b\sqrt 2 - c} \right)\) trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Tính \(S = a + b + c.\)
A. \(S = 13.\)
B. \(S = 12.\)
C. \(S = 21.\)
D. \(S = 6.\)
\(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{{x^3}}}d{\rm{x}}} \)
Đặt: \(t = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \Rightarrow {t^2} = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow 2tdt = - \frac{2}{{{x^3}}}\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy: \(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = - \int\limits_2^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} = - \frac{1}{3}\left( {2\sqrt 2 - 8} \right) \Rightarrow S = a + b + c = 13.\)
Đặt: \(t = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \Rightarrow {t^2} = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow 2tdt = - \frac{2}{{{x^3}}}\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy: \(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = - \int\limits_2^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} = - \frac{1}{3}\left( {2\sqrt 2 - 8} \right) \Rightarrow S = a + b + c = 13.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9}.\)
A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\)
B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{10}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9} + C.\)
C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{10}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\)
D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9} + C.\)
Ta có: \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^9}d{\rm{x}}} \)
Đặt: \(t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx\)
Ta có: \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^9}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int {{t^9}dt} = \frac{1}{{20}}{t^{10}} + C = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\)
Đặt: \(t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx\)
Ta có: \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^9}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int {{t^9}dt} = \frac{1}{{20}}{t^{10}} + C = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\)
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln {\rm{x}}}}\) và \(F\left( e \right) = 3.\) Tính \(F\left( {\frac{1}{e}} \right).\)
A. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{1}{3}.\)
B. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 3.\)
C. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln 3.\)
D. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 1 - \ln 3.\)
Xét nguyên hàm: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{x\ln x}}dx} \)
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\)
Khi đó: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\ln x} \right| + C\)
Ta có: \(F\left( e \right) = 3 = \ln \left| {\ln e} \right| + C \Rightarrow C = 2\)
Vậy: \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln \left| {\ln \left( {\frac{1}{e}} \right)} \right| + 2 = 3.\)
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\)
Khi đó: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\ln x} \right| + C\)
Ta có: \(F\left( e \right) = 3 = \ln \left| {\ln e} \right| + C \Rightarrow C = 2\)
Vậy: \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln \left| {\ln \left( {\frac{1}{e}} \right)} \right| + 2 = 3.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2}} }}}\) (với \(\alpha>1\)).
A. I=2.
B. \(I = \frac{\alpha }{2}.\)
C. \(I = 2\alpha.\)
D. \(I = \frac{2 }{\alpha}.\)
Đặt \(t = \sqrt {1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2} \Rightarrow \frac{t}{\alpha }dt = \sin x{\rm{d}}x\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = \sqrt {1 - 2\alpha + {\alpha ^2}} = \left| {1 - \alpha } \right| = \alpha - 1\,(\alpha > 1)\\ x = 0 \Rightarrow t = \sqrt {1 + 2\alpha + {\alpha ^2}} = \left| {1 + \alpha } \right| = \alpha + 1\,(\alpha > 1) \end{array} \right.\)
Vậy: \(I = \frac{1}{\alpha }\int\limits_{\alpha - 1}^{\alpha + 1} {\frac{{tdt}}{t}} = \frac{1}{\alpha }.\left. t \right|_{\alpha - 1}^{\alpha + 1} = \frac{2}{\alpha }.\)
Vậy: \(I = \frac{1}{\alpha }\int\limits_{\alpha - 1}^{\alpha + 1} {\frac{{tdt}}{t}} = \frac{1}{\alpha }.\left. t \right|_{\alpha - 1}^{\alpha + 1} = \frac{2}{\alpha }.\)
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x{\left( {{x^2} + 1} \right)^4},\) biết F(1)=6.
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} + \frac{2}{5}\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^4}}}{4} - \frac{2}{5}\)
Xét nguyên hàm: \(\int {2x{{({x^2} + 1)}^4}dx}\)
Đặt: \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx\)
Khi đó: \(\int {2x{{({x^2} + 1)}^4}dx} = \int {{u^4}du} = \frac{1}{5}{u^5} + C = \frac{1}{5}{({x^2} + 1)^5} + C\)
Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} + C = 6 \Rightarrow C = - \frac{2}{5}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\).
Đặt: \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx\)
Khi đó: \(\int {2x{{({x^2} + 1)}^4}dx} = \int {{u^4}du} = \frac{1}{5}{u^5} + C = \frac{1}{5}{({x^2} + 1)^5} + C\)
Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} + C = 6 \Rightarrow C = - \frac{2}{5}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \frac{{{{({x^2} + 1)}^5}}}{5} - \frac{2}{5}\).
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {l{n^2}x + 1} .\frac{{lnx}}{x}\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}.\) Tính
A. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{3}.\)
B. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{9}.\)
C. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{1}{3}.\)
D. \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{1}{9}.\)
Xét \(\int {f\left( x \right)} .{\rm{d}}x = \int {\sqrt {l{n^2}x + 1} .\frac{{lnx}}{x}} .{\rm{d}}x\).
Đặt \(\sqrt {l{n^2}x + 1} = t\)
\(\Rightarrow l{n^2}x = {t^2} - 1 \Rightarrow \frac{{lnx}}{x}.{\rm{d}}x = t.{\rm{d}}t\)
Vì vậy: \(F\left( x \right) = \int {{t^2}d} = \frac{1}{3}{t^3} + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {l{n^2}x + 1} \right)}^3}} }}{3} + C.\)
Do \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 0\). Vậy \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{9}.\)
Đặt \(\sqrt {l{n^2}x + 1} = t\)
\(\Rightarrow l{n^2}x = {t^2} - 1 \Rightarrow \frac{{lnx}}{x}.{\rm{d}}x = t.{\rm{d}}t\)
Vì vậy: \(F\left( x \right) = \int {{t^2}d} = \frac{1}{3}{t^3} + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {l{n^2}x + 1} \right)}^3}} }}{3} + C.\)
Do \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 0\). Vậy \({\left[ {F\left( e \right)} \right]^2} = \frac{8}{9}.\)
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_1^e {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = e.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 1\)
B. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = e\)
C. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)dx} = 1\)
D. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)} dx = e\)
Đặt \(t= \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = e \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\)
Vậy: \(\int\limits_1^e {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = \int\limits_0^1 {f(t)dt} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} = e\) (Do tích phân không phụ thuộc vào biến).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = e \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\)
Vậy: \(\int\limits_1^e {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = \int\limits_0^1 {f(t)dt} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} = e\) (Do tích phân không phụ thuộc vào biến).
Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = - 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\)
A. \(a = - 2;b = - 8\)
B. \(a = 2;b =8\)
C. \(a =8;b =2\)
D. \(a =-8;b =-2\)
Ta có: \(f'(x) = - \frac{{3a}}{{{{(x + 1)}^2}}} + b{e^x}(x + 1);f'(0) = - 22 \Leftrightarrow - 3a + 2b = - 22\,(1)\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {f(x)dx = 5} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 3}} + bx{e^x}} \right)dx} = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{a}{{ - 2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + b\left( {\left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} } \right) = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{{ - a}}{{2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + \left. {bx{e^x}} \right|_0^1 - \left. {b{e^x}} \right|_0^1 \Leftrightarrow \frac{3}{8}a + b = 5\,\,(2) \end{array}\)
Từ (1) (2) suy ra a=8; b=2.
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {f(x)dx = 5} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 3}} + bx{e^x}} \right)dx} = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{a}{{ - 2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + b\left( {\left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} } \right) = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{{ - a}}{{2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + \left. {bx{e^x}} \right|_0^1 - \left. {b{e^x}} \right|_0^1 \Leftrightarrow \frac{3}{8}a + b = 5\,\,(2) \end{array}\)
Từ (1) (2) suy ra a=8; b=2.
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(F(2)=3\). Tính F(1).
A. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln \frac{7}{3}\)
B. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln \frac{7}{3}\)
C. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln 2\)
D. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln 2\)
Ta có: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx}\)
Đặt: \(u = {x^2} + x + 1 \Rightarrow du = \left( {2x + 1} \right)dx\)
Vậy: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C = \ln \left| {{x^2} + x + 1} \right| + C = \ln ({x^2} + x + 1) + C\)
Ta có: \(F(2) = 3 \Rightarrow \ln 7 + C = 3 \Rightarrow C = 3 - \ln 7\)
Do đó: \(F\left( 1 \right) = \ln 3 + 3 - \ln 7 = 3 - \ln \frac{7}{3}.\)
Đặt: \(u = {x^2} + x + 1 \Rightarrow du = \left( {2x + 1} \right)dx\)
Vậy: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C = \ln \left| {{x^2} + x + 1} \right| + C = \ln ({x^2} + x + 1) + C\)
Ta có: \(F(2) = 3 \Rightarrow \ln 7 + C = 3 \Rightarrow C = 3 - \ln 7\)
Do đó: \(F\left( 1 \right) = \ln 3 + 3 - \ln 7 = 3 - \ln \frac{7}{3}.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\).
A. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\sin x} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C\)
Ta có \(\int {f(x)dx} = \int {\tan xdx} = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x}}}\)
Đặt \(u = \cos \Rightarrow du = - \sin xdx\)
Vậy \(\int {f(x)dx} = - \int {\frac{1}{u}du = - \ln \left| u \right|} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
Đặt \(u = \cos \Rightarrow du = - \sin xdx\)
Vậy \(\int {f(x)dx} = - \int {\frac{1}{u}du = - \ln \left| u \right|} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
Biết rằng I = \int\limits_1^{\sqrt e } {\frac{{dx}}{{x\left( {{{\ln }^2}x - 3\ln x + 2} \right)}}} = a.\ln 3 + b.\ln 2 + c . Tính tổng \(S = a + b + c.\)
A. S = 3
B. S = 2
C. S = 0
D. S = 4
Đặt: \(t = \ln x \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 3t + 2}}} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {\frac{1}{{t - 2}} - \frac{1}{{t - 1}}} \right)dt}\)
\(= \left. {\ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t - 1}}} \right|} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \ln \frac{3}{2} = \ln 3 - \ln 2\)
Do đó \(a = 1;b = - 1;c = 0 \Rightarrow S = 0\)
\(= \left. {\ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t - 1}}} \right|} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \ln \frac{3}{2} = \ln 3 - \ln 2\)
Do đó \(a = 1;b = - 1;c = 0 \Rightarrow S = 0\)
Cho I = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = 10. Tính \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx}.\)
A. J = 10
B. J = -10
C. J = -9
D. J = 9
Đặt: t = 1 - x ta có: dt = -dx
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó: \(J = \int\limits_1^0 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt {1 - t} + \sqrt t }}} \right)\left( { - dt} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt t + \sqrt {1 - t} }}} \right)dt}\)
\(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = I = 10\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Khi đó: \(J = \int\limits_1^0 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt {1 - t} + \sqrt t }}} \right)\left( { - dt} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt t + \sqrt {1 - t} }}} \right)dt}\)
\(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = I = 10\)
Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính và nghiêng với đáy một góc \(45^0\) để lấy một hình nêm như hình vẽ.
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tìm V.
A. \(V = 2250\,(c{m^3})\)
B. \(V = \frac{{225\pi }}{4}(c{m^3})\)
C. \(V = 1250\,(c{m^3})\)
D. \(V = 1350\,(c{m^3})\)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình niêm có đáy là nửa đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 225\) hay \(y = \sqrt {225 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 15;15} \right].\)
Một mặt phẳng cắt và vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, \(x \in \left[ { - 15;15} \right]\) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S(x) như hình vẽ trên.
Đặt \(NP = y\) ta có: \(MN = NP.\tan {45^0} = y = \sqrt {15 - {x^2}}\) khi đó \(S(x) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{1}{2}.(225 - {x^2})\)
Suy ra thể tích hình niêm là: \(V = \int\limits_{ - 15}^{15} {S(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 15}^{15} {(225 - {x^2})dx} = 2250\,(c{m^3}).\)
Đổi biến \(x = 2\sin t\) tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {tdt}\)
B. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {tdt}\)
C. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{1}{t}dt}\)
D. \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {dt}\)
Đặt \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)
Với x=0 thì t=0
Với x=1 thì \(t = \frac{\pi }{6}\)
\(\sqrt {4 - {x^2}} = \sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} = 2\cos t\) (do \({\mathop{\rm cost}\nolimits} \ge 0,\forall t \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\))
Vậy \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt}\).
Với x=0 thì t=0
Với x=1 thì \(t = \frac{\pi }{6}\)
\(\sqrt {4 - {x^2}} = \sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} = 2\cos t\) (do \({\mathop{\rm cost}\nolimits} \ge 0,\forall t \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\))
Vậy \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt}\).
Tính tổng a+b biết \(\int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^3} + 3x + 2}}dx} = 2\ln a + 3\ln b.\)
A. a+b=5
B. a+b=3
C. a+b=7
D. a+b=9
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^2 {\frac{{5x + 7}}{{{x^3} + 3x + 2}}dx} \\ = \int\limits_0^2 {\frac{{5(2x + 3)}}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx - \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx \end{array}\)
Tính \({I_1} = \int\limits_0^2 {\frac{{5(2x + 3)}}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx\)
Đặt \(u = {x^2} + 3x + 2 \Rightarrow du = \left( {2x + 3} \right)dx\)
Khi đó: \({I_1} = \frac{5}{2}\int\limits_2^{12} {\frac{1}{u}} = \left. {\frac{5}{2}\ln \left| u \right|} \right|_2^{12} = \frac{5}{2}\ln 12 - \frac{5}{2}\ln 2\)
Tính \({I_2} = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx\)
\(\begin{array}{l} {I_2} = \int\limits_0^2 {\frac{{(x + 2) - (x + 1)}}{{2(x + 2)(x + 1)}}dx} \\ = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2(x + 1)}}dx} - \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2(x + 2)}}dx} \\ = \left. {\frac{1}{2}\left[ {\ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right|} \right]} \right|_0^2\\ = \frac{1}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 4 + \frac{1}{2}\ln 2 \end{array}\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} I = {I_1} - {I_2} = \frac{5}{2}\ln 12 - \frac{5}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{2}\ln 4 + \frac{1}{2}\ln 2\\ = 2\ln 3 + 3\ln 4 - 3\ln 2 = 2\ln 3 + 3\ln 2 \end{array}\)
Tính \({I_1} = \int\limits_0^2 {\frac{{5(2x + 3)}}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx\)
Đặt \(u = {x^2} + 3x + 2 \Rightarrow du = \left( {2x + 3} \right)dx\)
Khi đó: \({I_1} = \frac{5}{2}\int\limits_2^{12} {\frac{1}{u}} = \left. {\frac{5}{2}\ln \left| u \right|} \right|_2^{12} = \frac{5}{2}\ln 12 - \frac{5}{2}\ln 2\)
Tính \({I_2} = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2({x^2} + 3x + 2)}}} dx\)
\(\begin{array}{l} {I_2} = \int\limits_0^2 {\frac{{(x + 2) - (x + 1)}}{{2(x + 2)(x + 1)}}dx} \\ = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2(x + 1)}}dx} - \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2(x + 2)}}dx} \\ = \left. {\frac{1}{2}\left[ {\ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right|} \right]} \right|_0^2\\ = \frac{1}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 4 + \frac{1}{2}\ln 2 \end{array}\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} I = {I_1} - {I_2} = \frac{5}{2}\ln 12 - \frac{5}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{2}\ln 4 + \frac{1}{2}\ln 2\\ = 2\ln 3 + 3\ln 4 - 3\ln 2 = 2\ln 3 + 3\ln 2 \end{array}\)