Câu 1:
Phương trình \({\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x\) có bao nhiêu nghiệm.
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Câu 2:
Phương trình \({\log _2}(9 - {2^x}) = 3 - x\) tương đương với phương trình nào sau đây?
A. \(9 - {2^x} = 3 - x\)
B. \({x^2} - 3x = 0\)
C. \({x^2} + 3x = 0\)
D. \(9 - {2^x} + 3 = {2^{ - x}}\)
Câu 3:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình \(\log \left( {x - 40} \right) + \log \left( {60 - x} \right) < 2\)?
A. 20
B. 10
C. Vô số
D. 18
Câu 4:
Cho \(a,b > 0,a \ne 1\) thỏa mãn \({\log _a}b = \frac{b}{4}\) và \({\log _2}a = \frac{{16}}{b}.\) Tính tổng a+b.
A. a+b=12
B. a+b=10
C. a+b=16
D. a+b=18
Câu 5:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0,4}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0.\)
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{13}}{2}} \right)\)
B. \(S = \left[ {\frac{{13}}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {4; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {4;\frac{{13}}{2}} \right]\)
Câu 6:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(- 4 < - \log x < - 3.\)
A. S=(3;4)
B. \(S = \left( {0;1000} \right) \cup \left( {10000; + \infty } \right)\)
C. S=(1000;10000)
D. \(S = \emptyset\)
Câu 7:
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {x + {9^{500}}} \right) > 1000.\)
A. x>3
B. x>0
C. 0<x<3
D. \(- {9^{500}} < x < 0\)
Câu 8:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {4^{500}}} \right) > - 1000.\)
A. \(- {4^{500}} < x < 2\)
B. \(x>0\)
C. \(- {2^{1000}} < x < 2\)
D. \(0< x < 2\)
Câu 9:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)
A. \(x < \frac{1}{9}\)
B. \(x >3\)
C. \(\frac{1}{9}<x<3\)
D. \(\frac{1}{3}<x<3\)
Câu 10:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{{x^2} - 4}}\left( {x + 2} \right) \ge 0.\)
A. \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right)\)
B. \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( { - 2;\sqrt 5 } \right)\)
Câu 11:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {1;2} \right) \cap \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cap \left( {2;3} \right)\)
D. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)\)
Câu 12:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3.\)
A. \([-3;3]\)
B. \([-2;2]\)
C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Phương trình \({\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x\) có bao nhiêu nghiệm.
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Điều kiện: \(x > \frac{1}{2}.\)Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x - 1) - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 0\\ {\log _3}(2x - 1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 5} \end{array}} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x - 1) - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 0\\ {\log _3}(2x - 1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 5} \end{array}} \right. \end{array}\)
Phương trình \({\log _2}(9 - {2^x}) = 3 - x\) tương đương với phương trình nào sau đây?
A. \(9 - {2^x} = 3 - x\)
B. \({x^2} - 3x = 0\)
C. \({x^2} + 3x = 0\)
D. \(9 - {2^x} + 3 = {2^{ - x}}\)
Điều kiện \(9 - {2^x} > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} 9 - {2^x} = {2^{3 - x}} \Leftrightarrow 9 - {2^x} = \frac{8}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {({2^x})^2} - {9.2^x} + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 1}\\ {{2^x} = 8} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 3} \end{array}} \right.. \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} 9 - {2^x} = {2^{3 - x}} \Leftrightarrow 9 - {2^x} = \frac{8}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {({2^x})^2} - {9.2^x} + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 1}\\ {{2^x} = 8} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 3} \end{array}} \right.. \end{array}\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình \(\log \left( {x - 40} \right) + \log \left( {60 - x} \right) < 2\)?
A. 20
B. 10
C. Vô số
D. 18
\(\log \left( {\left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right)} \right) < 2 \Rightarrow 0 < \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) < 100\)
+) \(0 < \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) \Rightarrow 40 < x < 60\)
+) \(\begin{array}{l} \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) < 100 \Rightarrow {x^2} - 100x + 2500 > 0\\ \Rightarrow {\left( {x - 50} \right)^2} > 0 \Rightarrow x \ne 50 \end{array}\)
Vậy có 18 số nguyên dương thỏa yêu cầu bài toán.
+) \(0 < \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) \Rightarrow 40 < x < 60\)
+) \(\begin{array}{l} \left( {x - 40} \right)\left( {60 - x} \right) < 100 \Rightarrow {x^2} - 100x + 2500 > 0\\ \Rightarrow {\left( {x - 50} \right)^2} > 0 \Rightarrow x \ne 50 \end{array}\)
Vậy có 18 số nguyên dương thỏa yêu cầu bài toán.
Cho \(a,b > 0,a \ne 1\) thỏa mãn \({\log _a}b = \frac{b}{4}\) và \({\log _2}a = \frac{{16}}{b}.\) Tính tổng a+b.
A. a+b=12
B. a+b=10
C. a+b=16
D. a+b=18
Ta có \({\log _2}a = \frac{{16}}{b} \Rightarrow a = {2^{\frac{{16}}{b}}} \Rightarrow {\log _a}b = \frac{b}{4}\)
\(\Rightarrow {\log _{{2^{\frac{{16}}{b}}}}}b = \frac{b}{4} \Rightarrow \frac{b}{{16}}{\log _2}b = \frac{b}{4} \Rightarrow {\log _2}b = 4 \Rightarrow {2^4} = b \Rightarrow b = 16;a = 2\)
\(\Rightarrow {\log _{{2^{\frac{{16}}{b}}}}}b = \frac{b}{4} \Rightarrow \frac{b}{{16}}{\log _2}b = \frac{b}{4} \Rightarrow {\log _2}b = 4 \Rightarrow {2^4} = b \Rightarrow b = 16;a = 2\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0,4}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0.\)
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{13}}{2}} \right)\)
B. \(S = \left[ {\frac{{13}}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {4; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {4;\frac{{13}}{2}} \right]\)
ĐK: x>4. Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{0,4}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow {\log _{0,4}}(x - 4) \ge - 1\\ \Leftrightarrow x - 4 \le {0,4^{ - 1}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x \le \frac{{13}}{2}. \end{array}\)
Vậy: \(4 < x \le \frac{{13}}{2}.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{0,4}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow {\log _{0,4}}(x - 4) \ge - 1\\ \Leftrightarrow x - 4 \le {0,4^{ - 1}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x \le \frac{{13}}{2}. \end{array}\)
Vậy: \(4 < x \le \frac{{13}}{2}.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(- 4 < - \log x < - 3.\)
A. S=(3;4)
B. \(S = \left( {0;1000} \right) \cup \left( {10000; + \infty } \right)\)
C. S=(1000;10000)
D. \(S = \emptyset\)
ĐK: x>0. Khi đó:
\(\begin{array}{l} - 4 < - \log x < - 3 \Leftrightarrow 4 > \log x > 3\\ \Leftrightarrow {10^4} > x > {10^3} \Leftrightarrow 10000 > x > 1000. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} - 4 < - \log x < - 3 \Leftrightarrow 4 > \log x > 3\\ \Leftrightarrow {10^4} > x > {10^3} \Leftrightarrow 10000 > x > 1000. \end{array}\)
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {x + {9^{500}}} \right) > 1000.\)
A. x>3
B. x>0
C. 0<x<3
D. \(- {9^{500}} < x < 0\)
Ta có: \({\log _3}(x + {9^{500}}) > 1000 \Leftrightarrow x + {9^{500}} > {3^{1000}}\) (1)
Mặt khác: \({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)
Nên \((1) \Leftrightarrow x > 0.\)
Mặt khác: \({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)
Nên \((1) \Leftrightarrow x > 0.\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {4^{500}}} \right) > - 1000.\)
A. \(- {4^{500}} < x < 2\)
B. \(x>0\)
C. \(- {2^{1000}} < x < 2\)
D. \(0< x < 2\)
Điều kiện: \(x > - {4^{500}}\) (*)
Khi đó: \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + {4^{500}}) > - 1000 \Leftrightarrow - {\log _2}(x + {4^{500}}) > - 1000\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}(x + {4^{500}}) < 1000 \Leftrightarrow x + {4^{500}} < {2^{1000}}\) (1)
Ta có \({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}\) nên \((1) \Leftrightarrow x < 0\)
Kết hợp với (*) ta được \(- {4^{500}} < x < 0\) thỏa mãn, từ đó C là đáp án đúng vì:
\({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}.\)
Khi đó: \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + {4^{500}}) > - 1000 \Leftrightarrow - {\log _2}(x + {4^{500}}) > - 1000\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}(x + {4^{500}}) < 1000 \Leftrightarrow x + {4^{500}} < {2^{1000}}\) (1)
Ta có \({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}\) nên \((1) \Leftrightarrow x < 0\)
Kết hợp với (*) ta được \(- {4^{500}} < x < 0\) thỏa mãn, từ đó C là đáp án đúng vì:
\({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}.\)
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)
A. \(x < \frac{1}{9}\)
B. \(x >3\)
C. \(\frac{1}{9}<x<3\)
D. \(\frac{1}{3}<x<3\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0.\)
Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{{x^2} - 4}}\left( {x + 2} \right) \ge 0.\)
A. \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right)\)
B. \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( { - 2;\sqrt 5 } \right)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2(*)\\ x \ne \sqrt 5 \end{array} \right..\) Xét hai trường hợp:
TH1. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ {x^2} - 4 > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} > 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \sqrt 5 \,(1).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x + 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge - 1\)
Kết hớp (*) và (1) suy ra: \(x \in \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
TH2. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ 0 < {x^2} - 4 < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {2;\sqrt 5 } \right)\,(2).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\)
Kết hợp (*) và (2) suy ra: \(x \in \emptyset .\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
TH1. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ {x^2} - 4 > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} > 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \sqrt 5 \,(1).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x + 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge - 1\)
Kết hớp (*) và (1) suy ra: \(x \in \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
TH2. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ 0 < {x^2} - 4 < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {2;\sqrt 5 } \right)\,(2).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\)
Kết hợp (*) và (2) suy ra: \(x \in \emptyset .\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {1;2} \right) \cap \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cap \left( {2;3} \right)\)
D. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)\)
Điều kiện: \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 11x - 5 > 0.\)
Khi đó: \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1 > 1\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x < 2\\ x > 3 \end{array} \right.\) (Thỏa mãn điều kiện).
Khi đó: \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1 > 1\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x < 2\\ x > 3 \end{array} \right.\) (Thỏa mãn điều kiện).
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3.\)
A. \([-3;3]\)
B. \([-2;2]\)
C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Chọn C
Điều kiện: x2 - 1 > 0
Khi đó: \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 \ge {2^3} \Leftrightarrow {x^2} \ge 9 \Leftrightarrow x \le - 3\) hoặc \(x \geq 3\) (Thỏa điều kiện).
Điều kiện: x2 - 1 > 0
Khi đó: \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 \ge {2^3} \Leftrightarrow {x^2} \ge 9 \Leftrightarrow x \le - 3\) hoặc \(x \geq 3\) (Thỏa điều kiện).