Câu 1:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - 1} .\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
Câu 2:
Tính tích phân\(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \left| x \right|} \right)dx}\).
A. I=0
B. I=1
C. I=2
D. I=3
Câu 3:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x.\sin xdx}\).
A. \(I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}\)
B. \(I = - {\pi ^4}\)
C. \(I = 0\)
D. \(D = - \frac{1}{4}\)
Câu 4:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx}\). Đặt \(u = 8 + \cos x\) thì kết quả nào sau đây là đúng?
A. \(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du}\)
B. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_9^8 {\sqrt u du}\)
C. \(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u du}\)
D. \(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u du}\)
Câu 5:
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx}\) bằng phương pháp đổi biến số \(u = \sqrt {{e^x} - 1}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
B. \(I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
C. \(I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
D. \(I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
Câu 6:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + \frac{1}{{\cos x}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
Câu 7:
Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx}\), đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^e {tdt}\)
B. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {tdt}\)
C. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}\)
D. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{t^2}dt}\)
Câu 8:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x{e^{{x^2} + 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } 2{e^{{x^2} + 1}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } {e^{{x^2} + 1}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } {x^2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
Câu 9:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\).
A. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
B. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
C. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
D. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
Câu 10:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2x + 1}\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{2\sqrt {2x + 1} }} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{4\sqrt {2x + 1} }} + C\)
Câu 11:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 + \ln x}}{x}\) .
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{\ln ^2}x + \ln x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}x + \ln x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } x + {\ln ^2}x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\)
Câu 12:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \tan 2x\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = 2\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)
Câu 13:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } \ln ({x^2} + 1) + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1) + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
Câu 14:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} + 4}}\).
A. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 2\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
B. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
C. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
D. \(\int {f(x) = } 2\sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
Câu 15:
Cho \({I_n} = \int\limits_1^e {{{(\ln x)}^n}dx,n \in} \mathbb{N}\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(I_{n+1}\) và \(I_n\).
A. \({I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = 2e\)
B. \({I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = e\)
C. \({I_n} + (n + 1){I_{n + 1}} = e\)
D. \({I_n} + (n + 1){I_{n + 1}} = 2e\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - 1} .\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
\(\begin{array}{l} t = \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 1 \Rightarrow 2tdt = 2xdx\\ \Rightarrow \int {x\sqrt {{x^2} - 1} } dx = \int {{t^2}dt} = \frac{1}{3}{t^3} + C\\ = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C \end{array}\)
Tính tích phân\(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \left| x \right|} \right)dx}\).
A. I=0
B. I=1
C. I=2
D. I=3
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {\left| {2x - 1} \right| - \left| x \right|} \right)dx}\)
\(\Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 2x + 1 - x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {2x - 1 - x} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( { - \frac{{3{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{{ - 3}}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 0\)
\(\Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 2x + 1 - x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {2x - 1 - x} \right)dx}\)
\(= \left. {\left( { - \frac{{3{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = \frac{{ - 3}}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 0\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x.\sin xdx}\).
A. \(I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}\)
B. \(I = - {\pi ^4}\)
C. \(I = 0\)
D. \(D = - \frac{1}{4}\)
+ Cách 1:[/B] Bấm máy tính.
+ Cách 2:[/B] Giải bằng cách thông thường.
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\).
\(I = - \int\limits_1^{ - 1} {{u^3}du = } \int\limits_{ - 1}^1 {{u^3}du = } \left. {\frac{1}{4}{u^4}} \right|_{ - 1}^1 = 0\)
+ Cách 2:[/B] Giải bằng cách thông thường.
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\).
\(I = - \int\limits_1^{ - 1} {{u^3}du = } \int\limits_{ - 1}^1 {{u^3}du = } \left. {\frac{1}{4}{u^4}} \right|_{ - 1}^1 = 0\)
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx}\). Đặt \(u = 8 + \cos x\) thì kết quả nào sau đây là đúng?
A. \(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du}\)
B. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_9^8 {\sqrt u du}\)
C. \(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u du}\)
D. \(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u du}\)
Ta nhận thấy \(\left( {\cos x + 8} \right)' = - \sin x\). Vậy \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } dx = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {8 + \cos x} d\left( {8 + \cos x} \right)}\)
Đổi cận
Khi đó: \(I = - \int\limits_9^8 {\sqrt u } du = \int\limits_8^9 {\sqrt u } du\)
Đổi cận
Khi đó: \(I = - \int\limits_9^8 {\sqrt u } du = \int\limits_8^9 {\sqrt u } du\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx}\) bằng phương pháp đổi biến số \(u = \sqrt {{e^x} - 1}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
B. \(I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
C. \(I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
D. \(I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
Đặt \(u = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {u^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2udu = {e^x}dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow u = 1.\\ x = \ln 5 \Rightarrow u = 2. \end{array} \right.\)
\(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{\left( {{u^2} + 1} \right)2u}}{u}} du\)
\(= 2\int\limits_1^2 {{u^2}du + 2\int\limits_1^2 {du} = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.}\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow u = 1.\\ x = \ln 5 \Rightarrow u = 2. \end{array} \right.\)
\(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{\left( {{u^2} + 1} \right)2u}}{u}} du\)
\(= 2\int\limits_1^2 {{u^2}du + 2\int\limits_1^2 {du} = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + \frac{1}{{\cos x}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
\(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x.\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx}\)
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = \sin xdx\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = - \int {\frac{{1 - {u^2}}}{{{u^4}}}du = - \int {\left( {\frac{1}{{{u^4}}} - \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du} } \\ = - \left( { - \frac{1}{3}.\frac{1}{{{u^3}}} + \frac{1}{u}} \right) + C \end{array}\)
Vậy \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\) .
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = \sin xdx\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = - \int {\frac{{1 - {u^2}}}{{{u^4}}}du = - \int {\left( {\frac{1}{{{u^4}}} - \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du} } \\ = - \left( { - \frac{1}{3}.\frac{1}{{{u^3}}} + \frac{1}{u}} \right) + C \end{array}\)
Vậy \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\) .
Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx}\), đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^e {tdt}\)
B. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {tdt}\)
C. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}\)
D. \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^e {{t^2}dt}\)
Đặt: \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2tdt = \frac{3}{x}dx\)
\(\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 1\\ x = e \Rightarrow t = 2 \end{array}\)
\(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx} = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {t.tdt} = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}\)
\(\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 1\\ x = e \Rightarrow t = 2 \end{array}\)
\(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx} = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {t.tdt} = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{t^2}dt}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x{e^{{x^2} + 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } 2{e^{{x^2} + 1}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } {e^{{x^2} + 1}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } {x^2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
Đặt \(u = {x^2} + 1 \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du = xdx\)
\(\int {x.{e^{{x^2} + 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{e^u}du} = \frac{1}{2}{e^u} + C = \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
\(\int {x.{e^{{x^2} + 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{e^u}du} = \frac{1}{2}{e^u} + C = \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\).
A. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
B. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
C. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
D. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow du = - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }};\,\,{x^2} = 1 - {u^2}\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = \int { - 3(1 - {u^2})du = {u^3} - 3u + C} } \\ = {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^3} - 3\sqrt {1 - {x^2}} + C = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = \int { - 3(1 - {u^2})du = {u^3} - 3u + C} } \\ = {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^3} - 3\sqrt {1 - {x^2}} + C = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C \end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2x + 1}\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{2\sqrt {2x + 1} }} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{4\sqrt {2x + 1} }} + C\)
Đặt: \(2x + 1 = t \Rightarrow d(2x + 1) = dt \Rightarrow 2dx = dt \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt\)
\(\int {\sqrt {2x + 1} dx = \frac{1}{2}} \int {\sqrt t } dt = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^{^3}}} + C\)
\(\int {\sqrt {2x + 1} dx = \frac{1}{2}} \int {\sqrt t } dt = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^{^3}}} + C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 + \ln x}}{x}\) .
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{\ln ^2}x + \ln x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}x + \ln x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } x + {\ln ^2}x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\)
\(\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}} dx\)
Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{1 + \ln x}}{x}} dx = \int {\left( {1 + u} \right)du} \\ = u + \frac{1}{2}{u^2} + C = \ln x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C \end{array}\)
Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{1 + \ln x}}{x}} dx = \int {\left( {1 + u} \right)du} \\ = u + \frac{1}{2}{u^2} + C = \ln x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C \end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \tan 2x\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = 2\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)
\(\int {f(x)dx = } \int {\tan 2xdx = } \int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}dx}\)
Đặt: \(u = \cos 2x \Rightarrow du = - 2\sin 2xdx\)
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{u}du} = - \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C\\ = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C \end{array}\)
Đặt: \(u = \cos 2x \Rightarrow du = - 2\sin 2xdx\)
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{u}du} = - \frac{1}{2}\ln \left| u \right| + C\\ = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C \end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } \ln ({x^2} + 1) + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1) + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
Đặt: \(u = \ln ({x^2} + 1) \Rightarrow du = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{2}\int {udu} = \frac{1}{4}{u^2} + C} \\ \end{array}\)
\(= \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{2}\int {udu} = \frac{1}{4}{u^2} + C} \\ \end{array}\)
\(= \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} + 4}}\).
A. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 2\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
B. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
C. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
D. \(\int {f(x) = } 2\sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
Phương pháp đổi biến :
Đặt:\(\sqrt {2{\rm{x}} - 1} = t \Rightarrow {t^2} = 2x - 1 \Rightarrow tdt = x\)
Khi đó:
\(\int {f(x)dx = } \int {\frac{{tdt}}{{t + 4}}} = \int {\frac{{t + 4 - 4}}{{t + 4}}} dt = \int {\left( {1 - \frac{4}{{t + 4}}} \right)dt}\)
\(= t - 4\ln \left| {t + 4} \right| + C = \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left| {\sqrt {2x + 1} + 4} \right| + C\)
Đặt:\(\sqrt {2{\rm{x}} - 1} = t \Rightarrow {t^2} = 2x - 1 \Rightarrow tdt = x\)
Khi đó:
\(\int {f(x)dx = } \int {\frac{{tdt}}{{t + 4}}} = \int {\frac{{t + 4 - 4}}{{t + 4}}} dt = \int {\left( {1 - \frac{4}{{t + 4}}} \right)dt}\)
\(= t - 4\ln \left| {t + 4} \right| + C = \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left| {\sqrt {2x + 1} + 4} \right| + C\)
Cho \({I_n} = \int\limits_1^e {{{(\ln x)}^n}dx,n \in} \mathbb{N}\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(I_{n+1}\) và \(I_n\).
A. \({I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = 2e\)
B. \({I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = e\)
C. \({I_n} + (n + 1){I_{n + 1}} = e\)
D. \({I_n} + (n + 1){I_{n + 1}} = 2e\)
Xét \({I_{n + 1}} = \int\limits_1^e {{{(\ln x)}^{n + 1}}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {(\ln x)^{n + 1}}\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (n + 1){\ln ^n}.\frac{1}{x}dx\\ v = x \end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} {I_{n + 1}} = \left. {x{{(\ln x)}^{n + 1}}} \right|_1^e - \left( {n + 1} \right)\int\limits_1^e {{{\ln }^n}xdx = e - (n + 1){I_n}} \\ \Rightarrow {I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = e \end{array}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {(\ln x)^{n + 1}}\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (n + 1){\ln ^n}.\frac{1}{x}dx\\ v = x \end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} {I_{n + 1}} = \left. {x{{(\ln x)}^{n + 1}}} \right|_1^e - \left( {n + 1} \right)\int\limits_1^e {{{\ln }^n}xdx = e - (n + 1){I_n}} \\ \Rightarrow {I_{n + 1}} + (n + 1){I_n} = e \end{array}\)