Toán 12 15 bài trắc nghiệm về giải phương trình và bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số (phần 2)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Câu 1:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. \(2 < x < 3\)
B. \(1 < x < 2\)
C. \(2 < x < 5\)
D. \(-4 < x < 3\)
Điều kiện: \(2 < x < 5\)(*)
Khi đó ta có:
\({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - 12}}{{\left( {5 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ 2 < x < 3\\ x > 5 \end{array} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện (*) ta được: \(2 < x < 3.\)
Câu 2:
Cho phương trình \({\log _2}{x^2} = {\log _2}{(2x + 1)^2}\). Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
B. Phương trình đã cho vô nghiệm.
C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(x=-1\)
D. Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(x=-\frac{4}{3}\)
Điều kiện: \(x \ne 0;\,x \ne - \frac{1}{2}.\) Khi đó:
\({\log _2}{x^2} = {\log _2}{(2x + 1)^2} \Leftrightarrow {x^2} = {(2x + 1)^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 = x}\\ {2x + 1 = - x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = - \frac{1}{3}} \end{array}} \right.\)
Câu 3:
Phương trình \({\log _4}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _4}x) = 2\) có bao nhiêu nghiệm.
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}x > 0\\ {\log _4}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.\)
\(\begin{array}{l} {\log _4}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _4}x) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}({\log _2}x) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _2}x) - 1 = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}({\log _2}x) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}x = 4 \Leftrightarrow x = 16 \end{array}\)
Câu 4:
Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x.\)
A. \(x = \sqrt 6\)
B. \(x =3\)
C. \(x = 6\)
D. \(x = \sqrt 3\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}{x^3} = {\log _2}9x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {x^3} - 9x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)
Câu 5:
Phương trình \({\log _2}\left| {x - 2} \right| + {\log _2}\left| {x + 5} \right| + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0\) có bao nhiêu nghiệm dương?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
\({\log _2}\left| {(x - 2)(x + 5)} \right| - {\log _2}8 = 0 \Leftrightarrow \left| {(x - 2)(x + 5)} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(x - 2)(x + 5) = 8}\\ {(x - 2)(x + 5) = - 8} \end{array}} \right.\)
Với \((x - 2)(x + 5) = 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 6 \end{array} \right.\)
Với \((x - 2)(x + 5) = - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {17} }}{2}\)
Câu 6:
Phương trình \(\log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
\(\begin{array}{l} \log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 10 - \log 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ (x - 3)(x - 2) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ {x^2} - 5x + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4 \end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=4.
Câu 7:
Phương trình \(\log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
\(\begin{array}{l} \log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} - 2 > 0\\ \log x > 0 \end{array}\\ {\log x.(\log {x^3} - 2) = 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} > 2\\ x > 1 \end{array}\\ {3{{(\log x)}^2} - 2\log x - 1 = 0} \end{array}} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \sqrt[3]{{100}}\\ (\log x - 1)(3\log x + 1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log x = 1\\ \log x = - \frac{1}{3} < 0\,\,(Loai) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \log x = 1 \Leftrightarrow x = 10. \end{array}\)
Câu 8:
Cho phương trình {\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3. Đặt \(t=x^2+5x\) phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
A. \(t^2+10t=0\)
B. \(t^2+10t-24=0\)
C. \(t^2+5t=0\)
D. \(t^2+5t-12=0\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 2 > 0\\ {x^2} + 7x + 12 > 0 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12)} \right] = {\log _2}24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12) = 24\\ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24\\ \Leftrightarrow \left[ {(x + 1)(x + 4)} \right].\left[ {(x + 2)(x + 3)} \right] = 24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 5x + 4)({x^2} + 5x + 6) - 24 = 0\\ \Leftrightarrow {({x^2} + 5x)^2} + 10({x^2} + 5x) = 0 \end{array}\)
Vậy đặt: \(t = {x^2} + 5x\) phương trình trở thành: \({t^2} + 10t = 0.\)
Câu 9:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}(2x - 1).\)
A. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)
D. \(S = \left( { - 1;2} \right)\)
ĐK: \(x>\frac{1}{2}\). Khi đó:
Do \(0<\frac{1}{2}<1\) nên: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1 \Leftrightarrow x < 2\)
Kết hợp điều kiện xác định suy ra \(\frac{1}{2} < x < 2.\)
Câu 10:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình {H_1},{H_2}, được xác định như sau:
\({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
Gọi {S_1},{S_2} lần lượt là diện tích của các hình {H_1},{H_2}. Tính tỉ số \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}.
A. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 99\)
B. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 101\)
C. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102\)
D. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 100\)
\({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|log\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\(\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)\)
\(\Rightarrow 1 + {x^2} + {y^2} \le 10\left( {x + y} \right)\)
\(\Rightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} \le {\left( 7 \right)^2}\)
=> H1 là hình tròn tâm (5;5) bán kính 7.
\({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\(\Rightarrow {\left( {x - 50} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} \le {\left( {7\sqrt {102} } \right)^2}\)
=> H2 là hình tròn tâm (50;50) bán kính \(7\sqrt {102}\)
Vậy: \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102.\)
Câu 11:
Phương trình 2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x} có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ 3 - 2x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset .\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 12:
Phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - {x^2} > 0\\ {x^3} + 3{x^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1.\) Khi đó:
\({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) - {\log _3}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{x - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{\left( {x - {x^2}} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} = \left( {x - {x^2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {x^3} + 4{x^2} - x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\left( L \right)\\ x = - 2 + \sqrt 5 \\ x = - 2 - \sqrt 5 \left( L \right) \end{array} \right.\)
Câu 13:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,2}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{0,2}}\left( {3 - x} \right).\)
A. \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\)
B. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {1;3} \right]\)
D. \(S = \left( { - 1;1} \right)\)
ĐK: \(3 > x > - 1.\) Khi đó:
\({\log _{0,2}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{0,2}}\left( {3 - x} \right) \Leftrightarrow x + 1 < 3 - x \Leftrightarrow x < 1.\)
Câu 14:
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > 1000.\)
A. \(x > 1 + {9^{500}}\)
B. \(x > {2^{1000}} - 1\)
C. \(x >3001\)
D. \(1<x<3001\)
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {x + 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(x + 1) > 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\) (*).
Khi đó \({\log _3}({x^2} - 1) + {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1) > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} - 1) - {\log _3}(x + 1) > 1000\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}(x - 1) > 1000\\ \Leftrightarrow x - 1 > {3^{1000}} \Leftrightarrow x > 1 + {3^{1000}} \end{array}\)
Kết hợp với (*) ta được \(x > 1 + {3^{1000}}\) thỏa mãn, từ đó A là đáp án đúng vì:
\({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)
Câu 15:
Giải bất phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) > {\log _3}\left( {4x + 1} \right).\)
A. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(x \in \left( { - \frac{1}{4};0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
D. \(x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
ĐK: \(x>\frac{1}{2}.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) > {\log _3}\left( {4x + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{(2x - 1)^2} > {\log _3}(4x + 1)\\ \Leftrightarrow {(2x - 1)^2} > 4x + 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x > 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow 4x(x - 2) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < 0} \end{array}} \right..\)
Kết hợp với điều kiện suy ra x>2.