Câu 1:
Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết rằng \(F'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và đồ thị hàm số F(x) đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right).\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \)
B. \(F\left( x \right) = \cot x + \sqrt 3 \)
C. \(F\left( x \right) = \tan x + \sqrt 3 \)
D. \(F\left( x \right) = - \cot x + \sqrt 3 \)
Câu 2:
Tìm \(\alpha \) để \(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)} dx \ge 0.\)
A. \( - 1 \le \alpha < 0\)
B. \(\alpha \le - 1\)
C. \(\alpha \le - 3\)
D. \(\alpha = - 5\)
Câu 3:
Tìm \(a \in \mathbb{R}\) để \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)} dx \ge 6 - 5a.\)
A. \(a \in \emptyset \)
B. \(a = 2\)
C. \(a > 0\)
D. \(a \ne 2\)
Câu 4:
Tìm hàm F(x) biết \(F'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x\) và \(F\left( 0 \right) = 1.\)
A. \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\)
B. \(F\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2} + 1\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 1\)
D. \(F\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 1\)
Câu 5:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\).
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2{x^3} - \frac{3}{x} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\)
Câu 6:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{\pi } + {\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{4},F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\) .
A. \(\pi - 2\).
B. \(\pi - 1\).
C. \(\frac{\pi }{2} - 1\).
D. \(\frac{\pi }{2} - 2\).
Câu 7:
Biết \(\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 + d\ln 7\) với a, b, c, d là các số nguyên. Tính \(P = ab + cd\)
A. \(P = - 5.\)
B. \(P = 5.\)
C. \(P = - 4.\)
D. \(P = 2.\)
Câu 8:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\) Tìm hàm số \(f\left( x \right).\)
A. \(f\left( x \right) = {x^2} + \cos x.\)
B. \(f\left( x \right) = 2 + \cos x - {x^2}.\)
C. \(f\left( x \right) = {x^2} - \cos x + 2.\)
D. \(f\left( x \right) = {x^2} - \cos x.\)
Câu 9:
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc \(\left[ {0;2017} \right)\) của m để \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)} dx = 0\)?
A. 2017
B. 1009
C. 1008
D. 2016
Câu 10:
Cho \(\int {f(x)d{\rm{x}} = 2{{\rm{x}}^3} - 3{\rm{x}} + C} \). Tìm hàm số \(F(x) = \int {f({\mathop{\rm sinx}\nolimits} )dx.} \)
A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x - 3\sin x + C\)
B. \(F(x) = x - \frac{1}{2}\sin 2x + 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + C\)
C. \(F\left( x \right) = - 4cosx + 3cosx + C.\)
D. \(F\left( x \right) = - 4cosx--3x + C\)
Câu 11:
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {e^{3x}} + \cos 2x.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - 3{{\rm{e}}^{3x}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
C. \(F\left( x \right) = 4{x^3} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
Câu 12:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right..\) Tính tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
A. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2\)
B. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{2}\)
C. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{5}{2}\)
D. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\)
Câu 13:
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 3\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 1\) (với \(a,b,c \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + c\).
A. \(P = - \frac{{25}}{6}\)
B. \(P = - \frac{{13}}{6}\)
C. \(P = \frac{{23}}{6}\)
D. \(P = \frac{{35}}{6}\)
Câu 14:
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x.\)
A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\sin 2x + C.\)
B. \(F\left( x \right) = 2\sin 2x + C.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + C.\)
D. \(F\left( x \right) = - 2\sin 2x + C.\)
Câu 15:
Tìm số thực m sao cho \(\int\limits_1^m {\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)dx} = \frac{{32}}{3}.\)
A. \(m = 4.\)
B. \(m = 5.\)
C. \(m = 3.\)
D. \(m = 2.\)
Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết rằng \(F'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và đồ thị hàm số F(x) đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right).\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \)
B. \(F\left( x \right) = \cot x + \sqrt 3 \)
C. \(F\left( x \right) = \tan x + \sqrt 3 \)
D. \(F\left( x \right) = - \cot x + \sqrt 3 \)
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot x + C\)
Mặt khác đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right) \Rightarrow - \cot \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Rightarrow C = \sqrt 3 \)
Suy ra \(F\left( x \right) = - \cot x + \sqrt 3 .\)
Mặt khác đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right) \Rightarrow - \cot \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Rightarrow C = \sqrt 3 \)
Suy ra \(F\left( x \right) = - \cot x + \sqrt 3 .\)
Tìm \(\alpha \) để \(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)} dx \ge 0.\)
A. \( - 1 \le \alpha < 0\)
B. \(\alpha \le - 1\)
C. \(\alpha \le - 3\)
D. \(\alpha = - 5\)
Đặt: \(t = - x \Rightarrow dt = - dx. \)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \alpha \Rightarrow t = - \alpha \\ x = 0 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} = - \int\limits_{ - \alpha }^0 {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} \\ = \int\limits_0^{ - \alpha } {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} = \int\limits_0^{ - \alpha } {{3^{2t}}dt} - 2.\int\limits_0^{ - \alpha } {{3^t}dt} \\ = \frac{1}{2}.\left. {\frac{{{3^{2t}}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } - 2.\left. {\frac{{{3^t}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } = \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right)\end{array}\)
Theo đề bài ta có:
\(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {3^{ - 2\alpha }} - {4.3^{ - \alpha }} + 3 \ge 0\)
Đặt: \(t = {3^{ - \alpha }},t > 0\) Bất phương trình trở thành:
\({t^2} - 4t + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t \ge 3\\ t \le 1 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < t \le 1}\\{t \ge 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \le 1}\\{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \ge 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha \ge 0}\\{\alpha \le - 1}\end{array}} \right.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \alpha \Rightarrow t = - \alpha \\ x = 0 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} = - \int\limits_{ - \alpha }^0 {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} \\ = \int\limits_0^{ - \alpha } {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} = \int\limits_0^{ - \alpha } {{3^{2t}}dt} - 2.\int\limits_0^{ - \alpha } {{3^t}dt} \\ = \frac{1}{2}.\left. {\frac{{{3^{2t}}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } - 2.\left. {\frac{{{3^t}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } = \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right)\end{array}\)
Theo đề bài ta có:
\(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {3^{ - 2\alpha }} - {4.3^{ - \alpha }} + 3 \ge 0\)
Đặt: \(t = {3^{ - \alpha }},t > 0\) Bất phương trình trở thành:
\({t^2} - 4t + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t \ge 3\\ t \le 1 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < t \le 1}\\{t \ge 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \le 1}\\{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \ge 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha \ge 0}\\{\alpha \le - 1}\end{array}} \right.\)
Tìm \(a \in \mathbb{R}\) để \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)} dx \ge 6 - 5a.\)
A. \(a \in \emptyset \)
B. \(a = 2\)
C. \(a > 0\)
D. \(a \ne 2\)
Ta có \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)} dx = \left. {\left( {ax - 2{x^2}} \right)} \right|_1^a = \left( {{a^2} - 2{a^2}} \right) - \left( {a - 2} \right) = 2 - a - {a^2}\)
Khi đó \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)dx} \ge 6 - 5a \Leftrightarrow 2 - a - {a^2} \ge 6 - 5a \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow a = 2\)
Khi đó \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)dx} \ge 6 - 5a \Leftrightarrow 2 - a - {a^2} \ge 6 - 5a \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow a = 2\)
Tìm hàm F(x) biết \(F'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x\) và \(F\left( 0 \right) = 1.\)
A. \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\)
B. \(F\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2} + 1\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 1\)
D. \(F\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 1\)
Ta có \(F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} - 4x} \right)dx} = {x^3} - 2{x^2} + C\) mà \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\)
Vậy hàm số \(F\left( x \right)\) cần tìm là \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1.\)
Vậy hàm số \(F\left( x \right)\) cần tìm là \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\).
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2{x^3} - \frac{3}{x} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\)
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{\pi } + {\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{4},F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\) .
A. \(\pi - 2\).
B. \(\pi - 1\).
C. \(\frac{\pi }{2} - 1\).
D. \(\frac{\pi }{2} - 2\).
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{a}{\pi } + {{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x} = \int {\left[ {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \left( {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}} \right)x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( 0 \right) = \frac{1}{4}\\F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\\left( {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}} \right)\frac{\pi }{4} + \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{2} + C = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\a = \frac{\pi }{2} - 2\end{array} \right. \Rightarrow a = \frac{\pi }{2} - 2.\)
Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( 0 \right) = \frac{1}{4}\\F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\\left( {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}} \right)\frac{\pi }{4} + \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{2} + C = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\a = \frac{\pi }{2} - 2\end{array} \right. \Rightarrow a = \frac{\pi }{2} - 2.\)
Biết \(\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 + d\ln 7\) với a, b, c, d là các số nguyên. Tính \(P = ab + cd\)
A. \(P = - 5.\)
B. \(P = 5.\)
C. \(P = - 4.\)
D. \(P = 2.\)
Ta có \(\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = \int\limits_4^5 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_4^5 = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5 - \ln 7} \).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 2\\c = d = - 1\end{array} \right. \Rightarrow P = ab + cd = 5\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 2\\c = d = - 1\end{array} \right. \Rightarrow P = ab + cd = 5\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\) Tìm hàm số \(f\left( x \right).\)
A. \(f\left( x \right) = {x^2} + \cos x.\)
B. \(f\left( x \right) = 2 + \cos x - {x^2}.\)
C. \(f\left( x \right) = {x^2} - \cos x + 2.\)
D. \(f\left( x \right) = {x^2} - \cos x.\)
Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {2{\rm{x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d{\rm{x}}} = {x^2} - \cos x + C.\)
Vì \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \( - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - \cos x + 2.\)
Vì \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \( - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - \cos x + 2.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc \(\left[ {0;2017} \right)\) của m để \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)} dx = 0\)?
A. 2017
B. 1009
C. 1008
D. 2016
Ta có \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)} dx = \left. { - \frac{1}{\pi }\cos \left( {\pi x} \right)} \right|_0^m = - \frac{1}{\pi }\left[ {\cos \left( {m\pi } \right) - 1} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {m\pi } \right) = 1 \Leftrightarrow m\pi = k2\pi \Leftrightarrow m = 2k,\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ {0;2017} \right)\\m \in Z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le 2k \le 2017\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le k \le 1008\\k \in Z\end{array} \right.\)
Suy ra có 1009 giá trị nguyên của m để \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)dx} = 0.\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {m\pi } \right) = 1 \Leftrightarrow m\pi = k2\pi \Leftrightarrow m = 2k,\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ {0;2017} \right)\\m \in Z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le 2k \le 2017\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le k \le 1008\\k \in Z\end{array} \right.\)
Suy ra có 1009 giá trị nguyên của m để \(\int\limits_0^m {\sin \left( {\pi x} \right)dx} = 0.\)
Cho \(\int {f(x)d{\rm{x}} = 2{{\rm{x}}^3} - 3{\rm{x}} + C} \). Tìm hàm số \(F(x) = \int {f({\mathop{\rm sinx}\nolimits} )dx.} \)
A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x - 3\sin x + C\)
B. \(F(x) = x - \frac{1}{2}\sin 2x + 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + C\)
C. \(F\left( x \right) = - 4cosx + 3cosx + C.\)
D. \(F\left( x \right) = - 4cosx--3x + C\)
\(f\left( x \right) = {\left( {2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + C} \right)^\prime } = 4{\rm{x}} - 3 \Rightarrow f\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) = 4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 3\)
Do đó: \(\int {f\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 3} \right)d{\rm{x}}} = - 4\cos x - 3x.\)
Do đó: \(\int {f\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {4{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 3} \right)d{\rm{x}}} = - 4\cos x - 3x.\)
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {e^{3x}} + \cos 2x.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - 3{{\rm{e}}^{3x}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
C. \(F\left( x \right) = 4{x^3} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
\(\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^4} - {e^{3x}} + \cos 2x} \right)dx} = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{{\rm{e}}^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right..\) Tính tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
A. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2\)
B. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{2}\)
C. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{5}{2}\)
D. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\)
Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {dx} + \int\limits_0^2 {x\,dx} = x\left| {\mathop {}\limits_0^1 + \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\mathop {}\limits_1^2 = \frac{5}{2}} \right.} \right..\)
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 3\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 1\) (với \(a,b,c \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + c\).
A. \(P = - \frac{{25}}{6}\)
B. \(P = - \frac{{13}}{6}\)
C. \(P = \frac{{23}}{6}\)
D. \(P = \frac{{35}}{6}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^1 = - 2\\\int\limits_0^2 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^2 = - 3\\\int\limits_0^3 {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx} \right)} \right|_0^3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - 2\\\frac{{8a}}{3} + 2b + 2c = - 3\\9a + \frac{9}{2}b + 3c = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2,b = - 3\\c = - \frac{7}{6}\end{array} \right. \Rightarrow P = - \frac{{13}}{6}.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2,b = - 3\\c = - \frac{7}{6}\end{array} \right. \Rightarrow P = - \frac{{13}}{6}.\)
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x.\)
A. \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\sin 2x + C.\)
B. \(F\left( x \right) = 2\sin 2x + C.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + C.\)
D. \(F\left( x \right) = - 2\sin 2x + C.\)
Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\cos 2xdx = } \frac{1}{2}sin2x + C.} \)
Tìm số thực m sao cho \(\int\limits_1^m {\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)dx} = \frac{{32}}{3}.\)
A. \(m = 4.\)
B. \(m = 5.\)
C. \(m = 3.\)
D. \(m = 2.\)
Ta có: \(\int\limits_1^m {\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 5x} \right)} \right|_1^m = \frac{{{m^3} - 1}}{3} - \left( {{m^2} - 1} \right) + 5\left( {m - 1} \right) = \frac{{32}}{3} \Rightarrow m = 3.\)