Câu 1:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {{\log }_2}({x^2} + 2x + 1) - 3} }}\).
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
B. \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ;7} \right)\)
D. \(D = \left( {0;3} \right)\)
Câu 2:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)
A. \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\)
C. \(S = \left[ {64; + \infty } \right]\)
D. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)\)
Câu 3:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \(4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3.\)
A. \(S = \left( {5;\sqrt 5 } \right)\)
B. \(S = \left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{1}{5};5} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{5};\sqrt 5 } \right)\)
Câu 4:
Xét phương trình \({\log ^4}{(x - 1)^2} + {\log ^2}{(x - 1)^3} = 25\,(*).\) Phép biến đổi nào sau đây là đúng?
A. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 9{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
B. \((*) \Leftrightarrow 2{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
C. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
D. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}\left| {x - 1} \right| + 9{\lg ^2}\left| {x - 1} \right| = 25\)
Câu 5:
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2.\)
A. S=6
B. S=16
C. S=20
D. S=18
Câu 6:
Cho phương trình \({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2.\). Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Điều kiện xác định của phương trình là x>0
B. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=1
C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=9
D. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Câu 7:
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5.\)
A. \(S = \frac{{65}}{{32}}\)
B. \(S = \frac{{33}}{{32}}\)
C. \(S =-4\)
D. \(S = \frac{{61}}{{32}}\)
Câu 8:
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1.\)
A. \(S = \frac{{33}}{{64}}\)
B. S=12
C. S=5
D. S=66
Câu 9:
Tìm m để phương trình \log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
A. \(m=\pm1\)
B. \(m=\pm3\)
C. \(m=\pm 2\)
D. Không tồn tại m
Câu 10:
Phương trình \log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là {x_1},{x_2}.Tính giá trị của biểu thức P = {\log _3}{x_1} + {\log _{27}}{x_2} biết {x_1} < {x_2}.
A. \({t^2} - 2t - 3 = 0\)
B. \({t^2} - t - 3 = 0\)
C. \({t^2} + t - 3 = 0\)
D. \({t^2} -3t - 3 = 0\)
Câu 11:
Phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}.\)Tính tích \(P = {x_1}.{x_2}.\)
A. P=8
B. P=2
C. \(P=\frac{1}{4}\)
D. \(P=\frac{33}{4}\)
Câu 12:
Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;b} \right].\) Tính giá trị của \(P = {a^2}\sqrt b .\)
A. P=16
B. P=12
C. P=8
D. P=4
Câu 13:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(4{\log _{25}}x + \log { & _x}5 \ge 3.\)
A. \(S = \left[ { - \sqrt 5 ;5} \right]\)
B. \(S = \left( {0;\sqrt 5 } \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;\sqrt 5 } \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left[ {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Câu 14:
Phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}\left( {3x} \right) + 7 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 15:
Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: \({\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}\left( {p + q} \right).\) Tính giá trị của \(\frac{q}{p}\).
A. \(\frac{q}{p}=\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{q}{p}=\frac{8}{5}\)
C. \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
D. \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {{\log }_2}({x^2} + 2x + 1) - 3} }}\).
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
B. \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ;7} \right)\)
D. \(D = \left( {0;3} \right)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 3 > 0\,(*) \end{array} \right.\)
\(( * ) \Leftrightarrow {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) - 3 > 0\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < - 1\\ t > 3 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) < - 1\\ {\log _2}(x + 1) > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x + 1 < \frac{1}{2}\\ x + 1 > 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < - \frac{1}{2}\\ x > 7 \end{array} \right.\)
Vậy tâp xác định của hàm số là: \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
\(( * ) \Leftrightarrow {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) - 3 > 0\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < - 1\\ t > 3 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) < - 1\\ {\log _2}(x + 1) > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x + 1 < \frac{1}{2}\\ x + 1 > 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < - \frac{1}{2}\\ x > 7 \end{array} \right.\)
Vậy tâp xác định của hàm số là: \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)
A. \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\)
C. \(S = \left[ {64; + \infty } \right]\)
D. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
Tìm tập nghiệm S của phương trình \(4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3.\)
A. \(S = \left( {5;\sqrt 5 } \right)\)
B. \(S = \left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{1}{5};5} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{5};\sqrt 5 } \right)\)
Điều kiện \(x > 0;x \ne 1.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} 4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3 \Leftrightarrow 2{\log _5}x + \frac{1}{{{{\log }_5}x}} = 3\\ \Leftrightarrow 2\log _5^2x - 3{\log _5}x + 1 = 0 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _5}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_5}x = 1}\\ {{{\log }_5}x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 5}\\ {x = \sqrt 5 } \end{array}} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} 4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3 \Leftrightarrow 2{\log _5}x + \frac{1}{{{{\log }_5}x}} = 3\\ \Leftrightarrow 2\log _5^2x - 3{\log _5}x + 1 = 0 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _5}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_5}x = 1}\\ {{{\log }_5}x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 5}\\ {x = \sqrt 5 } \end{array}} \right. \end{array}\)
Xét phương trình \({\log ^4}{(x - 1)^2} + {\log ^2}{(x - 1)^3} = 25\,(*).\) Phép biến đổi nào sau đây là đúng?
A. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 9{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
B. \((*) \Leftrightarrow 2{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
C. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
D. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}\left| {x - 1} \right| + 9{\lg ^2}\left| {x - 1} \right| = 25\)
\({\lg ^4}{(x - 1)^2} + {\lg ^2}{(x - 1)^3} = 25 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ {\left[ {2\log (x - 1)} \right]^4} + {\left[ {3\log (x - 1)} \right]^2} = 25 \end{array} \right.\)
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2.\)
A. S=6
B. S=16
C. S=20
D. S=18
\(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2 \Leftrightarrow \log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0(*)\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Suy ra: \(S = {2^2} + {4^2} = 20\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Suy ra: \(S = {2^2} + {4^2} = 20\)
Cho phương trình \({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2.\). Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Điều kiện xác định của phương trình là x>0
B. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=1
C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=9
D. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _3}x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1.\)
\({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2 \Leftrightarrow 2{\log _3}x - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2\)
Đặt: \(t = \sqrt {2{{\log }_3}x} ,t \ge 0.\) Khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\,\,(Do\,\,t \ge 0)\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9.\)
\({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2 \Leftrightarrow 2{\log _3}x - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2\)
Đặt: \(t = \sqrt {2{{\log }_3}x} ,t \ge 0.\) Khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\,\,(Do\,\,t \ge 0)\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9.\)
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5.\)
A. \(S = \frac{{65}}{{32}}\)
B. \(S = \frac{{33}}{{32}}\)
C. \(S =-4\)
D. \(S = \frac{{61}}{{32}}\)
\(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1.\)
A. \(S = \frac{{33}}{{64}}\)
B. S=12
C. S=5
D. S=66
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 32\\ x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\ {t = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4}\\ {x = 8} \end{array}} \right. \end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\ {t = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4}\\ {x = 8} \end{array}} \right. \end{array}\)
Tìm m để phương trình \log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
A. \(m=\pm1\)
B. \(m=\pm3\)
C. \(m=\pm 2\)
D. Không tồn tại m
Đặt \(t = {\log _{\sqrt 3 }}x.\)
Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt + 1 = 0.\)
Để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì phương trình \({t^2} - mt + 1 = 0\) phải có nghiệm kép.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt + 1 = 0.\)
Để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì phương trình \({t^2} - mt + 1 = 0\) phải có nghiệm kép.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
Phương trình \log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là {x_1},{x_2}.Tính giá trị của biểu thức P = {\log _3}{x_1} + {\log _{27}}{x_2} biết {x_1} < {x_2}.
A. \({t^2} - 2t - 3 = 0\)
B. \({t^2} - t - 3 = 0\)
C. \({t^2} + t - 3 = 0\)
D. \({t^2} -3t - 3 = 0\)
Điều kiện \(x > 0\)
\(\log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {({\log _3}x)^2} - 2{\log _3}x - 3 = 0\)
Đặt \(t = {\log _3}x.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 1 \end{array} \right.\)
\(\log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {({\log _3}x)^2} - 2{\log _3}x - 3 = 0\)
Đặt \(t = {\log _3}x.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 1 \end{array} \right.\)
Phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}.\)Tính tích \(P = {x_1}.{x_2}.\)
A. P=8
B. P=2
C. \(P=\frac{1}{4}\)
D. \(P=\frac{33}{4}\)
\(\begin{array}{l} \log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - (2 - {\log _2}x) - 4 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {({\log _2}x)^2} - {\log _2}x - 6 = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ ({\log _2}x - 3)({\log _2}x + 2) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 8}\\ {x = \frac{1}{4}} \end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 8.\frac{1}{4} = 2\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ ({\log _2}x - 3)({\log _2}x + 2) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 8}\\ {x = \frac{1}{4}} \end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 8.\frac{1}{4} = 2\)
Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;b} \right].\) Tính giá trị của \(P = {a^2}\sqrt b .\)
A. P=16
B. P=12
C. P=8
D. P=4
Điều kiện: x>0. Khi đó:
\(\log _{\frac{1}{2}}^2x = 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 1} \right)\left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 2} \right) \le 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1 - {\log _2}x)(2 - {\log _2}x) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le {\log _2}x \le 2\\ \Leftrightarrow {2^1} \le x \le {2^4} \Leftrightarrow 2 \le x \le 4 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện, ta được:
\(\begin{array}{l} S = \left[ {2;4} \right] = \left[ {a;b} \right]\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow {a^2}\sqrt b = 8. \end{array}\)
\(\log _{\frac{1}{2}}^2x = 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 1} \right)\left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 2} \right) \le 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1 - {\log _2}x)(2 - {\log _2}x) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le {\log _2}x \le 2\\ \Leftrightarrow {2^1} \le x \le {2^4} \Leftrightarrow 2 \le x \le 4 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện, ta được:
\(\begin{array}{l} S = \left[ {2;4} \right] = \left[ {a;b} \right]\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow {a^2}\sqrt b = 8. \end{array}\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(4{\log _{25}}x + \log { & _x}5 \ge 3.\)
A. \(S = \left[ { - \sqrt 5 ;5} \right]\)
B. \(S = \left( {0;\sqrt 5 } \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;\sqrt 5 } \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left[ {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
ĐK: \(1 \ne x > 0.\) Khi đó:
\(4\log_{25}x+\log_x5\geq 3 \Leftrightarrow 4{\log _{{5^2}}}x + {\log _x}5 \ge 3 \Leftrightarrow 2{\log _5}x + \frac{1}{{{{\log }_5}x}} \ge 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{{(2{{\log }_5}x - 1)({{\log }_5}x - 1)}}{{{{\log }_5}x}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _5}x \ge 1\\ 0 < {\log _5}x \le \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 5}\\ {1 < x \le \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
\(4\log_{25}x+\log_x5\geq 3 \Leftrightarrow 4{\log _{{5^2}}}x + {\log _x}5 \ge 3 \Leftrightarrow 2{\log _5}x + \frac{1}{{{{\log }_5}x}} \ge 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{{(2{{\log }_5}x - 1)({{\log }_5}x - 1)}}{{{{\log }_5}x}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _5}x \ge 1\\ 0 < {\log _5}x \le \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 5}\\ {1 < x \le \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
Phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}\left( {3x} \right) + 7 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
ĐK: x > 0.
Khi đó: \(\log _3^2x - 4{\log _3}\left( {3x} \right) + 7 = 0 \Leftrightarrow \log _3^2x - 4\left( {1 + {{\log }_3}x} \right) + 7 = 0\)
Đặt: \(t = {\log _3}x.\) Bất phương trình trở thành:
\({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_3}x = 1}\\ {{{\log }_3}x = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 17} \end{array}} \right.\)
Do đó PT đã cho có 2 nghiệm.
Khi đó: \(\log _3^2x - 4{\log _3}\left( {3x} \right) + 7 = 0 \Leftrightarrow \log _3^2x - 4\left( {1 + {{\log }_3}x} \right) + 7 = 0\)
Đặt: \(t = {\log _3}x.\) Bất phương trình trở thành:
\({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_3}x = 1}\\ {{{\log }_3}x = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 17} \end{array}} \right.\)
Do đó PT đã cho có 2 nghiệm.
Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: \({\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}\left( {p + q} \right).\) Tính giá trị của \(\frac{q}{p}\).
A. \(\frac{q}{p}=\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{q}{p}=\frac{8}{5}\)
C. \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
D. \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\)
Đặt \(t = {\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}(p + q)\) thì ta có:
\(p = {9^t};\,q = {12^t};{16^t} = p + q = {9^t} + {12^t}(1)\)
Chia 2 vế của (1) cho ta được: \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2t}} = 1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}\,(2)\)
Đặt \(u = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{q}{p} > 0,\) phương trình (2) trở thành:
\({u^2} - u - 1 = 0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{2} \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\) do u>0
Suy ra: \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\)
\(p = {9^t};\,q = {12^t};{16^t} = p + q = {9^t} + {12^t}(1)\)
Chia 2 vế của (1) cho ta được: \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2t}} = 1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}\,(2)\)
Đặt \(u = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{q}{p} > 0,\) phương trình (2) trở thành:
\({u^2} - u - 1 = 0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{2} \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\) do u>0
Suy ra: \(\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\)