Câu 1:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln 4x.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{4}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{2}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
Câu 2:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}\) ta được kết quả có dạng \(F\left( x \right) = a\ln x + \frac{{{{(\ln x)}^3}}}{b} + C.\) Tính tổng \(S=a+b.\)
A. S=2012
B. S=2010
C. S=2009
D. S=2011
Câu 3:
Cho \(\int\limits_0^4 {f(x)dx} = 16.\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {f(2x)dx} .\)
A. I=32
B. I=8
C. I=16
D. I=4
Câu 4:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{e^x} + 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = - \ln 2.\) Tìm tập nghiệm S của phương trình \(F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = 3.\)
A. \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
B. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
C. \(S = \left\{ { 3} \right\}\)
D. \(S = \emptyset\)
Câu 5:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{x.{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x}}{{2.{x^2}}}\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x + 1}}{4}\)
Câu 6:
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \tan x - x\)
B. \(\int {{{\tan }^2}xdx} =\frac{{\tan}^3x}{x}\)
C. \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \tan x - x+C,C\in\mathbb{R}\)
D. \(\int {{{\tan }^2}xdx} =\frac{{\tan}^3x}{x}+C, C\in\mathbb{R}\)
Câu 7:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(1 - 2x)^5}.\)
A. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{12}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = {{(1 - 2x)}^6} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx =5{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{2}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
Câu 8:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3}}\)
Câu 9:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}.\)
A. \(y =\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
B. \(y =\frac{1}{7}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
C. \(y =\frac{1}{21}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
D. \(y =\frac{1}{14}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
Câu 10:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = } - \frac{3}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \frac{12}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } -\frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
Câu 11:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}.\)
A. \(\int {f(x)dx = x\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
B. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}({x^2} - 4)\sqrt {2 - {x^2}} + C\)
Câu 12:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x.{e^x}.\)
A. \(\int {f(x)dx = x.{e^x} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = {e^x} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = x.{e^x}-e^x + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = x.{e^x}+e^x + C}\)
Câu 13:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(\sin x + 1)^3}\cos dx.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{({\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 1)}^4}}}{4} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{(sinx + 1)}^4}}}{4} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = 4{(\sin x + 1)^3} + C\)
Câu 14:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x\cos 2xdx} .\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{4} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \sin 2x + C\)
Câu 15:
Cho a, b, c là các số tự nhiên không âm, tính tổng \(S=a + b + c\) biết \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{cosx}}{{{{\left( {sinx} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx = aln\frac{4}{c} + b.\)
A. S=4
B. S=1
C. S=3
D. S=0
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln 4x.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{4}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{2}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\ln 4x.dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln 4x\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{x}\\ v = x \end{array} \right.\).
Khi đó \(\int {f\left( x \right)dx} = x.\ln 4x - \int {dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln 4x\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{x}\\ v = x \end{array} \right.\).
Khi đó \(\int {f\left( x \right)dx} = x.\ln 4x - \int {dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}\) ta được kết quả có dạng \(F\left( x \right) = a\ln x + \frac{{{{(\ln x)}^3}}}{b} + C.\) Tính tổng \(S=a+b.\)
A. S=2012
B. S=2010
C. S=2009
D. S=2011
Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}}dx = \int {\left( {2008 + {u^2}} \right)du = 2008\int {du + \int {{u^2}du} } }\)
\(= 2008u + \frac{{{u^3}}}{3} + C = 2008\ln x + \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^3}}}{3} + C\)
Vậy a+b=2011.
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}}dx = \int {\left( {2008 + {u^2}} \right)du = 2008\int {du + \int {{u^2}du} } }\)
\(= 2008u + \frac{{{u^3}}}{3} + C = 2008\ln x + \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^3}}}{3} + C\)
Vậy a+b=2011.
Cho \(\int\limits_0^4 {f(x)dx} = 16.\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {f(2x)dx} .\)
A. I=32
B. I=8
C. I=16
D. I=4
Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)
Suy ra: \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} .\)
Suy ra: \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} .\)
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{e^x} + 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = - \ln 2.\) Tìm tập nghiệm S của phương trình \(F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = 3.\)
A. \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
B. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
C. \(S = \left\{ { 3} \right\}\)
D. \(S = \emptyset\)
\(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {1 - \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} \\ = \int {1.d{\rm{x}}} - \int {\frac{{{e^x}.d{\rm{x}}}}{{{e^x} + 1}}} = x - \int {\frac{{{e^x}.d{\rm{x}}}}{{{e^x} + 1}}} = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C \end{array}\)
\(F\left( 0 \right) = - \ln 2 + C = - \ln 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right)\)
\(\Rightarrow F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = x = 3\)
\(F\left( 0 \right) = - \ln 2 + C = - \ln 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right)\)
\(\Rightarrow F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = x = 3\)
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{x.{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x}}{{2.{x^2}}}\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x + 1}}{4}\)
\(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.dx} = \int {{{\ln }^3}x.\frac{1}{x}dx}\)
Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
\(\Rightarrow F(x) = \int {{u^3}du} = \frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{{{{\ln }^4}x}}{4} + C\)
Đặt: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
\(\Rightarrow F(x) = \int {{u^3}du} = \frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{{{{\ln }^4}x}}{4} + C\)
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \tan x - x\)
B. \(\int {{{\tan }^2}xdx} =\frac{{\tan}^3x}{x}\)
C. \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \tan x - x+C,C\in\mathbb{R}\)
D. \(\int {{{\tan }^2}xdx} =\frac{{\tan}^3x}{x}+C, C\in\mathbb{R}\)
Đặt: \(t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = (1 + {\tan ^2}x)dx = (1 + {t^2})dx \Rightarrow \frac{{dt}}{{(1 + {t^2})}} = dx\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{{\tan }^2}xdx = \int {{t^2}.\frac{1}{{{t^2} + 1}}dt} } = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ = t - \int {\frac{1}{{1 + {t^2}}}dt = t - \int {dx} = \tan x - x + C} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{{\tan }^2}xdx = \int {{t^2}.\frac{1}{{{t^2} + 1}}dt} } = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ = t - \int {\frac{1}{{1 + {t^2}}}dt = t - \int {dx} = \tan x - x + C} \end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(1 - 2x)^5}.\)
A. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{12}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = {{(1 - 2x)}^6} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx =5{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{2}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
Đặt: \(u = 1 - 2x \Rightarrow du = - 2dx \Rightarrow - \frac{1}{2}du = dx\)
\(\int {f(x)dx = - \frac{1}{2}\int {{u^5}du} = - \frac{1}{{12}}{u^6} + C = - \frac{1}{{12}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
\(\int {f(x)dx = - \frac{1}{2}\int {{u^5}du} = - \frac{1}{{12}}{u^6} + C = - \frac{1}{{12}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3}}\)
Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow xdx = tdt\)
Suy ra: \(\int {f(x)dx = \int {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{1}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3} + C}\)
Suy ra: \(\int {f(x)dx = \int {x\sqrt {1 + {x^2}} dx} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{1}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3} + C}\)
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}.\)
A. \(y =\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
B. \(y =\frac{1}{7}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
C. \(y =\frac{1}{21}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
D. \(y =\frac{1}{14}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
Đặt \(t = 7{x^3} + 1 \Rightarrow dt = 21{x^2}dx \Rightarrow \frac{1}{{21}}dt = {x^2}dx\)
\(\int {\frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}dx} = \frac{1}{{21}}\int {\frac{1}{u}} du = \frac{1}{{21}}\ln \left| u \right| + C = \frac{1}{{21}}\ln \left| {7{x^3} + 1} \right| + C\)
\(\int {\frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}dx} = \frac{1}{{21}}\int {\frac{1}{u}} du = \frac{1}{{21}}\ln \left| u \right| + C = \frac{1}{{21}}\ln \left| {7{x^3} + 1} \right| + C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = } - \frac{3}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \frac{12}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } -\frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - 4x}} \Rightarrow {t^3} = 1 - 4x \Rightarrow 3{t^2}dt = - 4dx \Rightarrow - \frac{3}{4}{t^2}dt = dx\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}dx} = - \frac{3}{4}\int {\frac{{{t^2}}}{{{t^{10}}}}dt} = - \frac{3}{4}\int {\frac{1}{{{t^8}}}dt} \\ = \frac{3}{{28}}.\frac{1}{{{t^7}}} + C = \frac{3}{{28}}{\left( {1 - 4x} \right)^{ - \frac{7}{3}}} + C. \end{array}\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}dx} = - \frac{3}{4}\int {\frac{{{t^2}}}{{{t^{10}}}}dt} = - \frac{3}{4}\int {\frac{1}{{{t^8}}}dt} \\ = \frac{3}{{28}}.\frac{1}{{{t^7}}} + C = \frac{3}{{28}}{\left( {1 - 4x} \right)^{ - \frac{7}{3}}} + C. \end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}.\)
A. \(\int {f(x)dx = x\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
B. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}({x^2} - 4)\sqrt {2 - {x^2}} + C\)
Đặt: \(t = \sqrt {2 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 2 - {x^2} \Rightarrow {x^2} = 2 - {t^2} \Rightarrow xdx = - tdt\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}dx = } \int {\left( {{t^2} - 2} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - 2t + C\\ = \frac{1}{3}{\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } \right)^3} - 2\sqrt {2 - {x^2}} = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}dx = } \int {\left( {{t^2} - 2} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - 2t + C\\ = \frac{1}{3}{\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } \right)^3} - 2\sqrt {2 - {x^2}} = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} \end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x.{e^x}.\)
A. \(\int {f(x)dx = x.{e^x} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = {e^x} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = x.{e^x}-e^x + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = x.{e^x}+e^x + C}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
Vậy: \(\int {x.{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} - {e^x} + C.\)
Vậy: \(\int {x.{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} - {e^x} + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(\sin x + 1)^3}\cos dx.\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{({\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 1)}^4}}}{4} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{{(sinx + 1)}^4}}}{4} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = 4{(\sin x + 1)^3} + C\)
Đặt: \(u = \sin x + 1 \Rightarrow du = \cos xdx\)
Vậy: \(\int {{{(\sin x + 1)}^3}\cos x} dx = \int {{u^3}du} = \frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{1}{4}{(\sin x + 1)^4} + C.\)
Vậy: \(\int {{{(\sin x + 1)}^3}\cos x} dx = \int {{u^3}du} = \frac{1}{4}{u^4} + C = \frac{1}{4}{(\sin x + 1)^4} + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x\cos 2xdx} .\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{4} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \sin 2x + C\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \cos 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}\sin 2x \end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} \int {x\cos 2xdx} = \frac{1}{2}x.\sin 2x - \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} \\ = \frac{1}{2}x.\sin 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + C. \end{array}\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} \int {x\cos 2xdx} = \frac{1}{2}x.\sin 2x - \frac{1}{2}\int {\sin 2xdx} \\ = \frac{1}{2}x.\sin 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + C. \end{array}\)
Cho a, b, c là các số tự nhiên không âm, tính tổng \(S=a + b + c\) biết \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{cosx}}{{{{\left( {sinx} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx = aln\frac{4}{c} + b.\)
A. S=4
B. S=1
C. S=3
D. S=0
Tính tích phân: \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{cosx}}{{{{\left( {sinx} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx.\)
Đặt \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = t,\) \(t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \cos xdx = dt\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Lúc đó:
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 5 + 6}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{(t - 2)(t - 3)}}} }\)\(= \left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t - 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \ln \frac{4}{3}.\)
Khi đó \(a = 1,b = 0,c = 3\) hay \(a + b + c = 1 + 3 + 0\).
Đặt \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = t,\) \(t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \cos xdx = dt\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Lúc đó:
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 5 + 6}} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{(t - 2)(t - 3)}}} }\)\(= \left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t - 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \ln \frac{4}{3}.\)
Khi đó \(a = 1,b = 0,c = 3\) hay \(a + b + c = 1 + 3 + 0\).