Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 1} \right).\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin \left( {3x + 1} \right) + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + 1} \right) + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{ - 1}}{{3x}}\sin \left( {3x + 1} \right) + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\cos \left( {3x + 1} \right) + C\)
Đặt: \(u = 3x + 1 \Rightarrow du = 3dx\)
Vậy: \(\int {\cos \left( {3x + 1} \right)dx} = \frac{1}{3}\int {\cos udu} = \frac{1}{3}\sin u + C = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + 1} \right) + C.\)
Câu 2:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{x + 1}}\left( {x > - 1} \right).\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{4}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{4}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = - \frac{2}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{2}{3}}} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = - \frac{3}{2}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{2}{3}}} + C\)
Đặt: \(u = \sqrt[3]{{x + 1}} \Rightarrow {u^3} = x + 1 \Rightarrow 3{u^2}du = dx\)
Vậy: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sqrt[3]{{x + 1}}dx} = 3\int {u.{u^2}du = \frac{3}{4}{u^4} + C} = \frac{3}{4}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C.\)
Câu 3:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {4^x}{.2^{2x + 3}}.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{4x + 1}}}}{{\ln 2}}\)
B. \(F\left( x \right) = {2^{4x + 3}}.\ln 2\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{2^{4x + 3}}}}{{\ln 2}}\)
D. \(F\left( x \right) = {2^{4x + 1}}.\ln 2\)
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {{4^x}{{.2}^{2x + 3}}dx = } \int {{{4.2}^{2x}}{{.2}^{2x + 1}}dx} } = \int 4 {.2^{4x + 1}}dx\)
Đặt: \(u = 4x + 1 \Rightarrow du = 4dx\)
Vậy: \(\int {f(x)dx} = \int {{2^u}du} = \frac{{{2^u}}}{{\ln 2}} + C = \frac{{{2^{4x + 1}}}}{{\ln 2}} + C.\)
Câu 4:
Giả sử \(I = \int_1^2 {\frac{{4\ln x + 1}}{x}} dx = a{\ln ^2}2 + b\ln 2,\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính tổng \(S = 4a + b.\)
A. S=3
B. S=5
C. S=7
D. S=9
\(I = \int_1^2 {\frac{{4\ln x + 1}}{x}} dx = \int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx + \int_1^2 {\frac{1}{x}} dx = \int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx + \left. {\ln x} \right|_1^2\)
Tính: \(\int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx\)
Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx.\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow u = 0\\ x = 2 \Rightarrow u = \ln 2 \end{array} \right.\)
\(\int_1^2 {\frac{{4\ln x}}{x}} dx = 4\int\limits_0^{\ln 2} {udu} = \left. {2{u^2}} \right|_0^{\ln 2} = 2{\ln ^2}2\)
Vậy: \(I = 2{\ln ^2}2 + \ln 2.\)
Suy ra \(a = 2;b = 1.\)
Nên \(4a + b = 9.\)
Câu 5:
Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx} .\)
A. \(\frac{1}{2}\int_1^2 {t\sqrt {t - 1} dt}\)
B. \(\frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} dt}\)
C. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt}\)
D. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx}\)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}.\)
Đổi cận x=1 thì t=1;x=2 thì t=4
Vậy \(I = \frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} } dt.\)
Vậy ta thấy A là phương án cần tìm.
Ngoài ra ta còn cách đổi biến số khác với tích phân này:
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 1 \Rightarrow tdt = xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Vậy \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {({t^2} + 1){t^2}dt} .\)
Ta cũng có thể viết lại: \(\dpi{100} I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {({x^2} + 1){x^2}dx}\) (Do tích phân không phụ thuộc vào biến số).
Câu 6:
Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho biểu thức \(P = n\ln n - \int_1^n {\ln xdx}\) có giá trị không vượt quá 2017.
A. 2017
B. 2018
C. 4034
D. 4036
Tính tích phân: \(I = \int_1^n {\ln xdx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = dx \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = x \end{array} \right.\)
Vậy: \(I = \left. {x\ln x} \right|_1^n - \int_1^n {\frac{x}{x}} dx = n\ln \left( n \right) - n + 1\)
Vậy \(P = n - 1.\)
Để \(n - 1 \le 2017\) thì \(n \le 2018\) và n nguyên dương.
Nên sẽ có 2018 giá trị của n.
Câu 7:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\int_0^x {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} dt > 0.\)
A. \(S = \left( { - \infty ;0} \right)\)
B. \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
Tích phân: \(\int\limits_0^x {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} dt\)
Đặt \(u = \sqrt {{t^2} + 1} \Rightarrow {u^2} = {t^2} + 1 \Rightarrow udu = tdt\)
Vậy: \(\int\limits_0^x {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} dt = \int\limits_1^{\sqrt {{x^2} + 1} } {\frac{u}{u}du} = \left. u \right|_1^{\sqrt {{x^2} + 1} } = \sqrt {{x^2} + 1} - 1.\)
\(\sqrt {{x^2} + 1} - 1 > 0 \Leftrightarrow x \ne 0.\)
Vậy tập nghiệm BPT là: \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Câu 8:
Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x = a\ln \sqrt {12} + b\ln \sqrt 7 } ,\) với a,b là các số nguyên. Tính tổng a+b.
A. -1.
B. 1.
C. \(\frac{1}{2}\).
D. 0.
Xét \(\int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x}\)
Đặt \(u = {x^2} + 4x + 7 \Rightarrow du = 2x + 4dx \Rightarrow \frac{1}{2}du = \left( {x + 2} \right)dx\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_7^{12} {\frac{1}{u}} = \frac{1}{2}\left. {\ln \left| u \right|} \right|_7^{12} = \frac{1}{2}\\ = \frac{1}{2}\ln 12 - \frac{1}{2}\ln 7 = \ln \sqrt {12} - \ln \sqrt 7 . \end{array}\)
Suy ra \(\int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x} = a\ln \sqrt {12} + b\ln \sqrt 7 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}} \right.\)
Vậy a+b=0.
Vậy tổng .
Câu 9:
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) và F(0) = 1. Tính F(1).
A. \(F\left( 1 \right) = \ln 2 + 1\)
B. \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln 2 + 1\)
C. \(F\left( 1 \right) = 0\)
D. \(F\left( 1 \right) = \ln 2 + 2\)
\(\int {f(x)dx} = \int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}dx}\)
Đặt: \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx\)
Vậy: \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{u}du} = \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)
Do F(0) = 1 nên C=1
Vậy: \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln 2 + 1.\)
Câu 10:
Cho kết quả \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)} {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}dx = \frac{{a\sqrt 2 - b}}{5},\) với a, b là hai số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2{a^3} - 3ab + 4{b^3}.\)
A. P=120
B. P=14
C. P=128
D. P=418
Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right){{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\cos x - \sin x} \right){{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^4}} dx\)Đặt \(u = \sin x + \cos x \Rightarrow du = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow u = 1\\ x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow u = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Khi đó: \(I = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {{u^4}du} = \left. {\frac{1}{5}{u^5}} \right|_0^{\sqrt 2 } = \frac{{4\sqrt 2 - 1}}{5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4}\\ {b = 1} \end{array}} \right.\)
Do đó \(P = 2{a^3} - 3ab + 4{b^3} = 120.\)
Câu 11:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {3^x}\sqrt {{3^x} + 1} .\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{3^x}\left( {2 + {3^{x + 1}}} \right)\ln 3}}{{2\sqrt {{3^x} + 1} }}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} + C\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{2\sqrt {{3^x} + 1} }}{{3\ln 3}} + C\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{2\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}{{3\ln 3}} + C\)
\(\int {f(x)dx} = \int {{3^x}\sqrt {{3^x} + 1} dx}\)
Đặt \(u = \sqrt {{3^x} + 1} \Rightarrow {u^2} = 3x + 1 \Rightarrow 2udu = {3^x}\ln 3dx \Rightarrow \frac{2}{{\ln 3}}udu = {3^x}dx\) khi đó:
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{2}{{\ln 3}}\int {u.udu} = \frac{2}{{\ln 3}}\int {{u^2}du} = \frac{2}{{3\ln 3}}{u^3} + C\\ = \frac{2}{{3\ln 3}}\sqrt {{{\left( {{3^x} + 1} \right)}^3}} + C = \frac{2}{{3\ln 3}}({3^x} + 1)\sqrt {\left( {{3^x} + 1} \right)} + C. \end{array}\)
Câu 12:
Cho \(\int\limits_7^{11} {f(x)dx = 10} .\) Tính \(I = 2\int\limits_3^5 {f(2x + 1)dx} .\)
A. I=10
B. I=20
C. I=5
D. I=30
Xét tích phân \(I = 2\int\limits_3^5 {f(2x + 1)dx} .\)
Đặt: \(t = 2x + 1 \Leftrightarrow dt = 2dx\) và đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 7\\ x = 5 \Rightarrow t = 11 \end{array} \right.\)
Khi đó: \(I = \int\limits_7^{11} {f(t)dt} = \int\limits_7^{11} {f(x)dx = 10} .\)
Câu 13:
Biết \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = - \frac{1}{2}(\ln a + \ln b).\) Tính \(S=a+b\)
A. \(S = 10 - 4\sqrt 3\)
B. \(S = \frac{{22}}{3} - 4\sqrt 3\)
C. \(S = 10 + 4\sqrt 3\)
D. \(S = \frac{{22}}{3} + 4\sqrt 3\)
Đặt \(t = cosx\Leftrightarrow dt = - \sin {\rm{x}}dx\) và \({\sin ^2}x = 1 - {t^2}.\)
Đổi cận: \(\left\{ {x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2};x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2}} \right\}\)
Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}dx = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{1}{{1 - {t^2}}}dt} = \frac{1}{2}.\ln \left. {\left| {\frac{{t + 1}}{{t - 1}}} \right|} \right|} _{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\)
\(= \frac{1}{2}\ln (7 + 4\sqrt 3 ) - \frac{1}{2}\ln 2.\)
Suy ra \(I = - \frac{1}{2}\left[ {\ln (7 - 4\sqrt 3 ) + \ln 3} \right] = - \frac{1}{2}(\ln a + \ln b)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 7 - 4\sqrt 3 \\ b = 3 \end{array} \right. \Rightarrow a + b = 10 - 4\sqrt 3 .\)
Câu 14:
Biết \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{2^x} + 1}}} = {\log _a}b.\) Tính \(S=a+3b\)
A. \(S=4\)
B. \(S=\frac{8}{3}\)
C. \(S=\frac{20}{3}\)
D. \(S=6\)
Đặt \(t = {2^x} \Rightarrow dt = {2^x}.\ln 2dx \Leftrightarrow {2^x}dx = \frac{{dt}}{{\ln 2}}.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \to t = 1\\ x = 1 \to t = 2 \end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{2^x} + 1}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{2^x}dx}}{{{2^x}.({2^x} + 1)}} = \frac{1}{{\ln 2}}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{{t(t + 1)}}} = \frac{1}{{\ln 2}}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt = \frac{1}{{\ln 2}}.\ln \left. {\left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|} \right|_1^2} }\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{{\ln 2}}.\left( {\ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\ln \frac{4}{3}}}{{\ln 2}} = {\log _2}\left( {\frac{4}{3}} \right)\)
mà \(I = {\log _a}b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = \frac{4}{3} \end{array} \right. \Rightarrow S = a + 3b = 6.\)
Câu 15:
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^3 {x{{\left( {x - 1} \right)}^{1000}}dx} .\)
A. \(I = \frac{{{{2003.2}^{1002}}}}{{1003002}}\)
B. \(I = \frac{{{{1502.2}^{1001}}}}{{501501}}\)
C. \(I = \frac{{{{3005.2}^{1002}}}}{{1003002}}.\)
D. \(I = \frac{{{{2003.2}^{1001}}}}{{501501}}\)
Đặt \(x - 1 = t \Rightarrow dx = dt,\) khi \(x = 1 \Rightarrow t = 0;{\rm{ }}x = 3 \Rightarrow t = 2\)
Khi đó: \(I = \int\limits_0^2 {(t + 1){t^{1000}}dt} = \int\limits_0^2 {\left( {{t^{1001}} + {t^{1000}}} \right)dt}\)
\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{{t^{1002}}}}{{1002}} + \frac{{{t^{1001}}}}{{1001}}} \right)\left| \begin{array}{l} ^2\\ _0 \end{array} \right. = = \frac{{{2^{1002}}}}{{1002}} + \frac{{{2^{1001}}}}{{1001}}\\ = {2^{1001}}\left( {\frac{2}{{1002}} + \frac{1}{{1001}}} \right) = \frac{{{{1502.2}^{1001}}}}{{501501}}. \end{array}\)
Câu 16:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{\sin 4x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0.\) Tính F(0).
A. \(F(0) = - 4 + 6\ln 2.\)
B. \(F(0) = - 4 - 6\ln 2.\)
C. \(F(0) = 4 - 6\ln 2.\)
D. \(F(0) = 4 + 6\ln 2.\)
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin 2x\cos 2x}}{{1 + \frac{{1 + \cos 2x}}{2}}}dx} = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos 2x.\sin 2x}}{{3 + \cos 2x}}dx}\)
Đặt: \(t = \cos 2x \Rightarrow dt = - 2\sin 2x\)
\(\Rightarrow I = - 2\int\limits_1^{ - 1} {\frac{t}{{t + 3}}dx} = 2\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{t + 3 - 3}}{{t + 3}}dt} = 2\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - \frac{3}{{t + 3}}} \right)dt}\)
\(= \left. {\left( {2t - 6\ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^1 = 4 - 6\ln 2.\)
\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = 4 - 6\ln 2 \Rightarrow F\left( 0 \right) = - 4 + 6\ln 2.\)