Câu 1:
Giải bất phương trình \({\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right).\)
A. \(x\in\mathbb{R}\)
B. x>0
C. x>1
D. \(x\geq 1\)
Câu 2:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. 2<x<5
B. 1<x<2
C. 2<x<3
D. Đáp số khác
Câu 3:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1.\)
A. \(S = \left[ {\frac{5}{2};3} \right]\)
B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right]\)
D. \(S = (2;3]\)
Câu 4:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1.\)
A. x>1
B. \(x\leq 5\)
C. \(1<x<5\)
D. \(2<x<5\)
Câu 5:
Giải bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2} > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\)
A. \(S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)\)
B. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3;9)\)
D. \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)\)
Câu 6:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right).\)
A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)
B. \(S = \mathbb{R}\)
C. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)
Câu 7:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}}{\rm{.}}\)
A. \(S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {2;4} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}\)
Câu 8:
Bất phương trình {\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}(x - 1) tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}x - {\log _{\frac{9}{4}}}1\)
B. \(2{\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
C. \({\log _{\frac{9}{4}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
D. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le 2{\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
Câu 9:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2) có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\)
C. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Câu 10:
Phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left| {x + 3} \right| + {\log _{\frac{5}{2}}}\left( {x + 4} \right) = 0\,\) và \(\left| {x + 3} \right| = x + 4\) là hai phương trình tương đương với điều kện nào sau đây?
A. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
B. \(x \in \left( { - 3 + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\)
D. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Câu 11:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt.
A. \(\frac{{ - 1}}{4} < 0 < m\)
B. \(5 \le m \le \frac{{21}}{4}\)
C. \(5 < m < \frac{{21}}{4}\)
D. \(\frac{{ - 1}}{4} \le m \le 2\)
Câu 12:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right).\)
A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\)
B. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right)\)
D. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
Câu 13:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) + 1.\)
A. S=[3;5]
B. S=(1;5)
C. S=(1;3]
D. S=[-3;3]
Câu 14:
Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x.\)
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Giải bất phương trình \({\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right).\)
A. \(x\in\mathbb{R}\)
B. x>0
C. x>1
D. \(x\geq 1\)
ĐK: \(x\in\mathbb{R}\). Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _2}\frac{1}{{{2^x} + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > \frac{1}{{{2^x} + 2}} \Leftrightarrow ({2^x} + 1)({2^x} + 2) > {4^x} + 5 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {4^x} + {3.2^x} + 2 > {4^x} + 5 \Leftrightarrow {2^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _2}\frac{1}{{{2^x} + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > \frac{1}{{{2^x} + 2}} \Leftrightarrow ({2^x} + 1)({2^x} + 2) > {4^x} + 5 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {4^x} + {3.2^x} + 2 > {4^x} + 5 \Leftrightarrow {2^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\)
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. 2<x<5
B. 1<x<2
C. 2<x<3
D. Đáp số khác
Điều kiện: \(5 > x > 2.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) - 2{\log _{{2^2}}}(5 - x) < {\log _2}2 - {\log _2}(x - 2) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{5 - x}} < {\log _2}\frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 10 - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 3}\\ {x > 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện nghiệm của BPT là: \(2<x<3\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) - 2{\log _{{2^2}}}(5 - x) < {\log _2}2 - {\log _2}(x - 2) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{5 - x}} < {\log _2}\frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 10 - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 3}\\ {x > 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện nghiệm của BPT là: \(2<x<3\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1.\)
A. \(S = \left[ {\frac{5}{2};3} \right]\)
B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right]\)
D. \(S = (2;3]\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ x - 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\) (*). Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}(2x - 1) + {\log _2}(x - 2) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {(2x - 1)(x - 2)} \right] \le 1 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) \le {2^1} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{5}{2}\)
Kết hợp với (*) ta được \(2 < x < \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình.
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}(2x - 1) + {\log _2}(x - 2) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {(2x - 1)(x - 2)} \right] \le 1 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) \le {2^1} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{5}{2}\)
Kết hợp với (*) ta được \(2 < x < \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình.
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1.\)
A. x>1
B. \(x\leq 5\)
C. \(1<x<5\)
D. \(2<x<5\)
Điều kiện: \(1 < x < 5.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{(5 - x)^2} - {\log _3}(x - 1) - {\log _3}(x + 1) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 3 \Leftrightarrow {(5 - x)^2} < 3({x^2} - 1)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 10x - 28 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < - 7} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện suy ra 2<x<5 là nghiệm bất phương trình.
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{(5 - x)^2} - {\log _3}(x - 1) - {\log _3}(x + 1) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 3 \Leftrightarrow {(5 - x)^2} < 3({x^2} - 1)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 10x - 28 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < - 7} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện suy ra 2<x<5 là nghiệm bất phương trình.
Giải bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2} > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\)
A. \(S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)\)
B. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3;9)\)
D. \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ {x^2} - 5x + 6 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ (x - 2)(x - 3) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3.\) Khi đó:
\({\log _3}\sqrt {(x - 3)(x - 2)} - {\log _3}\sqrt {x - 2} > - {\log _3}\sqrt {x + 3}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\sqrt {(x - 3)(x - 2)} }}{{\sqrt {x - 2} }} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {{x^2} - 9} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 9} > 1 \Leftrightarrow {x^2} > 10 \Leftrightarrow x > \sqrt {10}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right).\)
\({\log _3}\sqrt {(x - 3)(x - 2)} - {\log _3}\sqrt {x - 2} > - {\log _3}\sqrt {x + 3}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\sqrt {(x - 3)(x - 2)} }}{{\sqrt {x - 2} }} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {{x^2} - 9} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 9} > 1 \Leftrightarrow {x^2} > 10 \Leftrightarrow x > \sqrt {10}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right).\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right).\)
A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)
B. \(S = \mathbb{R}\)
C. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)
Điều kiện: \(x>0\). Khi đó:
\(\begin{array}{l} \log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 25 > 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x\ne 5\end{array}\)
Kết hợp điều kiện thì ta được \(x \in \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right).\)
\(\begin{array}{l} \log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 25 > 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x\ne 5\end{array}\)
Kết hợp điều kiện thì ta được \(x \in \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right).\)
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}}{\rm{.}}\)
A. \(S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {2;4} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}\)
Điều kiện: x>1. Khi đó:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}} \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 2 \left( {TM} \right)\\ x = 1 - \sqrt 2 \left( L \right) \end{array} \right.\)
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}} \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 2 \left( {TM} \right)\\ x = 1 - \sqrt 2 \left( L \right) \end{array} \right.\)
Bất phương trình {\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}(x - 1) tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}x - {\log _{\frac{9}{4}}}1\)
B. \(2{\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
C. \({\log _{\frac{9}{4}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
D. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le 2{\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}(x - 1) \Leftrightarrow {\log _{\frac{3}{2}}}x \le 2{\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{9}{4}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1) \end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2) có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\)
C. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2),\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > {\log _2}2 + {\log _2}({x^2} + 2) ,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4 > {x^2} + 4,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - {m^2} - 2m > 0,\forall x \in \mathbb{R}\,(*) \end{array}\)(*) xảy ra khi: \(\Delta ' = 2{m^2} + 2m < 0 \Leftrightarrow m > - 1.\)
Phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left| {x + 3} \right| + {\log _{\frac{5}{2}}}\left( {x + 4} \right) = 0\,\) và \(\left| {x + 3} \right| = x + 4\) là hai phương trình tương đương với điều kện nào sau đây?
A. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
B. \(x \in \left( { - 3 + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\)
D. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + 3} \right| \ne 0\\ x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 3\\ x > - 4 \end{array} \right..\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt.
A. \(\frac{{ - 1}}{4} < 0 < m\)
B. \(5 \le m \le \frac{{21}}{4}\)
C. \(5 < m < \frac{{21}}{4}\)
D. \(\frac{{ - 1}}{4} \le m \le 2\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2} > 0\\ x + m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\ m > 5 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{1 - {x^2}}}{{x + m - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {x^2} = x + m - 4 \Leftrightarrow {x^2} + x + m - 5 = 0\left( * \right) \end{array}\)
(*) có hai nghiệm phân biệt khi: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow m - 5 < \frac{1}{4} \Leftrightarrow m < \frac{{21}}{4} \Rightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{1 - {x^2}}}{{x + m - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {x^2} = x + m - 4 \Leftrightarrow {x^2} + x + m - 5 = 0\left( * \right) \end{array}\)
(*) có hai nghiệm phân biệt khi: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow m - 5 < \frac{1}{4} \Leftrightarrow m < \frac{{21}}{4} \Rightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right).\)
A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\)
B. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right)\)
D. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
Điều kiện: \(2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) + 1.\)
A. S=[3;5]
B. S=(1;5)
C. S=(1;3]
D. S=[-3;3]
\(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {\log _2}{(x - 1)^2} \le {\log _2}2(5 - x) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {(x - 1)^2} \le 2(5 - x) \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} - 2x + 1 \le 10 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} \le 9 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ 3 \ge x \ge - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \ge x > 1 \Rightarrow S = (1;3].\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} - 2x + 1 \le 10 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} \le 9 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ 3 \ge x \ge - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \ge x > 1 \Rightarrow S = (1;3].\)
Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x.\)
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
\(\begin{array}{l} {\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3 > 0,x > 3\\ {\log _2}(x + 3) - {\log _2}{x^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}\frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{3}{2} \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.