Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{2}{x}.\)
A. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = - \frac{1}{2}\sin \frac{2}{x} + C\)
B. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = \frac{1}{2}\sin \frac{2}{x} + C\)
C. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = \frac{1}{2}\cos \frac{2}{x} + C\)
D. \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} \cos \frac{2}{x}dx = - \frac{1}{2}\cos \frac{2}{x} + C\)
Xét nguyên hàm: \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{2}{x}dx}\)
Đặt \(t = \frac{2}{x} \Rightarrow dt = - \frac{2}{{{x^2}}}dx\)
Vậy: \(\int {\frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{2}{x}dx} = - \frac{1}{2}\int {\cos tdt} = - \frac{1}{2}\sin t + C = - \frac{1}{2}\sin \frac{2}{x} + C.\)
Câu 2:
Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} .\) Đặt \(t = \sqrt {1 + \cos x} ,\) ta được kết quả nào sau đây?
A. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 \frac{{5{t^3} - 4t}}{t}dt.\)
B. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 \frac{{4{t^3} - 4t}}{t}dt.\)
C. \(I = - 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} - 1} \right)dt.}\)
D. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{ - 4{t^3} + 4t}}{t}dt.}\)
Đặt: \(t = \sqrt {1 + \cos x} \Rightarrow {t^2} = 1 + \cos x \Rightarrow 2tdt = - \sin xdx\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x.\cos x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} \\ = - \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{4t({t^2} - 1)}}{t}} dt = - \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {4({t^2} - 1)dt} = 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {({t^2} - 1)dt.} \end{array}\)
Câu 3:
Cho \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)\) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 6. Tính \(F\left( {\frac{3}{4}} \right).\)
A. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{125}}{{16}}\)
B. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{126}}{{16}}\)
C. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{123}}{{16}}\)
D. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{127}}{{16}}\)
\(I = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)dx}\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow tdt = xdx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,t = 1}\\ {x = \frac{3}{4},t = \frac{5}{4}} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow I = \int\limits_1^{\frac{5}{4}} {(2t + 5)dt = \left. {\left( {{t^2} + 5t} \right)} \right|_1^{\frac{5}{4}}} = \frac{{29}}{{16}}\)
Mặt khác \(I = F\left( {\frac{3}{4}} \right) - F(0) = F\left( {\frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{29}}{{16}} \Rightarrow F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{125}}{{16}}.\)
Câu 4:
Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x.\)
A. \(I = \frac{1}{6} - \ln 2\)
B. \(I = 2\ln 2 - \frac{5}{3}\)
C. \(I = \frac{{4 - 2\sqrt 2 }}{3}\)
D. \(I = \ln 2 - \frac{1}{6}\)
Đặt \(\sqrt {x + 1} = t \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2\)
\(\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\frac{{{t^2} - 1}}{t}2t.dt = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {2({t^2} - 1)dt} } }\)
\(\left. { = \frac{{2{t^3}}}{3} - 2t} \right|_1^{\sqrt 2 } = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} - 2\sqrt 2 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{{4 - 2\sqrt 2 }}{3}.\)
Câu 5:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{3x + 1}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{4}(3x + 1)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}(3x + 1)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \sqrt[3]{{3x + 1}} + C}\)
Xét nguyên hàm: \(\int {\sqrt[3]{{3x + 1}}dx}\)
Đặt \(t = \sqrt[3]{{3x + 1}} \Rightarrow {t^3} = 3x + 1 \Rightarrow 3{t^2} = 3dx\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l} \int {\sqrt[3]{{3x + 1}}dx} = \int {{t^2}.tdt} = \frac{1}{4}{t^4} + C\\ = \frac{1}{4}\sqrt[3]{{{{(3x + 1)}^4}}} + C = \frac{1}{4}(3x + 1)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C. \end{array}\)
Câu 6:
Nếu đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + 16} \) thì tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }}} \) trở thành kết quả nào sau đây?
A. \(I = \int\limits_4^8 {\frac{{dt}}{t}} .\)
B. \(I = \int\limits_4^8 {tdt} .\)
C. \(I = \int\limits_4^5 {\frac{{dt}}{t}} .\)
D. \(I = \int\limits_4^5 {\ln t.dt} .\)
Đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + 16} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }}} \right)dx = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 16} }}{{\sqrt {{x^2} + 16} }}dx.\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 4\\x = 3 \Rightarrow t = 8\end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \int\limits_4^8 {\frac{{dt}}{t}} .\)
Câu 7:
Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}} dx = 3\ln \frac{a}{b} - \frac{5}{6}\) trong đó a, b nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Hãy tính ab.
A. \(ab = 6\)
B. \(ab = - 5\)
C. \(ab = 12\)
D. \(ab = \frac{5}{4}\)
Đặt \(u = x + 3 \Rightarrow x = u - 3 \Rightarrow du = dx\)
Đổi cận: \( x = 0 \Rightarrow u = 3;x = 1 \Rightarrow u = 4 \)
Ta có:\(\int\limits_0^1 {\frac{{3x - 1}}{{{x^2} + 6x + 9}}} dx = \int\limits_3^4 {\frac{{3u - 10}}{{{u^2}}}} du\) \( = \int\limits_3^4 {\left( {\frac{3}{u} - \frac{{10}}{{{u^2}}}} \right)du = \left( {3\ln \left| u \right| + \frac{{10}}{u}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right.} = 3\ln \frac{4}{3} - \frac{5}{6}\) .
Suy ra \(a = 4;b = 3 \Rightarrow a.b = 12.\)
Câu 8:
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x.\cos x,\) biết \(F\left( 0 \right) = \pi .\) Tính \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4} + \pi .\)
B. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi .\)
C. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{4} + \pi .\)
D. \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \pi .\)
Xét tích phân:\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}} \)
Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}x\cos x{\rm{dx}}} = \int\limits_0^1 {{u^3}du} = \left. {\frac{1}{4}{u^4}} \right|_0^1 = \frac{1}{4} = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F(0)\\ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4} + \pi .\end{array}\)
Câu 9:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\int {\tan xdx = - \ln \left| {\cos x} \right| + C} \)
B. \(\int {\sin \frac{x}{2}dx = 2\cos \frac{x}{2} + C} \)
C. \(\int {\cos xdx = - \ln \left| {\sin x} \right| + C} \)
D. \(\int {\cos \frac{x}{2}dx = - 2\sin \frac{x}{2} + C} \)
Ta có: \(I = \int {\tan xdx} = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \)
Đặt: \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\)
Vậy: \(I = - \int {\frac{1}{u}du} = - \ln \left| u \right| = - \ln \left| {\cos x} \right| + C.\)
Câu 10:
Cho \(I = \int\limits_1^2 {x\sqrt {4 - {x^2}} }dx \) và \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(I = \sqrt 3 \)
B. \(I = \frac{{{t^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 }\\0\end{array}} \right.\)
C. \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{t^2}dt} \)
D. \(I = \frac{{{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 }\\0\end{array}} \right.\)
Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 4 - {x^2} \Rightarrow 2tdt = - 2xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 3 \\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\)
Vậy: \(I = - \int\limits_{\sqrt 3 }^0 {tdt} = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {tdt} = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^{\sqrt 3 }.\)
Câu 11:
Giả sử tích phân \(I = \int\limits_1^5 {\frac{1}{{1 + \sqrt {3x + 1} }}{\rm{d}}x} = a + b.ln3 + c.ln5\). Tính tổng a+b+c.
A. \(a + b + c = \frac{4}{3}.\)
B. . \(a + b + c = \frac{5}{3}.\)
C. \(a + b + c = \frac{7}{3}.\)
D. \(a + b + c = \frac{8}{3}.\)
Đặt \(1 + \sqrt {3x + 1} = t \Rightarrow 3x + 1 = {\left( {t - 1} \right)^2} \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {t - 1} \right){\rm{d}}t\).
Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 3;x = 5 \Rightarrow t = 5\).
Khi đó \(I = \int\limits_3^5 {\frac{2}{3}\frac{{t - 1}}{t}{\rm{d}}t} = \frac{2}{3}\int\limits_3^5 {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right){\rm{d}}t} = \left. {\frac{2}{3}\left( {t - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}ln3 - \frac{2}{3}ln5\).
Do đó \(a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3};c = - \frac{2}{3}\).
Vậy \(a + b + c = \frac{4}{3}.\)
Câu 12:
Có bao nhiêu số \(a \in \left( {0;20\pi } \right)\) sao cho \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x.\sin 2x} dx = \frac{2}{7}.\)
A. 20
B. 19
C. 9
D. 10
Ta có \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x\sin 2xdx = \frac{2}{7}} \Leftrightarrow 2\int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx = \frac{2}{7}} \Leftrightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx} = \frac{1}{7}\)
Đặt:
\(\begin{array}{l}t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = a \Rightarrow t = \sin a\end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx} = \int\limits_0^{\sin a} {{t^6}dt} = \left. {\frac{1}{7}{t^7}} \right|_0^{\sin a} = \frac{1}{7}\\ \Rightarrow {\sin ^7}a = 1 \Leftrightarrow \sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Mặt khác \(a \in \left( {0;20\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 20\pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} < k2\pi < \frac{{39\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{39}}{4}\)
\(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) .
Suy ra có 10 số a thỏa mãn đề bài.
Câu 13:
Tính \(I = \int\limits_0^e {x\sqrt {e + {x^2}} } d{\rm{x}}.\)
A. \(\left( {e + {e^2}} \right)\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e .\)
B. \({e^2}\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e .\)
C. \(\frac{1}{3}\left[ {\left( {e + {e^2}} \right)\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e } \right].\)
D. \(\frac{1}{3}\left( {{e^2}\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e } \right).\)
Đặt \(t = \sqrt {e + {x^2}} \Rightarrow {t^2} = e + {x^2} \Rightarrow tdt = x{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = \sqrt e \\x = e,t = \sqrt {e + {e^2}} \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_{\sqrt e }^{\sqrt {{e^2} + e} } {{t^2}dt} = \left. {\frac{1}{3}{t^3}} \right|_{\sqrt e }^{\sqrt {{e^2} + e} } = \frac{1}{3}\left[ {\left( {e + {e^2}} \right)\sqrt {e + {e^2}} - e\sqrt e } \right].\)
Câu 14:
Có bao nhiêu số thực \(a \in \left( {0;10\pi } \right)\)thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x\sin 2xdx} = \frac{2}{7}?\)
A. 4 số
B. 6 số
C. 7 số
D. 5 số
\(I = \int\limits_0^a {{{\sin }^5}x.\sin 2xdx} = \int\limits_0^a {{{\sin }^5}x.2\sin x.\cos x} dx = 2\int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos dx} \)
Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\)
Khi đó ta có: \(I = 2\int\limits_0^{\sin a} {{t^6}} dt = \left. {\frac{2}{7}{t^7}} \right|_0^{{\mathop{\rm sina}\nolimits} } = \frac{2}{7}{\sin ^7}a.\)
Ta có: \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}} x.\sin 2xdx = \frac{2}{7} \Rightarrow \frac{2}{7}.{\sin ^7}a = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
Vì \(a \in \left( {0;10\pi } \right) \Rightarrow a = \frac{\pi }{2};a = \frac{{5n}}{2};a = \frac{{9\pi }}{2};a = \frac{{13\pi }}{2};a = \frac{{17\pi }}{2}\). Có 5 số thực a thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 15:
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}} dx.\)
A. \(I = \frac{1}{6}\)
B. \(I = \frac{1}{8}\)
C. \(I = \frac{1}{3}\)
D. \(I = \frac{1}{4}\)
Tính \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}} dx.\)
Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_0^1 {{u^2}du} = \left. {\frac{1}{3}{u^3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}.\)